Дифференциальный идеал - Differential ideal

В теории дифференциальные формы, а дифференциальный идеал я является алгебраический идеал в кольце гладких дифференциальных форм на гладкое многообразие, другими словами оцененный идеал в смысле теория колец, который далее закрывается внешняя дифференциация d. Другими словами, для любой формы α в я, внешняя производная dα также находится в я.

В теории дифференциальная алгебра, а дифференциальный идеал я в дифференциальном кольце р - идеал, который отображается каждым дифференциальным оператором в себя.

Внешние дифференциальные системы и уравнения в частных производных

An внешняя дифференциальная система состоит из гладкого многообразия ${displaystyle M}$ и дифференциальный идеал

${displaystyle Isubset Omega ^{*}(M)}$.

An интегральное многообразие внешней дифференциальной системы ${displaystyle (M,I)}$ состоит из подмногообразие ${displaystyle Nsubset M}$ имея свойство, что откат к ${displaystyle N}$ всех дифференциальных форм, содержащихся в ${displaystyle I}$ тождественно пропадает.

Можно выразить любое уравнение в частных производных система как внешняя дифференциальная система с условием независимости. Предположим, что у нас есть kСистема уравнений в частных производных 1-го порядка для карт ${displaystyle u:mathbb {R} ^{m}ightarrow mathbb {R} ^{n}}$, данный

${displaystyle F^{r}(x,u,{frac {partial ^{|I|}u}{partial x^{I}}})=0,quad 1leq |I|leq k}$.

График ${displaystyle k}$-джет ${displaystyle (u^{a},p_{i}^{a},dots ,p_{I}^{a})=(u^{a}(x),{frac {partial u^{a}}{partial x^{i}}},dots ,{frac {partial ^{|I|}u}{partial x^{I}}})_{1leq |I|leq k}}$ любого решения этой системы дифференциальных уравнений в частных производных является подмногообразием ${displaystyle N}$ из реактивное пространство, и является интегральным многообразием контактная система ${displaystyle du^{a}-p_{i}^{a}dx^{i},dots ,dp_{I}^{a}-p_{Ij}^{p}dx^{j}{}_{1leq |I|leq k-1}}$на ${displaystyle k}$-jet связка.

Эта идея позволяет анализировать свойства дифференциальных уравнений в частных производных методами дифференциальной геометрии. Например, мы можем применить Картан – Келер_теорема к системе дифференциальных уравнений в частных производных путем записи соответствующей внешней дифференциальной системы. Мы можем часто применять Метод эквивалентности Картана внешним дифференциальным системам для изучения их симметрий и инвариантов диффеоморфизма.

Идеалы идеального дифференциала

Дифференциальный идеал ${displaystyle I,}$ идеально, если он имеет свойство, что если он содержит элемент ${displaystyle ain I}$ они содержат любой элемент ${displaystyle bin I}$ такой, что ${displaystyle b^{n}=a}$ для некоторых ${displaystyle n>0,}$.

Рекомендации

• Роберт Брайант, Филип Гриффитс и Лукас Сюй, К геометрии дифференциальных уравнений (Файл DVI), Геометрия, топология и физика, Конф. Proc. Конспект лекций Геом. Топология, под ред. С.-Т. Яу, т. IV (1995), стр. 1–76, Internat. Press, Кембридж, Массачусетс
• Роберт Брайант, Шиинг-Шен Черн, Роберт Гарднер, Филип Гриффитс, Хуберт Гольдшмидт, Внешние дифференциальные системы, Springer - Verlag, Гейдельберг, 1991.
• Томас А. Айви, Дж. М. Ландсберг, Картан для начинающих. Дифференциальная геометрия через подвижные рамы и внешние дифференциальные системы. Второе издание. Аспирантура по математике, 175. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2016.
• Х. В. Рауденбуш-младший "Теория идеалов и алгебраические дифференциальные уравнения", Труды Американского математического общества, Vol. 36, No. 2. (апрель 1934 г.), стр. 361–368. Стабильный URL:[1] Дои:10.1090 / S0002-9947-1934-1501748-1
• Дж. Ф. Ритт, Дифференциальная алгебра, Дувр, Нью-Йорк, 1950.