Уравнение Дирака в алгебре физического пространства - Dirac equation in the algebra of physical space - Wikipedia

В Уравнение Дирака, как релятивистский уравнение, описывающее спин 1/2 частицы в квантовая механика, можно записать в терминах Алгебра физического пространства (APS), что является случаем Алгебра Клиффорда или же геометрическая алгебра это основано на использовании паравекторы.

Уравнение Дирака в APS, включая электромагнитное взаимодействие, читается как

${\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger }}$

Другая форма уравнения Дирака в терминах алгебры пространства-времени была дана ранее Дэвид Хестенес.

В целом уравнение Дирака в формализме геометрической алгебры имеет то преимущество, что обеспечивает прямую геометрическую интерпретацию.

Связь со стандартной формой

В спинор можно записать в нулевом базисе как

${\displaystyle \Psi =\psi _{11}P_{3}-\psi _{12}P_{3}\mathbf {e} _{1}+\psi _{21}\mathbf {e} _{1}P_{3}+\psi _{22}{\bar {P}}_{3},}$

такое, что представление спинора в терминах Матрицы Паули является

${\displaystyle \Psi \rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{11}&\psi _{12}\\\psi _{21}&\psi _{22}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\bar {\Psi }}^{\dagger }\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{22}^{*}&-\psi _{21}^{*}\\-\psi _{12}^{*}&\psi _{11}^{*}\end{pmatrix}}}$

Стандартная форма уравнения Дирака может быть восстановлена ​​путем разложения спинора на его правую и левую спинорные компоненты, которые извлекаются с помощью проектора

${\displaystyle P_{3}={\frac {1}{2}}(1+\mathbf {e} _{3}),}$

такой, что

${\displaystyle \Psi _{L}={\bar {\Psi }}^{\dagger }P_{3}}$

${\displaystyle \Psi _{R}=\Psi P_{3}^{}}$

со следующим матричным представлением

${\displaystyle \Psi _{L}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{22}^{*}&0\\-\psi _{12}^{*}&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \Psi _{R}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{11}&0\\\psi _{21}&0\end{pmatrix}}}$

Уравнение Дирака также можно записать как

${\displaystyle i\partial {\bar {\Psi }}^{\dagger }\mathbf {e} _{3}+eA{\bar {\Psi }}^{\dagger }=m\Psi }$

Без электромагнитного взаимодействия следующее уравнение получается из двух эквивалентных форм уравнения Дирака

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&i{\bar {\partial }}\\i\partial &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\bar {\Psi }}^{\dagger }P_{3}\\\Psi P_{3}\end{pmatrix}}=m{\begin{pmatrix}{\bar {\Psi }}^{\dagger }P_{3}\\\Psi P_{3}\end{pmatrix}}}$

так что

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&i\partial _{0}+i\nabla \\i\partial _{0}-i\nabla &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}=m{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}}$

или в матричном представлении

${\displaystyle i\left({\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\partial _{0}+{\begin{pmatrix}0&\sigma \\-\sigma &0\end{pmatrix}}\cdot \nabla \right){\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}=m{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}},}$

где второй столбец правого и левого спиноров можно отбросить, определив киральные спиноры с одним столбцом как

${\displaystyle \psi _{L}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{22}^{*}\\-\psi _{12}^{*}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \psi _{R}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{11}\\\psi _{21}\end{pmatrix}}}$

Стандартная релятивистская ковариантная форма уравнения Дирака в представлении Вейля может быть легко идентифицирована${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =m\psi ,}$такой, что

${\displaystyle \psi _{=}{\begin{pmatrix}\psi _{22}^{*}\\-\psi _{12}^{*}\\\psi _{11}\\\psi _{21}\end{pmatrix}}}$

Учитывая два спинора ${\displaystyle \Psi }$ и ${\displaystyle \Phi }$ в APS и их соответствующие спиноры в стандартной форме как ${\displaystyle \psi }$ и ${\displaystyle \phi }$, можно проверить следующую идентичность

${\displaystyle \phi ^{\dagger }\gamma ^{0}\psi =\langle {\bar {\Phi }}\Psi +({\bar {\Psi }}\Phi )^{\dagger }\rangle _{S}}$,

такой, что

${\displaystyle \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\psi =2\langle {\bar {\Psi }}\Psi \rangle _{SR}}$

Электромагнитный датчик

Уравнение Дирака инвариантно относительно глобального правого вращения, примененного к спинору типа

${\displaystyle \Psi \rightarrow \Psi ^{\prime }=\Psi R_{0}}$

так что кинетический член уравнения Дирака преобразуется как

${\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}\rightarrow i{\bar {\partial }}\Psi R_{0}\mathbf {e} _{3}R_{0}^{\dagger }R_{0}=(i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}^{\prime })R_{0},}$

