Двухчастичные уравнения Дирака - Two-body Dirac equations

В квантовая теория поля, а в значимых подполях квантовая электродинамика (QED) и квантовая хромодинамика (QCD), двухчастичные уравнения Дирака (TBDE) динамики ограничений обеспечивают трехмерную, но явно ковариантный переформулировка Уравнение Бете – Солпитера ^[1] для двух спин-1/2 частицы. Такая переформулировка необходима, поскольку без нее, как показал Наканиши,^[2] уравнение Бете – Солпитера имеет решения с отрицательной нормой, возникающие из-за наличия существенно релятивистской степени свободы - относительного времени. Эти «призрачные» состояния испортили наивную интерпретацию уравнения Бете – Солпитера как квантовомеханического волнового уравнения. Двухчастичные уравнения Дирака динамики связей исправляют этот недостаток. Формы этих уравнений могут быть получены не только из квантовой теории поля. ^[3][4] они также могут быть получены исключительно в контексте динамики ограничений Дирака ^[5][6] и релятивистская механика и квантовая механика.^{[7][8][9][10]} Их структура, в отличие от более знакомого двухчастичного уравнения Дирака Breit,^[11][12][13] которое является одним уравнением, являются уравнением двух одновременных квантовых релятивистские волновые уравнения. Одно двухчастичное уравнение Дирака, аналогичное уравнению Уравнение Брейта может быть получен из TBDE.^[14] В отличие от уравнения Брейта, оно явно ковариантно и свободно от типов сингулярностей, которые мешают строго непертурбативной трактовке уравнения Брейта.^[15]

В приложениях TBDE к QED, две частицы взаимодействуют посредством четырех-векторных потенциалов, полученных из теории поля. электромагнитные взаимодействия между двумя частицами. В приложениях к КХД две частицы взаимодействуют посредством четырехвекторных потенциалов и лоренц-инвариантных скалярных взаимодействий, частично вытекающих из теоретико-полевых хромомагнитных взаимодействий между кварками и частично из феноменологических соображений. Как и в случае с уравнением Брейта, шестнадцатикомпонентный спинор Ψ используется.

Уравнения

Для КЭД каждое уравнение имеет ту же структуру, что и обычное однотельное уравнение. Уравнение Дирака при наличии внешнего электромагнитное поле, предоставленный 4-потенциальный ${\displaystyle A_{\mu }}$. Для КХД каждое уравнение имеет ту же структуру, что и обычное однотельное уравнение. Уравнение Дирака при наличии внешнего поля, подобного электромагнитному полю, и дополнительного внешнего поля, задаваемого в терминах Инвариант Лоренца скаляр ${\displaystyle S}$. В натуральные единицы:^[16] эти уравнения двух тел имеют вид.

${\displaystyle [(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}+{\tilde {S}}_{1}]\Psi =0,}$

${\displaystyle [(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}+{\tilde {S}}_{2}]\Psi =0.}$

где в координатном пространстве п^μ это 4-импульс, связанный с 4-градиентный посредством метрика здесь используется ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(-1,1,1,1)}$)

${\displaystyle p^{\mu }=-i{\partial \over \partial x_{\mu }}}$

и γ^μ являются гамма-матрицы. Двухчастичные уравнения Дирака (TBDE) обладают тем свойством, что если одна из масс становится очень большой, скажем, ${\displaystyle m_{2}\rightarrow \infty }$ то 16-компонентное уравнение Дирака сводится к 4-компонентному однокомпонентному Уравнение Дирака для частицы один во внешнем потенциале.

В Единицы СИ:

${\displaystyle [(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}c+{\tilde {S}}_{1}]\Psi =0,}$

${\displaystyle [(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}c+{\tilde {S}}_{2}]\Psi =0.}$

куда c это скорость света и

${\displaystyle p^{\mu }=-i\hbar {\partial \over \partial x_{\mu }}}$

Ниже будут использоваться натуральные единицы. Символ тильды используется над двумя наборами потенциалов, чтобы указать, что они могут иметь дополнительные зависимости гамма-матрицы, отсутствующие в одночастичном уравнении Дирака. Любые константы связи, такие как заряд электрона воплощены в векторных потенциалах.

Динамика ограничений и TBDE

Динамика ограничений, применяемая к TBDE, требует особой формы математической согласованности: два оператора Дирака должны ездить друг с другом. Это правдоподобно, если рассматривать два уравнения как два совместимых ограничения на волновую функцию. (См. Обсуждение динамики ограничений ниже.) Если два оператора не коммутируют (как, например, с операторами координаты и импульса ${\displaystyle x,p}$), то ограничения будут несовместимы (например, нельзя иметь волновую функцию, удовлетворяющую обоим ${\displaystyle x\Psi =0}$ и ${\displaystyle p\Psi =0}$). Эта математическая согласованность или совместимость приводит к трем важным свойствам TBDE. Первое - это условие, которое устраняет зависимость от относительного времени в системе координат центра импульса (c.m.), определяемую формулой ${\displaystyle P=p_{1}+p_{2}=(w,{\vec {0}})}$. (Переменная ${\displaystyle w}$ полная энергия в с.м. frame.) Иными словами, относительное время исключается ковариантным способом. В частности, для коммутации двух операторов скалярный и четырехвекторный потенциалы могут зависеть от относительной координаты ${\displaystyle x=x_{1}-x_{2}}$ только через его компонент ${\displaystyle x_{\perp }}$ ортогонален ${\displaystyle P}$ в котором

${\displaystyle x_{\perp }^{\mu }=(\eta ^{\mu \nu }-P^{\mu }P^{\nu }/P^{2})x_{\nu },\,}$

${\displaystyle P_{\mu }x_{\perp }^{\mu }=0.\,}$

Это означает, что в ц.м. Рамка ${\displaystyle x_{\perp }=(0,{\vec {x}}={\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2})}$, который имеет нулевую временную составляющую.

Во-вторых, условие математической согласованности также исключает относительную энергию в см. Рамка. Он делает это путем наложения на каждый оператор Дирака такой структуры, что в определенной комбинации они приводят к этой независимой от взаимодействия форме, исключая ковариантным образом относительную энергию.

${\displaystyle P\cdot p\Psi =(-P^{0}p^{0}+{\vec {P}}\cdot p)\Psi =0.\,}$

В этом выражении ${\displaystyle p}$ относительный импульс, имеющий вид ${\displaystyle (p_{1}-p_{2})/2}$ для равных масс. В комм. Рамка (${\displaystyle P^{0}=w,{\vec {P}}={\vec {0}}}$), временная составляющая ${\displaystyle p^{0}}$ относительного импульса, то есть относительной энергии, таким образом исключается. в том смысле, что ${\displaystyle p^{0}\Psi =0}$.

