Метрики Вейля - Weyl metrics

В общая теория относительности, то Метрики Вейля (назван в честь немецко-американского математика Герман Вейль )^[1] класс статический и осесимметричный решения для Уравнение поля Эйнштейна. Три члена известной Керр – Ньюман семейные решения, а именно Шварцшильд, неэкстремальный Рейсснер-Нордстрём и экстремальные метрики Рейсснера – Нордстрёма могут быть идентифицированы как метрики типа Вейля.

Стандартные метрики Вейля

Класс решений Вейля имеет общий вид^[2][3]

${\displaystyle (1)\quad ds^{2}=-e^{2\psi (\rho ,z)}dt^{2}+e^{2\gamma (\rho ,z)-2\psi (\rho ,z)}(d\rho ^{2}+dz^{2})+e^{-2\psi (\rho ,z)}\rho ^{2}d\phi ^{2}\,,}$

куда ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ и ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$ - два метрических потенциала, зависящих от Канонические координаты Вейля ${\displaystyle \{\rho \,,z\}}$. Система координат ${\displaystyle \{t,\rho ,z,\phi \}}$ лучше всего подходит для симметрии пространства-времени Вейля (с двумя Убивающие векторные поля существование ${\displaystyle \xi ^{t}=\partial _{t}}$ и ${\displaystyle \xi ^{\phi }=\partial _{\phi }}$) и часто действует как цилиндрические координаты,^[2] но это неполный при описании черная дыра в качестве ${\displaystyle \{\rho \,,z\}}$ только покрыть горизонт и его экстерьеры.

Следовательно, для определения статического осесимметричного решения, соответствующего конкретному тензор энергии-импульса ${\displaystyle T_{ab}}$, нам просто нужно подставить метрическое уравнение Вейля (1) в уравнение Эйнштейна (с c = G = 1):

${\displaystyle (2)\quad R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}=8\pi T_{ab}\,,}$

и проработать две функции ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ и ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$.

Уравнения приведенного поля для электровакуумных решений Вейля

Одним из наиболее изученных и наиболее полезных решений Вейля является электровакуумный случай, когда ${\displaystyle T_{ab}}$ происходит из-за существования электромагнитного поля (типа Вейля) (без потоков вещества и тока). Как известно, с учетом электромагнитного четырехпотенциала ${\displaystyle A_{a}}$, антисимметричное электромагнитное поле ${\displaystyle F_{ab}}$ и бесследового тензора напряжений-энергии ${\displaystyle T_{ab}}$ ${\displaystyle (T=g^{ab}T_{ab}=0)}$ будет соответственно определяться

${\displaystyle (3)\quad F_{ab}=A_{b\,;\,a}-A_{a\,;\,b}=A_{b\,,\,a}-A_{a\,,\,b}}$
${\displaystyle (4)\quad T_{ab}={\frac {1}{4\pi }}\,{\Big (}\,F_{ac}F_{b}^{\;c}-{\frac {1}{4}}g_{ab}F_{cd}F^{cd}{\Big )}\,,}$

который соблюдает ковариантные уравнения Максвелла без источников:

${\displaystyle (5.a)\quad {\big (}F^{ab}{\big )}_{;\,b}=0\,,\quad F_{[ab\,;\,c]}=0\,.}$

Уравнение (5.a) можно упростить до:

${\displaystyle (5.b)\quad {\big (}{\sqrt {-g}}\,F^{ab}{\big )}_{,\,b}=0\,,\quad F_{[ab\,,\,c]}=0}$

в расчетах как ${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}}$. Кроме того, поскольку ${\displaystyle R=-8\pi T=0}$ для электровакуума уравнение (2) сводится к

${\displaystyle (6)\quad R_{ab}=8\pi T_{ab}\,.}$

Теперь предположим, что осесимметричный электростатический потенциал типа Вейля равен ${\displaystyle A_{a}=\Phi (\rho ,z)[dt]_{a}}$ (компонент ${\displaystyle \Phi }$ на самом деле электромагнитный скалярный потенциал ), и вместе с уравнением для метрики Вейля (1) из уравнений (3) (4) (5) (6) следует, что

${\displaystyle (7.a)\quad \nabla ^{2}\psi =\,(\nabla \psi )^{2}+\gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}}$
${\displaystyle (7.b)\quad \nabla ^{2}\psi =\,e^{-2\psi }(\nabla \Phi )^{2}}$
${\displaystyle (7.c)\quad {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,\rho }=\,\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}-e^{-2\psi }{\big (}\Phi _{,\,\rho }^{2}-\Phi _{,\,z}^{2}{\big )}}$
${\displaystyle (7.d)\quad {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,z}=\,2\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}-2e^{-2\psi }\Phi _{,\,\rho }\Phi _{,\,z}}$
${\displaystyle (7.e)\quad \nabla ^{2}\Phi =\,2\nabla \psi \nabla \Phi \,,}$