где мы идентифицируем следующий поворот

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\rightarrow \mathbf {e} _{3}^{\prime }=R_{0}\mathbf {e} _{3}R_{0}^{\dagger }}$

Массовый член преобразуется как

${\displaystyle m{\overline {\Psi ^{\dagger }}}\rightarrow m{\overline {(\Psi R_{0})^{\dagger }}}=m{\overline {\Psi ^{\dagger }}}R_{0},}$

так что мы можем проверить инвариантность формы уравнения Дирака. Более требовательное требование состоит в том, чтобы уравнение Дирака былоинвариантен относительно локального калибровочного преобразования типа ${\displaystyle R=\exp(-ie\chi \mathbf {e} _{3})}$

В этом случае кинетический член преобразуется как

${\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}\rightarrow (i{\bar {\partial }}\Psi )R\mathbf {e} _{3}+(e{\bar {\partial }}\chi )\Psi R}$,

так что левая часть уравнения Дирака ковариантно преобразуется как

${\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}-e{\bar {A}}\Psi \rightarrow (i{\bar {\partial }}\Psi R\mathbf {e} _{3}R^{\dagger }-e{\overline {(A+\partial \chi )}}\Psi )R,}$

где мы указываем на необходимость выполнения электромагнитного калибровочного преобразования. Массовый член преобразуется, как и в случае с глобальным вращением, поэтому форма уравнения Дирака остается неизменной.

Текущий

Сила тока определяется как

${\displaystyle J=\Psi \Psi ^{\dagger },}$

которое удовлетворяет уравнению неразрывности

${\displaystyle \left\langle {\bar {\partial }}J\right\rangle _{S}=0}$

Уравнение Дирака второго порядка

Применение уравнения Дирака к самому себе приводит к уравнению Дирака второго порядка

${\displaystyle (-\partial {\bar {\partial }}+A{\bar {A}})\Psi -i(2e\left\langle A{\bar {\partial }}\right\rangle _{S}+eF)\Psi \mathbf {e} _{3}=m^{2}\Psi }$

Растворы свободных частиц

Положительные энергетические решения

Решение для свободной частицы с импульсом ${\displaystyle p=p^{0}+\mathbf {p} }$ и положительная энергия ${\displaystyle p^{0}>0}$ является

${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\frac {p}{m}}}R(0)\exp(-i\left\langle p{\bar {x}}\right\rangle _{S}\mathbf {e} _{3}).}$

Это решение унимодулярное

${\displaystyle \Psi {\bar {\Psi }}=1}$

а ток напоминает классическую собственную скорость

${\displaystyle u={\frac {p}{m}}}$

${\displaystyle J=\Psi {\Psi }^{\dagger }={\frac {p}{m}}}$

Решения с отрицательной энергией

Решение для свободной частицы с отрицательной энергией и импульсом ${\displaystyle p=-|p^{0}|-\mathbf {p} =-p^{\prime }}$ является

${\displaystyle \Psi =i{\sqrt {\frac {p^{\prime }}{m}}}R(0)\exp(i\left\langle p^{\prime }{\bar {x}}\right\rangle _{S}\mathbf {e} _{3}),}$

Это решение анти-унимодулярное

${\displaystyle \Psi {\bar {\Psi }}=-1}$

а ток напоминает классическую собственную скорость ${\displaystyle u={\frac {p}{m}}}$

${\displaystyle J=\Psi {\Psi }^{\dagger }=-{\frac {p}{m}},}$

но с замечательной особенностью: «время бежит вспять»

${\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}=\left\langle {\frac {p}{m}}\right\rangle _{S}<0}$

Лагранжиан Дирака

Лагранжиан Дирака равен

${\displaystyle L=\langle i\partial {\bar {\Psi }}^{\dagger }\mathbf {e} _{3}{\bar {\Psi }}-eA{\bar {\Psi }}^{\dagger }{\bar {\Psi }}-m\Psi {\bar {\Psi }}\rangle _{S}}$

Смотрите также

• Паравектор
• Алгебра физического пространства
• Геометрическая алгебра
• Двухчастичные уравнения Дирака

Рекомендации

Учебники

• Бейлис, Уильям (2002). Электродинамика: современный геометрический подход (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN  0-8176-4025-8
• В. Э. Бейлис, редактор, Алгебра Клиффорда (геометрическая) с приложениями к физике, математике и инженерии, Биркхойзер, Бостон, 1996. ISBN  0-8176-3868-7

Статьи

• Бейлис, В. Э. (1 марта 1992 г.). «Классические собственные спины и уравнение Дирака». Физический обзор A. Американское физическое общество (APS). 45 (7): 4293–4302. Дои:10.1103 / Physreva.45.4293. ISSN  1050-2947.
• Гестен, Дэвид (1975). «Наблюдаемые, операторы и комплексные числа в теории Дирака». Журнал математической физики. Издательство AIP. 16 (3): 556–572. Дои:10.1063/1.522554. ISSN  0022-2488.