Третье следствие математической непротиворечивости состоит в том, что каждый мировой скаляр ${\displaystyle {\tilde {S}}_{i}}$ и четыре вектора ${\displaystyle {\tilde {A}}_{i}^{\mu }}$ потенциалы имеют член с фиксированной зависимостью от ${\displaystyle \gamma _{1}}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}}$ помимо гамма-матрицы независимых форм ${\displaystyle S_{i}}$ и ${\displaystyle A_{i}^{\mu }}$ которые появляются в обычном одночастичном уравнении Дирака для скалярного и векторного потенциалов. Эти дополнительные члены соответствуют дополнительной спиновой зависимости отдачи, отсутствующей в одночастичном уравнении Дирака, и исчезают, когда одна из частиц становится очень тяжелой (так называемая статический предел).

Подробнее о динамике ограничений: обобщенные ограничения массовой оболочки

Сдерживающая динамика возникла из работ Дирака ^[6] и Бергманн.^[17] В этом разделе показано, как устранение относительного времени и энергии происходит в ц.м. система для простой системы двух релятивистских бесспиновых частиц. динамика ограничений была впервые применена к классической релятивистской системе двух частиц Тодоровым,^[18][19] Калбанд Ван Альстайн,^[20][21] Комар,^[22][23] и Дроз-Винсент.^[24] С динамикой ограничений эти авторы нашли последовательный и ковариантный подход к релятивистской канонической гамильтоновой механике, который также уклоняется от теоремы Карри-Джордана-Сударшана «Нет взаимодействия».^[25][26] Эта теорема утверждает, что без полей не может быть релятивистского Гамильтонова динамика. Таким образом, тот же ковариантный трехмерный подход, который позволяет квантованной версии динамики ограничений удалить квантовые призраки одновременно обходит на классическом уровне C.J.S. теорема. Рассмотрим ограничение на четыре вектора координаты и импульса, независимые в противном случае, записанное в виде ${\displaystyle \phi _{i}(p,x)\approx 0}$. Символ${\displaystyle \approx 0}$ называется слабым равенством и означает, что ограничение должно быть наложено только после любого необходимого Скобки Пуассона выполняются. При наличии таких ограничений общаяГамильтониан ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ получается из Лагранжиан ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ добавив к Лежандровский гамильтониан ${\displaystyle (p{\dot {x}}-{\mathcal {L}})}$ сумма ограничений, умноженная на соответствующий набор Множители Лагранжа ${\displaystyle (\lambda _{i})}$.

${\displaystyle {\mathcal {H}}=p{\dot {x}}-{\mathcal {L}}+\lambda _{i}\phi _{i}}$,

Этот полный гамильтониан традиционно называется гамильтонианом Дирака. Ограничения естественным образом возникают из-за инвариантных по параметрам действий вида

${\displaystyle I=\int d\tau {\mathcal {L(\tau )=}}\int d\tau ^{\prime }{\frac {d\tau }{d\tau ^{\prime }}}{\mathcal {L(\tau )=}}\int d\tau ^{\prime }{\mathcal {L(\tau }}^{\prime }{\mathcal {)}}.}$

В случае четырех векторных и лоренц-скалярных взаимодействий для одной частицы лагранжиан имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {L(\tau )}}=-(m+S(x)){\sqrt {-{\dot {x}}^{2}}}+{\dot {x}}\cdot A(x)\,}$

В канонический импульс является

${\displaystyle p={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {{\mathcal {(}}m+S(x)){\dot {x}}}{\sqrt {-{\dot {x}}^{2}}}}+A(x)}$

и возведение в квадрат приводит к обобщенному условию массовой оболочки или обобщенному ограничению массовой оболочки

${\displaystyle (p-A)^{2}+(m+S)^{2}=0.\,}$

Поскольку в этом случае гамильтониан Лежандра обращается в нуль

${\displaystyle p\cdot {\dot {x}}-{\mathcal {L}}=0,\,}$

гамильтониан Дирака - это просто обобщенное ограничение массы (без взаимодействий это будет просто обычное ограничение массовой оболочки)

${\displaystyle {\mathcal {H=\lambda }}\left[\left(p-A\right)^{2}+(m+S)^{2}\right]\equiv \lambda (p^{2}+m^{2}+\Phi (x,p)).}$

Затем постулируется, что для двух тел гамильтониан Дирака является суммой двух таких ограничений массовой оболочки:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}=p_{i}^{2}+m_{i}^{2}+\Phi _{i}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})\approx 0,\,}$

то есть

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\lambda _{1}[p_{1}^{2}+m_{1}^{2}+\Phi _{1}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})]+\lambda _{2}[p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Phi _{2}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})]}$

${\displaystyle =\lambda _{1}{\mathcal {H}}_{1}+\lambda _{2}{\mathcal {H}}_{2},\,}$

и что каждое ограничение ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}}$ быть постоянным в собственное время, связанное с ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\mathcal {\dot {H}}}_{i}=\{{\mathcal {H}}_{i},{\mathcal {H\}\approx }}0\,}$

Здесь слабое равенство означает, что Скобка Пуассона может привести к пропорциональным терминам одного из ограничений, классические скобки Пуассона для релятивистской системы двух тел, определяемые формулой

${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}={\frac {\partial O_{1}}{\partial x_{1}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial p_{1\mu }}}-{\frac {\partial O_{1}}{\partial p_{1}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial x_{1\mu }}}+{\frac {\partial O_{1}}{\partial x_{2}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial p_{2\mu }}}-{\frac {\partial O_{1}}{\partial p_{2}^{\mu }}}{\frac {\partial O_{2}}{\partial x_{2\mu }}}.}$

Чтобы увидеть последствия того, что каждое ограничение является константой движения, возьмем, например,

${\displaystyle {\mathcal {\dot {H}}}_{1}=\{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H\}=}}\lambda _{1}\{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{1}{\mathcal {\}+}}\{{\mathcal {H}}_{1},\lambda _{1}{\mathcal {\}{\mathcal {H}}}}_{2}{\mathcal {+\lambda }}_{2}\{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}{\mathcal {\}+}}\{{\mathcal {\lambda }}_{2},{\mathcal {H}}_{1}{\mathcal {\}H}}_{2}.}$

С ${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{1}\}=0}$ и${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\approx 0}$ и ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}\approx 0}$ надо

${\displaystyle {\mathcal {\dot {H}}}_{1}\approx {\mathcal {\lambda }}_{2}\{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}\approx 0.\,}$

Самое простое решение -

${\displaystyle \Phi _{1}=\Phi _{2}\equiv \Phi (x_{\perp })}$

что приводит к (обратите внимание, что равенство в этом случае не является слабым в том смысле, что не нужно налагать никаких ограничений после того, как скобка Пуассона выработана)

${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}=0\,}$

(см. Тодоров,^[19] и Вонг и Кратер ^[27] ) с тем же ${\displaystyle x_{\perp }}$ определено выше.

