Искаженная метрика Шварцшильда - Distorted Schwarzschild metric

В физика, то искаженная метрика Шварцшильда - метрика стандартного / изолированного Пространство-время Шварцшильда подвергается воздействию внешних полей. При численном моделировании метрика Шварцшильда может быть искажена почти произвольными видами внешних распределение энергии-импульса. Однако в точном анализе зрелый метод искажения стандартной метрики Шварцшильда ограничен рамками Метрики Вейля.

Стандартный Шварцшильд как вакуумная метрика Вейля

Все статические осесимметричные решения Уравнения Эйнштейна – Максвелла можно записать в виде метрики Вейля,^[1]

${\displaystyle (1)\quad ds^{2}=-e^{2\psi (\rho ,z)}dt^{2}+e^{2\gamma (\rho ,z)-2\psi (\rho ,z)}(d\rho ^{2}+dz^{2})+e^{-2\psi (\rho ,z)}\rho ^{2}d\phi ^{2}\,,}$

С точки зрения Вейля, метрические потенциалы, порождающие стандартные Решение Шварцшильда даны^[1][2]

${\displaystyle (2)\quad \psi _{SS}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L-M}{L+M}}\,,\quad \gamma _{SS}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}-M^{2}}{l_{+}l_{-}}}\,,}$

куда

${\displaystyle (3)\quad L={\frac {1}{2}}{\big (}l_{+}+l_{-}{\big )}\,,\quad l_{+}={\sqrt {\rho ^{2}+(z+M)^{2}}}\,,\quad l_{-}={\sqrt {\rho ^{2}+(z-M)^{2}}}\,,}$

что дает метрику Шварцшильда в Канонические координаты Вейля который

${\displaystyle (4)\quad ds^{2}=-{\frac {L-M}{L+M}}dt^{2}+{\frac {(L+M)^{2}}{l_{+}l_{-}}}(d\rho ^{2}+dz^{2})+{\frac {L+M}{L-M}}\,\rho ^{2}d\phi ^{2}\,.}$

Вейлевское искажение метрики Шварцшильда

Вакуумные пространства-времени Вейля (например, Шварцшильда) подчиняются следующим уравнениям поля:^[1][2]

${\displaystyle (5.a)\quad \nabla ^{2}\psi =0\,,}$

${\displaystyle (5.b)\quad \gamma _{,\,\rho }=\rho \,{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}{\Big )}\,,}$

${\displaystyle (5.c)\quad \gamma _{,\,z}=2\,\rho \,\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}\,,}$

${\displaystyle (5.d)\quad \gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}=-{\big (}\psi _{,\,\rho }^{2}+\psi _{,\,z}^{2}{\big )}\,,}$

куда ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$ это Оператор Лапласа.

Вывод уравнений вакуумного поля.

Уравнение Эйнштейна вакуума гласит ${\displaystyle R_{ab}=0}$, что дает уравнения (5.a) - (5.c).

Кроме того, дополнительное соотношение ${\displaystyle R=0}$ следует уравнение (5.d).

Уравнение (5.a) - это линейный Уравнение Лапласа; то есть линейные комбинации данных решений все еще являются его решениями. Учитывая два решения ${\displaystyle \{\psi ^{\langle 1\rangle },\psi ^{\langle 2\rangle }\}}$ уравнения (5.a), можно построить новое решение через

${\displaystyle (6)\quad {\tilde {\psi }}\,=\,\psi ^{\langle 1\rangle }+\psi ^{\langle 2\rangle }\,,}$

а другой метрический потенциал можно получить с помощью

${\displaystyle (7)\quad {\tilde {\gamma }}\,=\,\gamma ^{\langle 1\rangle }+\gamma ^{\langle 2\rangle }+2\int \rho \,{\Big \{}\,{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{\langle 1\rangle }\psi _{,\,\rho }^{\langle 2\rangle }-\psi _{,\,z}^{\langle 1\rangle }\psi _{,\,z}^{\langle 2\rangle }{\Big )}\,d\rho +{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{\langle 1\rangle }\psi _{,\,z}^{\langle 2\rangle }+\psi _{,\,z}^{\langle 1\rangle }\psi _{,\,\rho }^{\langle 2\rangle }{\Big )}\,dz\,{\Big \}}\,.}$

