Рассечение на ортосхемы - Dissection into orthoschemes - Wikipedia

Нерешенная проблема в математике: Можно ли разрезать каждый симплекс на ограниченное число орто-схем? (больше нерешенных задач по математике)

В геометрии это нерешенный догадка из Хьюго Хадвигер что каждый симплекс возможно рассеченный в орто-схемы, используя ряд ортосхем, ограниченных функцией размерности симплекса.^[1] Если это правда, то в целом каждый выпуклый многогранник могут быть разделены на орто-схемы.

Определения и заявление

В этом контексте симплекс в ${\displaystyle d}$-размерный Евклидово пространство это выпуклый корпус из ${\displaystyle d+1}$ моменты, которые не все лежат в общих гиперплоскость. Например, двумерный симплекс - это просто треугольник (выпуклая оболочка из трех точек на плоскости), а трехмерный симплекс - это тетраэдр (выпуклость четырех точек в трехмерном пространстве). Точки, образующие таким образом симплекс, называются его вершины.

Орто-схема, также называемая симплексом путей, представляет собой особый вид симплекса. В нем вершины можно соединить дорожка, так что каждые два ребра на пути расположены под прямым углом друг к другу. Двумерная ортосхема - это прямоугольный треугольник. Трехмерную ортосхему можно построить из куб найдя путь из трех ребер куба, которые не все лежат на одной квадратной грани, и сформировав выпуклую оболочку из четырех точек на этом пути.

Разбиение куба на шесть ортосхем

Рассечение фигуры ${\displaystyle S}$ (который может быть любым закрытый набор в евклидовом пространстве) является представлением ${\displaystyle S}$ как объединение других форм, чьи интерьеры находятся не пересекаются друг с другом. То есть интуитивно понятно, что фигуры в объединении не перекрываются, хотя могут иметь общие точки на своих границах. Например, куб можно разделить на шесть трехмерных орто-схем. Аналогичный результат применим и в более общем смысле: каждый гиперкуб или же гипер прямоугольник в ${\displaystyle d}$ размеры можно разрезать на ${\displaystyle d!}$ орто-схемы.

Гипотеза Хадвигера состоит в том, что существует функция ${\displaystyle f}$ так что каждый ${\displaystyle d}$-мерный симплекс можно разрезать не более чем на ${\displaystyle f(d)}$ орто-схемы. Хадвигер поставил эту проблему в 1956 году;^[2] в целом он остается нерешенным, хотя частные случаи при малых значениях ${\displaystyle d}$ известны.^[1]

В небольших размерах

Высота под острым углом может не разрезать треугольник, но высота под самым широким углом всегда разделяет его на два прямоугольных треугольника.

В двух измерениях каждый треугольник можно разрезать не более чем на два прямоугольных треугольника, отбросив высота от самого широкого угла до самого длинного края.^[2]

В трехмерном пространстве некоторые тетраэдры можно разрезать аналогичным образом, сбросив высоту перпендикулярно вершине. ${\displaystyle v}$ в точку ${\displaystyle p}$ в противоположном лице, соединяя ${\displaystyle p}$ перпендикулярно сторонам лица и используя трехреберные перпендикулярные пути через ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle p}$ в сторону, а затем в макушку лица.^[2] Однако это не всегда работает. В частности, существуют тетраэдры, у которых ни одна из вершин не имеет высоты с основанием внутри противоположной грани. С помощью более сложной конструкции Ленхард (1960) Доказано, что каждый тетраэдр можно разрезать не более чем на 12 орто-схем.^[3]Бём (1980) доказал, что это оптимально: существуют тетраэдры, которые нельзя разрезать менее чем на 12 ортосхем.^[4] В той же статье Бем также обобщил результат Ленхарда на трехмерную сферическая геометрия и трехмерный гиперболическая геометрия.

В четырех измерениях требуется не более 500 орто-схем.^[5] В пяти измерениях снова требуется конечное число орто-схем, примерно ограниченное максимум 12,5 миллионами. Опять же, это относится к сферической геометрии и гиперболической геометрии, а также к евклидовой геометрии.^[6]

Гипотеза Хадвигера остается недоказанной для всех измерений больше пяти.^[1]

Последствия

Каждый выпуклый многогранник могут быть разбиты на симплексы. Следовательно, если гипотеза Хадвигера верна, каждый выпуклый многогранник также имел бы разрез на ортосхемы.^[6]

Связанный результат состоит в том, что каждая орто-схема может быть разбита на ${\displaystyle d}$ или же ${\displaystyle d+1}$ меньшие орто-схемы.^[7][8] Следовательно, для симплексов, которые могут быть разбиты на орто-схемы, их разрезы могут иметь сколь угодно большое количество орто-схем.

Рекомендации

1. Брандтс, Ян; Коротов, Сергей; Кржижек, Михал; Шолц, Якуб (2009), «О неплотных симплициальных перегородках» (PDF), SIAM Обзор, 51 (2): 317–335, Дои:10.1137/060669073, МИСТЕР  2505583. См., В частности, гипотезу 23, с. 327.
2. Хадвигер, Хьюго (1956), "Ungelöste Probleme", Elemente der Mathematik, 11: 109–110
3. Lenhard, H.-Chr. (1960), "Zerlegung von Tetraedern in Orthogonaltetraeder", Elemente der Mathematik, 15: 106–107, МИСТЕР  0116226
4. Бём, Йоханнес (1980), "Zur vollständigen Zerlegung der euklidischen und nichteuklidischen Tetraeder в ортогональном-тетрадере", Мартин-Лютер-Университет Галле-Виттенберг (9): 29–54, МИСТЕР  0579516
5. Чирпке, Катрин (1993), "О разделении симплексов на ортосхемы", Geometriae Dedicata, 46 (3): 313–329, Дои:10.1007 / BF01263622, МИСТЕР  1220122
6. Чирпке, Катрин (1994), "Разбиение пятимерных симплексов на ортосхемы", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 35 (1): 1–11, МИСТЕР  1287191
7. Дебруннер, Ханс Э. (1990), «Разделение орто-схем на орто-схемы», Geometriae Dedicata, 33 (2): 123–152, Дои:10.1007 / BF00183080, МИСТЕР  1050606
8. Брандтс, Ян; Коротов, Сергей; Кржижек, Михал (2007), "Рассечение пути-симплекса в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в ${\displaystyle n}$ пути-подсимплексы ", Линейная алгебра и ее приложения, 421 (2–3): 382–393, Дои:10.1016 / j.laa.2006.10.010, МИСТЕР  2294350