Квантование

В дополнение к замене классических динамических переменных их квантовыми аналогами, квантование механики связи происходит путем замены ограничения на динамические переменные ограничением на волновую функцию

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\approx 0\rightarrow {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0}$,

${\displaystyle {\mathcal {H}}\approx 0\rightarrow {\mathcal {H}}\Psi =0}$.

Первая система уравнений для я = 1, 2 играют роль для бесспиновых частиц, которую два уравнения Дирака играют для частиц с половинным спином. Классические скобки Пуассона заменены коммутаторами

${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}\rightarrow {\frac {1}{i}}[O_{1},O_{2}].\,}$

Таким образом

${\displaystyle [{\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}]=0,\,}$

и мы видим в этом случае, что формализм ограничений приводит к обращению в нуль коммутатора волновых операторов для двух частиц в. Это аналог заявленного ранее утверждения о коммутации двух операторов Дирака друг с другом.

Ковариантное исключение относительной энергии

Обнуление вышеуказанного коммутатора гарантирует, что динамика не зависит от относительного времени в c.m. Рамка. Чтобы частично исключить относительную энергию, введите относительный импульс ${\displaystyle p}$ определяется

${\displaystyle p_{1}={\frac {p_{1}\cdot P}{P^{2}}}P+p\,,}$

(1)

${\displaystyle p_{2}={\frac {p_{2}\cdot P}{P^{2}}}P-p\,,}$

(2)

Вышеупомянутое определение относительного импульса обеспечивает ортогональность общего количества движения и относительного количества движения,

${\displaystyle P\cdot p=0}$,

которое следует из скалярного произведения любого уравнения с ${\displaystyle P}$.Из формул (1) и (2), этот относительный импульс можно записать через ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$ в качестве

${\displaystyle p={\frac {\varepsilon _{2}}{\sqrt {-P^{2}}}}p_{1}-{\frac {\varepsilon _{1}}{\sqrt {-P^{2}}}}p_{2}}$

куда

${\displaystyle \varepsilon _{1}=-{\frac {p_{1}\cdot P}{\sqrt {-P^{2}}}}=-{\frac {P^{2}+p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{2}=-{\frac {p_{2}\cdot P}{\sqrt {-P^{2}}}}=-{\frac {P^{2}+p_{2}^{2}-p_{1}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}}$

проекции импульсов ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$ по направлению полного импульса ${\displaystyle P}$. Вычитая два ограничения ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\Psi =0}$ и ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}\Psi =0}$, дает

${\displaystyle (p_{1}^{2}-p_{2}^{2})\Psi =-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})\Psi }$

(3)

Таким образом, по этим состояниям ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \varepsilon _{1}\Psi ={\frac {-P^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}\Psi }$

${\displaystyle \varepsilon _{2}\Psi ={\frac {-P^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}\Psi }$ .

Уравнение ${\displaystyle {\mathcal {H}}\Psi =0}$ описывает оба с. движение и внутреннее относительное движение. Чтобы охарактеризовать первое движение, заметьте, что, поскольку потенциал ${\displaystyle \Phi }$ зависит только от разницы двух координат

${\displaystyle [P,{\mathcal {H}}]\Psi =0}$.

(Это не требует, чтобы ${\displaystyle [P,\lambda _{i}]=0}$ так как ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0}$.) Таким образом, полный импульс ${\displaystyle P}$ постоянная движения и ${\displaystyle \Psi }$ является собственным состоянием, характеризуемым полным импульсом ${\displaystyle P^{\prime }}$. В комм. система ${\displaystyle P^{\prime }=(w,{\vec {0}}),}$ с ${\displaystyle w}$ инвариантный центр импульса (с.м.) энергии. Таким образом

${\displaystyle (P^{2}+w^{2})\Psi =0\,,}$

(4)

и так ${\displaystyle \Psi }$ также является собственным состоянием c.m. энергетические операторы для каждой из двух частиц,

${\displaystyle \varepsilon _{1}\Psi ={\frac {w^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2w}}\Psi }$

${\displaystyle \varepsilon _{2}\Psi ={\frac {w^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2w}}\Psi }$.

Тогда относительный импульс удовлетворяет

${\displaystyle p\Psi ={\frac {\varepsilon _{2}p_{1}-\varepsilon _{1}p_{2}}{w}}\Psi }$,

так что

${\displaystyle p_{1}\Psi =\left({\frac {\varepsilon _{1}}{w}}P+p\right)\Psi }$,

${\displaystyle p_{2}\Psi =\left({\frac {\varepsilon _{2}}{w}}P-p\right)\Psi }$ ,

Приведенная выше система уравнений следует из ограничений ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}\Psi =0}$ и определение относительных импульсов, данное в уравнениях (1) и (2Если вместо этого выбрать определение (для более общего выбора см. Horwitz),^[28]

${\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {w^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2w}},}$

${\displaystyle \varepsilon _{2}={\frac {w^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2w}},}$

${\displaystyle p={\frac {\varepsilon _{2}p_{1}-\varepsilon _{1}p_{2}}{w}},}$

независимо от волновой функции, то

${\displaystyle p_{1}=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{w}}P+p\right),}$

(5)

${\displaystyle p_{2}=\left({\frac {\varepsilon _{2}}{w}}P-p\right),}$

(6)

и нетрудно показать, что уравнение связи (3) ведет прямо к

${\displaystyle P\cdot p\Psi =0,}$

(7)

на месте ${\displaystyle P\cdot p=0}$. Это согласуется с более ранним утверждением об исчезновении относительной энергии в с.м. рама сделана в связке с TBDE. Во втором варианте с.м. значение относительной энергии не определяется как ноль, а исходит из исходных обобщенных ограничений массовой оболочки. Приведенные выше уравнения для относительного и составляющего четырех импульсов являются релятивистскими аналогами нерелятивистских уравнений

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m_{2}{\vec {p}}_{1}-m_{1}{\vec {p}}_{2}}{M}}}$,

${\displaystyle {\vec {p}}_{1}={\frac {m_{1}}{M}}{\vec {P}}+{\vec {p}}}$,

${\displaystyle {\vec {p}}_{2}={\frac {m_{2}}{M}}{\vec {P}}+{\vec {p}}}$.