Позволять ${\displaystyle \psi ^{\langle 1\rangle }=\psi _{SS}}$ и ${\displaystyle \gamma ^{\langle 1\rangle }=\gamma _{SS}}$, пока ${\displaystyle \psi ^{\langle 2\rangle }=\psi }$ и ${\displaystyle \gamma ^{\langle 2\rangle }=\gamma }$ относятся ко второму набору метрических потенциалов Вейля. Потом, ${\displaystyle \{{\tilde {\psi }},{\tilde {\gamma }}\}}$ построенный по формулам (6) (7), приводит к наложенной метрике Шварцшильда-Вейля

${\displaystyle (8)\quad ds^{2}=-e^{2\psi (\rho ,z)}{\frac {L-M}{L+M}}dt^{2}+e^{2\gamma (\rho ,z)-2\psi (\rho ,z)}{\frac {(L+M)^{2}}{l_{+}l_{-}}}(d\rho ^{2}+dz^{2})+e^{-2\psi (\rho ,z)}{\frac {L+M}{L-M}}\,\rho ^{2}d\phi ^{2}\,.}$

С преобразованиями^[2]

${\displaystyle (9)\quad L+M=r\,,\quad l_{+}+l_{-}=2M\cos \theta \,,\quad z=(r-M)\cos \theta \,,}$

${\displaystyle \;\;\quad \rho ={\sqrt {r^{2}-2Mr}}\,\sin \theta \,,\quad l_{+}l_{-}=(r-M)^{2}-M^{2}\cos ^{2}\theta \,,}$

можно получить наложенную метрику Шварцшильда в обычном ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$ координаты,

${\displaystyle (10)\quad ds^{2}=-e^{2\psi (r,\theta )}\,{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}\,dt^{2}+e^{2\gamma (r,\theta )-2\psi (r,\theta )}{\Big \{}\,{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}^{-1}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\,{\Big \}}+e^{-2\psi (r,\theta )}r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,.}$

Наложенную метрику (10) можно рассматривать как стандартную метрику Шварцшильда, искаженную внешними источниками Вейля. При отсутствии потенциала искажения ${\displaystyle \{\psi (\rho ,z)=0,\gamma (\rho ,z)=0\}}$, Уравнение (10) сводится к стандартной метрике Шварцшильда

${\displaystyle (11)\quad ds^{2}=-{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}\,dt^{2}+{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,.}$

Искаженное по Вейлю решение Шварцшильда в сферических координатах

Подобно точные вакуумные решения к метрике Вейля в сферические координаты, у нас также есть серийные решения уравнению (10). Потенциал искажения ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$ в уравнении (10) задается мультипольное расширение^[3]

${\displaystyle (12)\quad \psi (r,\theta )\,=-\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}{\Big (}{\frac {R_{n}(\cos \theta )}{M}}{\Big )}P_{i}}$ с ${\displaystyle R:={\Big [}{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}r^{2}+M^{2}\cos ^{2}\theta {\Big ]}^{1/2}}$

куда

${\displaystyle (13)\quad P_{i}:=p_{i}{\Big (}{\frac {(r-m)\cos \theta }{R}}{\Big )}}$

обозначает Полиномы Лежандра и ${\displaystyle a_{i}}$ находятся многополюсный коэффициенты. Другой потенциал ${\displaystyle \gamma (r,\theta )}$ является

${\displaystyle (14)\quad \gamma (r,\theta )\,=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}a_{j}}$ ${\displaystyle {\Big (}{\frac {ij}{i+j}}{\Big )}}$ ${\displaystyle {\Big (}{\frac {R}{M}}{\Big )}^{i+j}}$${\displaystyle (P_{i}P_{j}-P_{i-1}P_{j-1})}$${\displaystyle -{\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\sum _{j=0}^{i-1}}$ ${\displaystyle {\Big [}(-1)^{i+j}(r-M(1-\cos \theta ))+r-M(1+\cos \theta ){\Big ]}}$${\displaystyle {\Big (}{\frac {R}{M}}{\Big )}^{j}P_{j}\,.}$

Смотрите также

• Метрики Вейля
• Метрика Шварцшильда

Рекомендации

1. Джереми Брансом Гриффитс, Иржи Подольский. Точное пространство-время в общей теории относительности Эйнштейна. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2009. Глава 10.
2. Р. Готро, Р. Б. Хоффман, А. Арменти. Статические многочастичные системы в общей теории относительности. IL NUOVO CIMENTO B, 1972 г., 7(1): 71–98.
3. Терри Пилкингтон, Александр Мелансон, Джозеф Фицджеральд, Иван Бут. «Захваченные и незначительно захваченные поверхности в растворах Шварцшильда, искаженных Вейлем». Классическая и квантовая гравитация, 2011, 28(12): 125018. arXiv: 1102.0999v2 [gr-qc]