Ковариантное уравнение на собственные значения для внутреннего движения

Используя уравнения (5),(6),(7) можно написать ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ с точки зрения ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}\Psi =\{\lambda _{1}[-\varepsilon _{1}^{2}+m_{1}^{2}+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]+\lambda _{2}[-\varepsilon _{2}^{2}+m_{2}^{2}+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]\}\Psi }$

${\displaystyle =(\lambda _{1}+\lambda _{2})[-b^{2}(-P^{2};m_{1}^{2},m_{2}^{2})+p^{2}+\Phi (x_{\perp })]\Psi =0\,,}$

(8)

куда

${\displaystyle b^{2}(-P^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})=\varepsilon _{1}^{2}-m_{1}^{2}=\varepsilon _{2}^{2}-m_{2}^{2}\ =-{\frac {1}{4P^{2}}}(P^{4}+2P^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2})\,.}$

Уравнение (8) содержит как полный импульс ${\displaystyle P}$ [сквозь ${\displaystyle b^{2}(-P^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})}$] и относительный импульс ${\displaystyle p}$. Используя уравнение. (4), получаем уравнение на собственные значения

${\displaystyle (\lambda _{1}+\lambda _{2})\left\{p^{2}+\Phi (x_{\perp })-b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\right\}\Psi =0\,,}$

(9)

так что ${\displaystyle b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})}$ становится стандартной функцией треугольника, отображающей точную релятивистскую кинематику двух тел:

${\displaystyle b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})={\frac {1}{4w^{2}}}\left\{w^{4}-2w^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}\right\}\,.}$

С указанными выше уравнениями связи (7) на ${\displaystyle \Psi }$ тогда ${\displaystyle p^{2}\Psi =p_{\perp }^{2}\Psi }$ куда ${\displaystyle p_{\perp }=p-p\cdot PP/P^{2}}$. Это позволяет написать уравнение. (9) в виде уравнения на собственные значения

${\displaystyle \{p_{\perp }^{2}+\Phi (x_{\perp })\}\Psi =b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\Psi \,,}$

имеющий структуру, очень похожую на структуру обычного трехмерного нерелятивистского уравнения Шредингера. Это явно ковариантное уравнение, но в то же время его трехмерная структура очевидна. ${\displaystyle p_{\perp }^{\mu }}$ и ${\displaystyle x_{\perp }^{\mu }}$ имеют только три независимых компонента, так как

${\displaystyle P\cdot p_{\perp }=P\cdot x_{\perp }=0\,.}$

Сходство с трехмерной структурой нерелятивистского уравнения Шредингера можно сделать более явным, записав уравнение в c.m. кадр, в котором

${\displaystyle P=(w,{\vec {0}})}$,

${\displaystyle p_{\perp }=(0,{\vec {p}})}$,

${\displaystyle x_{\perp }=(0,{\vec {x}})}$.

Сравнение полученной формы

${\displaystyle \{{\vec {p}}^{2}+\Phi ({\vec {x}})\}\Psi =b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\Psi \,,}$

(10)

с не зависящим от времени уравнением Шредингера

${\displaystyle \left({\vec {p}}^{2}+2\mu V({\vec {x}})\right)\Psi =2\mu E\Psi \,,}$

(11)

делает это сходство явным.

Двухчастичные релятивистские уравнения Клейна – Гордона.

Правдоподобная структура квазипотенциала ${\displaystyle \Phi }$ можно найти, заметив, что однотельное уравнение Клейна-Гордона ${\displaystyle (p^{2}+m^{2})\psi =({\vec {p}}^{2}-\varepsilon ^{2}+m^{2})\psi =0}$ принимает форму ${\displaystyle ({\vec {p}}^{2}-\varepsilon ^{2}+m^{2}+2mS+S^{2}+2\varepsilon A-A^{2})\psi =0~}$ когда вводится скалярное взаимодействие и времяподобное векторное взаимодействие через ${\displaystyle m\rightarrow m+S~}$и ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow \varepsilon -A}$. В двухкорпусном корпусе отдельные классические ^[29][30] и квантовая теория поля ^[4]аргументы показывают, что, когда включаются мировые скалярные и векторные взаимодействия, тогда ${\displaystyle \Phi }$ зависит от двух основных инвариантных функций ${\displaystyle S(r)}$ и ${\displaystyle A(r)}$ через двухчастичную потенциальную форму Клейна-Гордона с той же общей структурой, т. е.

${\displaystyle \Phi =2m_{w}S+S^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2}.}$

Эти теории поля далее приводят к c.m. энергозависимые формы

${\displaystyle m_{w}=m_{1}m_{2}/w,}$

и

${\displaystyle \varepsilon _{w}=(w^{2}-m_{1}^{2}-m_{2}^{2})/2w,}$

те, которые Тододов ввел как релятивистскую приведенную массу и эффективную энергию частиц для системы двух тел. Подобно тому, что происходит в нерелятивистской задаче двух тел, в релятивистском случае движение этой эффективной частицы происходит так, как если бы она находилась во внешнем поле (здесь порожденном ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle A}$). Две кинематические переменные ${\displaystyle m_{w}}$ и ${\displaystyle \varepsilon _{w}}$ связаны между собой условием Эйнштейна

${\displaystyle \varepsilon _{w}^{2}-m_{w}^{2}=b^{2}(w),}$

Если ввести четыре вектора, включая векторное взаимодействие ${\displaystyle A^{\mu }}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\varepsilon _{w}{\hat {P}}+p,}$

${\displaystyle A^{\mu }={\hat {P}}^{\mu }A(r)}$

${\displaystyle r={\sqrt {x_{\perp }^{2}}}\,,}$

и скалярное взаимодействие ${\displaystyle S(r)}$, то следующая классическая минимальная форма ограничения

${\displaystyle {\mathcal {H=}}\left({\mathfrak {p-}}A\right)^{2}+(m_{w}+S)^{2}\approx 0\,,}$

воспроизводит

${\displaystyle {\mathcal {H=}}p_{\perp }^{2}+\Phi -b^{2}\approx 0\,.}$

(12)

Обратите внимание, что взаимодействие в этой связи «приведенная частица» зависит от двух инвариантных скаляров, ${\displaystyle A(r)}$ и ${\displaystyle S(r)}$, один управляет взаимодействием времениподобных векторов, а другой - скалярным взаимодействием.

Существует ли система двухчастичных уравнений Клейна-Гордона, аналогичная двухчастичным уравнениям Дирачеса? Классические релятивистские связи, аналогичные квантовым уравнениям Дирака для двух тел (обсуждаемых во введении) и имеющие ту же структуру, что и приведенная выше форма Клейна-Гордона для одного тела:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}=(p_{1}-A_{1})^{2}+(m_{1}+S_{1})^{2}=p_{1}^{2}+m_{1}^{2}+\Phi _{1}\approx 0}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}=(p_{1}-A_{2})^{2}+(m_{2}+S_{2})^{2}=p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Phi _{2}\approx 0,}$

${\displaystyle p_{1}=\varepsilon _{1}{\hat {P}}+p;~~p_{2}=\varepsilon _{2}{\hat {P}}-p~.}$

Определение структур, отображающих временные векторные и скалярные взаимодействия

${\displaystyle \pi _{1}=p_{1}-A_{1}=[{\hat {P}}(\varepsilon _{1}-{\mathcal {A}}_{1})+p],}$

${\displaystyle \pi _{2}=p_{2}-A_{2}=[{\hat {P}}(\varepsilon _{2}-{\mathcal {A}}_{1})-p],}$

${\displaystyle M_{1}=m_{1}+S_{1},}$

${\displaystyle M_{2}=m_{2}+S_{2},}$

дает

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}=\pi _{1}^{2}+M_{1}^{2},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}=\pi _{2}^{2}+M_{2}^{2}.}$

Внушительный

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}&=\Phi _{2}\equiv \Phi (x_{\perp })\\&=-2p_{1}\cdot A_{1}+A_{1}^{2}+2m_{1}S_{1}+S_{1}^{2}\\&=-2p_{2}\cdot A_{2}+A_{2}^{2}+2m_{2}S_{2}+S_{2}^{2}\\&=2\varepsilon _{w}A-A^{2}+2m_{w}S+S^{2},\end{aligned}}}$

и используя ограничение ${\displaystyle P\cdot p\approx 0}$, воспроизводит уравнения (12) при условии

${\displaystyle \pi _{1}^{2}-p^{2}=-\left(\varepsilon _{1}-{\mathcal {A}}_{1}\right)^{2}=-\varepsilon _{1}^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2},}$

${\displaystyle \pi _{2}^{2}-p^{2}=-\left(\varepsilon _{2}-{\mathcal {A}}_{2}\right)^{2}=-\varepsilon _{2}^{2}+2\varepsilon _{w}A-A^{2},}$

${\displaystyle M_{1}{}^{2}=m_{1}^{2}+2m_{w}S+S^{2},}$

${\displaystyle M_{2}^{2}=m_{2}^{2}+2m_{w}S+S^{2}.}$

Соответствующие уравнения Клейна-Гордона следующие:

${\displaystyle \left(\pi _{1}^{2}+M_{1}^{2}\right)\psi =0,}$

${\displaystyle \left(\pi _{2}^{2}+M_{2}^{2}\right)\psi =0,}$

и каждый из-за ограничения ${\displaystyle P\cdot p\approx 0,}$ эквивалентно

${\displaystyle {\mathcal {H\psi =}}\left(p_{\perp }^{2}+\Phi -b^{2}\right){\mathcal {\psi }}=0.}$

Гиперболическая зависимость от внешнего поля двухчастичных уравнений Дирака

Для системы двух тел существует множество ковариантных форм взаимодействия. Самый простой способ взглянуть на них - с точки зрения структур гамма-матрицы соответствующих вершин взаимодействия диаграмм обмена одиночных статей. Для скалярных, псевдоскалярных, векторных, псевдовекторных и тензорных обменов эти матричные структуры соответственно

${\displaystyle 1_{1}1_{2};\gamma _{51}\gamma _{52};\gamma _{1}^{\mu }\gamma _{2\mu };\gamma _{51}\gamma _{1}^{\mu }\gamma _{52}\gamma _{2\mu };\sigma _{1\mu \nu }\sigma _{2}^{\mu \nu },}$

в котором

${\displaystyle \sigma _{i\mu \nu }={\frac {1}{2i}}[\gamma _{i\mu },\gamma _{i\nu }];i=1,2.}$

Форма двухчастичных уравнений Дирака, которая наиболее легко объединяет каждое или любое количество этих взаимодействий, является так называемой гиперболической формой TBDE.^[31] Для комбинированных скалярных и векторных взаимодействий эти формы в конечном итоге сводятся к тем, которые приведены в первом наборе уравнений этой статьи. Эти уравнения называются формами, подобными внешнему полю, потому что их внешний вид индивидуально такой же, как и для обычного одночастичного уравнения Дирака в присутствии внешнего векторного и скалярного полей.

Наиболее общая гиперболическая форма для совместимого TBDE - это

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}\psi =(\cosh(\Delta )\mathbf {S} _{1}+\sinh(\Delta )\mathbf {S} _{2})\psi =0\mathrm {,} }$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}\psi =(\cosh(\Delta )\mathbf {S} _{2}+\sinh(\Delta )\mathbf {S} _{1})\psi =0,}$

(13)

куда ${\displaystyle \Delta }$ представляет собой любое инвариантное взаимодействие по отдельности или в сочетании. Помимо координатной зависимости, он имеет матричную структуру. В зависимости от того, что это за матричная структура, есть скалярные, псевдоскалярные, векторные, псевдовекторные или тензорные взаимодействия. Операторы ${\displaystyle \mathbf {S} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {S} _{2}}$ являются вспомогательными ограничениями, удовлетворяющими

${\displaystyle \mathbf {S} _{1}\psi \equiv ({\mathcal {S}}_{10}\cosh(\Delta )+{\mathcal {S}}_{20}\sinh(\Delta )~)\psi =0,}$

${\displaystyle \mathbf {S} _{2}\psi \equiv ({\mathcal {S}}_{20}\cosh(\Delta )+{\mathcal {S}}_{10}\sinh(\Delta )~)\psi =0,}$

(14)

в которой ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i0}}$ свободные операторы Дирака

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i0}={\frac {i}{\sqrt {2}}}\gamma _{5i}(\gamma _{i}\cdot p_{i}+m_{i})=0,}$

(15)

Это, в свою очередь, приводит к двум условиям совместимости

${\displaystyle \lbrack {\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {S}}_{2}]\psi =0,}$

и

${\displaystyle \lbrack \mathbf {S} _{1},\mathbf {S} _{2}]\psi =0,}$

при условии, что ${\displaystyle \Delta =\Delta (x_{\perp }).}$ Эти условия совместимости не ограничивают структуру гамма-матрицы ${\displaystyle \Delta }$. Эта матричная структура определяется типом вершинно-вершинной структуры, включенной во взаимодействие. Для двух типов инвариантных взаимодействий ${\displaystyle \Delta }$ подчеркнуто в этой статье, они

${\displaystyle \Delta _{\mathcal {L}}(x_{\perp })=-1_{1}1_{2}{\frac {{\mathcal {L}}(x_{\perp })}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{scalar}}\mathrm {,} }$

${\displaystyle \Delta _{\mathcal {G}}(x_{\perp })=\gamma _{1}\cdot \gamma _{2}{\frac {{\mathcal {G}}(x_{\perp })}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{vector}}\mathrm {,} }$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}=-\gamma _{51}\gamma _{52}.}$

Для общих независимых скалярных и векторных взаимодействий

${\displaystyle \Delta (x_{\perp })=\Delta _{\mathcal {L}}+\Delta _{\mathcal {G}}.}$

Векторное взаимодействие, заданное вышеупомянутой структурой матрицы для электромагнитного взаимодействия, соответствовало бы калибровке Фейнмана.

Если вставить уравнение (14) в (13) и приносит оператор freeDirac (15) справа от матричных гиперболических функций и использует стандартные гамма-матричные коммутаторы и антикоммутаторы и ${\displaystyle \cosh ^{2}\Delta -\sinh ^{2}\Delta =1}$ один прибывает в ${\displaystyle \left(\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }\right),}$

${\displaystyle {\big (}G\gamma _{1}\cdot {\mathcal {P}}_{2}-E_{1}\beta _{1}+M_{1}-G{\frac {i}{2}}\Sigma _{2}\cdot \partial ({\mathcal {L}}\beta _{2}{\mathcal {-G}}\beta _{1})\gamma _{52}{\big )}\psi =0,}$

${\displaystyle {\big (}-G\gamma _{2}\cdot {\mathcal {P}}_{1}-E_{2}\beta _{2}+M_{2}+G{\frac {i}{2}}\Sigma _{1}\cdot \partial ({\mathcal {L}}\beta _{1}{\mathcal {-G}}\beta _{2})\gamma _{51}{\big )}\psi =0,}$

(16)

в котором

${\displaystyle G=\exp {\mathcal {G}},}$

${\displaystyle \beta _{i}=-\gamma _{i}\cdot {\hat {P}},}$

${\displaystyle \gamma _{i\perp }^{\mu }=(\eta ^{\mu \nu }+{\hat {P}}^{\mu }{\hat {P}}^{\nu })\gamma _{\nu i},}$

${\displaystyle \Sigma _{i}=\gamma _{5i}\beta _{i}\gamma _{\perp i},}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}\equiv p_{\perp }-{\frac {i}{2}}\Sigma _{i}\cdot \partial {\mathcal {G}}\Sigma _{i},i=1,2.}$

(Ковариантная) структура этих уравнений аналогична структуре уравнения Дирака для каждой из двух частиц с ${\displaystyle M_{i}}$ и ${\displaystyle E_{i}}$играя роли, которые ${\displaystyle m+S}$ и ${\displaystyle \varepsilon -A}$ сделать в одночастичном уравнении Дирака

${\displaystyle (\mathbf {\gamma } \cdot \mathbf {p-} \beta (\varepsilon -A)+m+S)\psi =0.}$

Сверх обычной кинетической части ${\displaystyle \gamma _{1}\cdot p_{\perp }}$ и временные векторные и скалярные потенциальные части, спин-зависимые модификации, включающие ${\displaystyle \Sigma _{i}\cdot \partial {\mathcal {G}}\Sigma _{i}}$и последний набор производных членов - это эффекты отдачи двух тел, отсутствующие для одночастичного уравнения Дирака, но существенные для совместимости (согласованности) уравнений двух тел. Связи между тем, что принято называть инвариантами вершин ${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {G}}}$ и массовые и энергетические потенциалы ${\displaystyle M_{i},E_{i}}$ находятся

${\displaystyle M_{1}=m_{1}\cosh {\mathcal {L}}+m_{2}\sinh {\mathcal {L}},}$

${\displaystyle M_{2}=m_{2}\cosh {\mathcal {L}}+m_{1}\sinh {\mathcal {L}},}$

${\displaystyle E_{1}=\varepsilon _{1}\cosh {\mathcal {G}}-\varepsilon _{2}\sinh {\mathcal {G}},}$

${\displaystyle E_{2}=\varepsilon _{2}\cosh {\mathcal {G}}-\varepsilon _{1}\sinh {\mathcal {G}}.}$

Сравнивая уравнение (16) с первым уравнением этой статьи обнаруживается, что зависящие от спина векторные взаимодействия

${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}^{\mu }={\big (}(\varepsilon _{1}-E_{1}){\big )}{\hat {P}}^{\mu }+(1-G)p_{\perp }^{\mu }-{\frac {i}{2}}\partial G\cdot \gamma _{2}\gamma _{2}^{\mu },}$

${\displaystyle A_{2}^{\mu }={\big (}(\varepsilon _{2}-E_{2}){\big )}{\hat {P}}^{\mu }-(1-G)p_{\perp }^{\mu }+{\frac {i}{2}}\partial G\cdot \gamma _{1}\gamma _{1}^{\mu },}$

Обратите внимание, что первая часть векторных потенциалов времениподобна (параллельна ${\displaystyle {\hat {P}}^{\mu })}$ а следующая часть пространственна (перпендикулярна ${\displaystyle {\hat {P}}^{\mu })}$. Зависящие от спина скалярные потенциалы ${\displaystyle {\tilde {S}}_{i}}$ находятся

${\displaystyle {\tilde {S}}_{1}=M_{1}-m_{1}-{\frac {i}{2}}G\gamma _{2}\cdot \partial {\mathcal {L}},}$

${\displaystyle {\tilde {S}}_{2}=M_{2}-m_{2}+{\frac {i}{2}}G\gamma _{1}\cdot {\partial }{\mathcal {L}}{.}}$

Параметризация для ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ использует преимущества форм эффективного внешнего потенциала Тодорова (как показано в предыдущем разделе по двухчастичным уравнениям Клейна-Гордона) и в то же время отображает правильную статическую предельную форму для редукции Паули к форме Шредингера. Выбор этих параметризаций (как и в случае двухчастичных уравнений Клейн-Гордона) тесно связан с классическими или квантовыми теориями поля для отдельных скалярных и векторных взаимодействий. Это сводится к работе в калибровке Фейнмана с простейшим соотношением между пространственной и времяподобной частями векторного взаимодействия. Потенциалы массы и энергии соответственно равны

${\displaystyle M_{i}^{2}=m_{i}^{2}+\exp(2{\mathcal {G)(}}2m_{w}S{\mathcal {+}}S^{2}),}$

${\displaystyle E_{i}^{2}=\exp(2{\mathcal {G(A))(}}\varepsilon _{i}-A)^{2},}$

так что

${\displaystyle \exp({\mathcal {L}})=\exp({\mathcal {L}}(S,A))={\frac {M_{1}+M_{2}}{m_{1}+m_{2}}},}$

${\displaystyle G=\exp {\mathcal {G=}}\exp({\mathcal {G(}}A{\mathcal {))=}}{\sqrt {\frac {1}{(1-2A/w)}}}.}$

Applications and limitations

The TBDE can be readily applied to two body systems such as positronium, мюоний, водород -like atoms, quarkonium, and the two-нуклон система.^[32][33][34] These applications involve two particles only and do not involve creation or annihilation of particles beyond the two. They involve only elastic processes. Because of the connection between the potentials used in the TBDE and the corresponding quantum field theory, any radiative correction to the lowest order interaction can be incorporated into those potentials. To see how this comes about, consider by contrast how one computes scattering amplitudes without quantum field theory. With no quantum field theory one must come upon potentials by classical arguments or phenomenological considerations. Once one has the potential ${\displaystyle V}$ between two particles, then one can compute the scattering amplitude ${\displaystyle T}$ от Lippmann-Schwinger уравнение ^[35]

${\displaystyle T+V+VGT=0}$,

в котором ${\displaystyle G}$ is a Green function determined from the Schrödinger equation. Because of the similarity between the Schrödinger equation Eq. (11) and the relativistic constraint equation (10),one can derive the same type of equation as the above

${\displaystyle {\mathcal {T}}+\Phi +\Phi {\mathcal {GT}}=0}$,

called the quasipotential equation with a ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ very similar to that given in the Lippmann-Schwinger equation. The difference is that with the quasipotential equation, one starts with the scattering amplitudes ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ of quantum field theory, as determined from Feynman diagrams and deduces the quasipotential Φ perturbatively. Then one can use that Φ in (10), to compute energy levels of two particle systems that are implied by the field theory. Constraint dynamics provides one of many, in fact an infinite number of, different types of quasipotential equations (three-dimensional truncations of the Bethe-Salpeter equation) differing from one another by the choice of ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.^[36] The relatively simple solution to the problem of relative time and energy from the generalized mass shell constraint for two particles, has no simple extension, such as presented here with the ${\displaystyle x_{\perp }}$ variable, to either two particles in an external field ^[37] or to 3 or more particles. Sazdjian has presented a recipe for this extension when the particles are confined and cannot split into clusters of a smaller number of particles with no inter-cluster interactions ^[38] Lusanna has developed an approach, one that does not involve generalized mass shell constraints with no such restrictions, which extends to N bodies with or without fields. It is formulated on spacelike hypersurfaces and when restricted to the family of hyperplanes orthogonal to the total timelike momentum gives rise to a covariant intrinsic 1-time formulation (with no relative time variables) called the "rest-frame instant form" of dynamics,^[39][40]

Смотрите также

• Breit equation
• 4-vector
• Уравнение Дирака
• Уравнение Дирака в алгебре физического пространства
• Dirac operator
• Электромагнетизм
• Kinetic momentum
• Многие проблемы с телом
• Инвариантная масса
• Физика элементарных частиц
• Позитроний
• Исчисление Риччи
• Специальная теория относительности
• Вращение
• Квантовая запутанность
• Релятивистская квантовая механика

Рекомендации

1. Bethe, Hans A.; Edwin E. Salpeter (2008). Quantum mechanics of one- and two-electron atoms (Дуврский ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0486466675.
2. Nakanishi, Noboru (1969). "A General Survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation". Progress of Theoretical Physics Supplement. Издательство Оксфордского университета (ОУП). 43: 1–81. Дои:10.1143/ptps.43.1. ISSN  0375-9687.
3. Sazdjian, H. (1985). "The quantum mechanical transform of the Bethe-Salpeter equation". Письма по физике B. Elsevier BV. 156 (5–6): 381–384. Дои:10.1016/0370-2693(85)91630-2. ISSN  0370-2693.
4. Jallouli, H; Sazdjian, H (1997). "The Relativistic Two-Body Potentials of Constraint Theory from Summation of Feynman Diagrams". Анналы физики. Elsevier BV. 253 (2): 376–426. arXiv:hep-ph/9602241. Дои:10.1006/aphy.1996.5632. ISSN  0003-4916.
5. P.A.M. Dirac, Can. J. Math. 2, 129 (1950)
6. P.A.M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics (Yeshiva University, New York, 1964)
7. P. Van Alstine and H.W. Crater, Journal of Mathematical Physics 23, 1697 (1982).
8. Crater, Horace W; Van Alstine, Peter (1983). "Two-body Dirac equations". Анналы физики. 148 (1): 57–94. Bibcode:1983AnPhy.148...57C. Дои:10.1016/0003-4916(83)90330-5.
9. Sazdjian, H. (1986). "Relativistic wave equations for the dynamics of two interacting particles". Физический обзор D. 33 (11): 3401–3424. Bibcode:1986PhRvD..33.3401S. Дои:10.1103/PhysRevD.33.3401. PMID  9956560.
10. Sazdjian, H. (1986). "Relativistic quarkonium dynamics". Физический обзор D. 33 (11): 3425–3434. Bibcode:1986PhRvD..33.3425S. Дои:10.1103/PhysRevD.33.3425.
11. Breit, G. (1929-08-15). "The Effect of Retardation on the Interaction of Two Electrons". Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 34 (4): 553–573. Дои:10.1103/physrev.34.553. ISSN  0031-899X.
12. Breit, G. (1930-08-01). "The Fine Structure of HE as a Test of the Spin Interactions of Two Electrons". Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 36 (3): 383–397. Дои:10.1103/physrev.36.383. ISSN  0031-899X.
13. Breit, G. (1932-02-15). "Dirac's Equation and the Spin-Spin Interactions of Two Electrons". Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 39 (4): 616–624. Дои:10.1103/physrev.39.616. ISSN  0031-899X.
14. Van Alstine, Peter; Crater, Horace W. (1997). "A tale of three equations: Breit, Eddington—Gaunt, and Two-Body Dirac". Основы физики. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 27 (1): 67–79. arXiv:hep-ph/9708482. Дои:10.1007/bf02550156. ISSN  0015-9018.
15. Crater, Horace W.; Wong, Chun Wa; Wong, Cheuk-Yin (1996). "Singularity-Free Breit Equation from Constraint Two-Body Dirac Equations". International Journal of Modern Physics E. World Scientific Pub Co Pte Lt. 05 (04): 589–615. arXiv:hep-ph/9603402. Дои:10.1142/s0218301396000323. ISSN  0218-3013.
16. Crater, Horace W.; Peter Van Alstine (1999). "Two-Body Dirac Equations for Relativistic Bound States of Quantum Field Theory". arXiv:hep-ph/9912386.
17. Bergmann, Peter G. (1949-02-15). "Non-Linear Field Theories". Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 75 (4): 680–685. Дои:10.1103/physrev.75.680. ISSN  0031-899X.
18. I. T. Todorov, " Dynamicsof Relativistic Point Particles as a Problem withConstraints", Dubna Joint Institute for Nuclear ResearchNo. E2-10175, 1976
19. I. T. Todorov, Annals of the Institute of H. Poincaré' {A28},207 (1978)
20. M. Kalb and P. Van Alstine, Yale Reports, C00-3075-146(1976),C00-3075-156 (1976),
21. P. Van Alstine, Ph.D. Dissertation YaleUniversity, (1976)
22. Komar, Arthur (1978-09-15). "Constraint formalism of classical mechanics". Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 18 (6): 1881–1886. Дои:10.1103/physrevd.18.1881. ISSN  0556-2821.
23. Komar, Arthur (1978-09-15). "Interacting relativistic particles". Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 18 (6): 1887–1893. Дои:10.1103/physrevd.18.1887. ISSN  0556-2821.
24. Droz-Vincent, Philippe (1975). "Hamiltonian systems of relativistic particles". Доклады по математической физике. Elsevier BV. 8 (1): 79–101. Дои:10.1016/0034-4877(75)90020-8. ISSN  0034-4877.
25. Currie, D.G .; Jordan, T. F.; Sudarshan, E. C. G. (1963-04-01). "Relativistic Invariance and Hamiltonian Theories of Interacting Particles". Обзоры современной физики. Американское физическое общество (APS). 35 (2): 350–375. Дои:10.1103/revmodphys.35.350. ISSN  0034-6861.
26. Currie, D.G .; Jordan, T. F.; Sudarshan, E. C. G. (1963-10-01). "Erratum: Relativistic Invariance and Hamiltonian Theories of Interacting Particles". Обзоры современной физики. Американское физическое общество (APS). 35 (4): 1032–1032. Дои:10.1103/revmodphys.35.1032.2. ISSN  0034-6861.
27. Wong, Cheuk-Yin; Crater, Horace W. (2001-03-23). "RelativisticN-body problem in a separable two-body basis". Physical Review C. Американское физическое общество (APS). 63 (4): 044907. arXiv:nucl-th/0010003. Дои:10.1103/physrevc.63.044907. ISSN  0556-2813.
28. Horwitz, L. P.; Rohrlich, F. (1985-02-15). "Limitations of constraint dynamics". Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 31 (4): 932–933. Дои:10.1103/physrevd.31.932. ISSN  0556-2821.
29. Crater, Horace W.; Van Alstine, Peter (1992-07-15). "Restrictions imposed on relativistic two-body interactions by classical relativistic field theory". Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 46 (2): 766–776. Дои:10.1103/physrevd.46.766. ISSN  0556-2821.
30. Crater, Horace; Yang, Dujiu (1991). "A covariant extrapolation of the noncovariant two particle Wheeler–Feynman Hamiltonian from the Todorov equation and Dirac's constraint mechanics". Журнал математической физики. AIP Publishing. 32 (9): 2374–2394. Дои:10.1063/1.529164. ISSN  0022-2488.
31. Crater, H. W.; Van Alstine, P. (1990). "Extension of two‐body Dirac equations to general covariant interactions through a hyperbolic transformation". Журнал математической физики. AIP Publishing. 31 (8): 1998–2014. Дои:10.1063/1.528649. ISSN  0022-2488.
32. Crater, H. W.; Becker, R. L.; Wong, C. Y.; Van Alstine, P. (1992-12-01). "Nonperturbative solution of two-body Dirac equations for quantum electrodynamics and related field theories". Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 46 (11): 5117–5155. Дои:10.1103/physrevd.46.5117. ISSN  0556-2821.
33. Crater, Horace; Schiermeyer, James (2010). "Applications of two-body Dirac equations to the meson spectrum with three versus two covariant interactions, SU(3) mixing, and comparison to a quasipotential approach". Физический обзор D. 82 (9): 094020. arXiv:1004.2980. Bibcode:2010PhRvD..82i4020C. Дои:10.1103/PhysRevD.82.094020.
34. Лю, Бин; Crater, Horace (2003-02-18). "Two-body Dirac equations for nucleon-nucleon scattering". Physical Review C. Американское физическое общество (APS). 67 (2): 024001. arXiv:nucl-th/0208045. Дои:10.1103/physrevc.67.024001. ISSN  0556-2813.
35. J. J. Sakurai, Современная квантовая механика, Addison Wesley (2010)
36. Yaes, Robert J. (1971-06-15). "Infinite Set of Quasipotential Equations from the Kadyshevsky Equation". Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 3 (12): 3086–3090. Дои:10.1103/physrevd.3.3086. ISSN  0556-2821.
37. Bijebier, J.; Broekaert, J. (1992). "The two-body plus potential problem between quantum field theory and relativistic quantum mechanics (two-fermion and fermion-boson cases)". Il Nuovo Cimento A. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 105 (5): 625–640. Дои:10.1007/bf02730768. ISSN  0369-3546.
38. Sazdjian, H (1989). "N-body bound state relativistic wave equations". Анналы физики. Elsevier BV. 191 (1): 52–77. Дои:10.1016/0003-4916(89)90336-9. ISSN  0003-4916.
39. Lusanna, Luca (1997-02-10). "The N- and 1-Time Classical Descriptions of N-Body Relativistic Kinematics and the Electromagnetic Interaction". Международный журнал современной физики A. World Scientific Pub Co Pte Lt. 12 (04): 645–722. arXiv:hep-th/9512070. Дои:10.1142/s0217751x9700058x. ISSN  0217-751X.
40. Lusanna, Luca (2013). "From Clock Synchronization to Dark Matter as a Relativistic Inertial Effect". Springer Proceedings in Physics. Heidelberg: Springer International Publishing. pp. 267–343. arXiv:1205.2481. Дои:10.1007/978-3-319-00215-6_8. ISBN  978-3-319-00214-9. ISSN  0930-8989.

• Childers, R. (1982). "Two-body Dirac equation for semirelativistic quarks". Физический обзор D. 26 (10): 2902–2915. Bibcode:1982PhRvD..26.2902C. Дои:10.1103/PhysRevD.26.2902.
• Childers, R. (1985). "Erratum: Two-body Dirac equation for semirelativistic quarks". Физический обзор D. 32 (12): 3337. Bibcode:1985PhRvD..32.3337C. Дои:10.1103/PhysRevD.32.3337.
• Ferreira, P. (1988). "Two-body Dirac equation with a scalar linear potential". Физический обзор D. 38 (8): 2648–2650. Bibcode:1988PhRvD..38.2648F. Дои:10.1103/PhysRevD.38.2648. HDL:11449/34339.
• Scott, T.; Shertzer, J.; Moore, R. (1992). "Accurate finite-element solutions of the two-body Dirac equation". Физический обзор A. 45 (7): 4393–4398. Bibcode:1992PhRvA..45.4393S. Дои:10.1103/PhysRevA.45.4393. PMID  9907514.
• Patterson, Chris W. (2019). "Anomalous states of Positronium". Физический обзор A. 100 (6): 062128. arXiv:2004.06108. Дои:10.1103/PhysRevA.100.062128.
• Various forms of radial equations for the Dirac two-body problem W. Królikowski (1991), Institute of theoretical physics (Warsaw, Poland)
• Duviryak, Askold (2008). "Solvable Two-Body Dirac Equation as a Potential Model of Light Mesons". Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 4: 048. arXiv:0805.4725. Bibcode:2008SIGMA...4..048D. Дои:10.3842/SIGMA.2008.048.