куда ${\displaystyle R=0}$ дает уравнение (7.a), ${\displaystyle R_{tt}=8\pi T_{tt}}$ или же ${\displaystyle R_{\varphi \varphi }=8\pi T_{\varphi \varphi }}$ дает уравнение (7.b), ${\displaystyle R_{\rho \rho }=8\pi T_{\rho \rho }}$ или же ${\displaystyle R_{zz}=8\pi T_{zz}}$ дает уравнение (7.c), ${\displaystyle R_{\rho z}=8\pi T_{\rho z}}$ дает уравнение (7.d), а уравнение (5.b) дает уравнение (7.e). Здесь ${\displaystyle \nabla ^{2}=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\,\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$ и ${\displaystyle \nabla =\partial _{\rho }\,{\hat {e}}_{\rho }+\partial _{z}\,{\hat {e}}_{z}}$ соответственно Лаплас и градиент операторы. Более того, если предположить ${\displaystyle \psi =\psi (\Phi )}$ в смысле взаимодействия материи и геометрии и предполагая асимптотическую плоскостность, мы обнаружим, что уравнения (7.a-e) влекут за собой характеристическое соотношение, которое

${\displaystyle (7.f)\quad e^{\psi }=\,\Phi ^{2}-2C\Phi +1\,.}$

В частности, в простейшем вакуумном корпусе с ${\displaystyle \Phi =0}$ и ${\displaystyle T_{ab}=0}$, Уравнения (7.a-7.e) сводятся к^[4]

${\displaystyle (8.a)\quad \gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}=-(\nabla \psi )^{2}}$
${\displaystyle (8.b)\quad \nabla ^{2}\psi =0}$
${\displaystyle (8.c)\quad \gamma _{,\,\rho }=\rho \,{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}{\Big )}}$
${\displaystyle (8.d)\quad \gamma _{,\,z}=2\,\rho \,\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}\,.}$

Во-первых, мы можем получить ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ решив уравнение (8.b), а затем проинтегрируем уравнение (8.c) и уравнение (8.d) для ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$. Практически уравнение (8.a), возникающее из ${\displaystyle R=0}$ просто работает как отношение согласованности или условие интегрируемости.

В отличие от нелинейного Уравнение Пуассона Уравнение (7.b), уравнение (8.b) является линейным Уравнение лапласа; другими словами, суперпозиция данных вакуумных решений для уравнения (8.b) все еще является решением. Этот факт имеет широкое применение, например, для аналитического исказить черную дыру Шварцшильда.

Вставка A: Замечания по уравнению электровакуумного поля

Мы использовали осесимметричные операторы Лапласа и градиента, чтобы записать уравнения (7.a-7.e) и (8.a-8.d) в компактном виде, что очень полезно при выводе характеристического соотношения (7 .f). В литературе уравнения (7.a-7.e) и (8.a-8.d) также часто записываются в следующих формах:

${\displaystyle (A.1.a)\quad \psi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\psi _{,\,\rho }+\psi _{,\,zz}=\,(\psi _{,\,\rho })^{2}+(\psi _{,\,z})^{2}+\gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}}$
${\displaystyle (A.1.b)\quad \psi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\psi _{,\,\rho }+\psi _{,\,zz}=e^{-2\psi }{\big (}\Phi _{,\,\rho }^{2}+\Phi _{,\,z}^{2}{\big )}}$
${\displaystyle (A.1.c)\quad {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,\rho }=\,\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}-e^{-2\psi }{\big (}\Phi _{,\,\rho }^{2}-\Phi _{,\,z}^{2}{\big )}}$
${\displaystyle (A.1.d)\quad {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,z}=\,2\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}-2e^{-2\psi }\Phi _{,\,\rho }\Phi _{,\,z}}$
${\displaystyle (A.1.e)\quad \Phi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\Phi _{,\,\rho }+\Phi _{,\,zz}=\,2\psi _{,\,\rho }\Phi _{,\,\rho }+2\psi _{,\,z}\Phi _{,\,z}}$

и

${\displaystyle (A.2.a)\quad (\psi _{,\,\rho })^{2}+(\psi _{,\,z})^{2}=-\gamma _{,\,\rho \rho }-\gamma _{,\,zz}}$
${\displaystyle (A.2.b)\quad \psi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\psi _{,\,\rho }+\psi _{,\,zz}=0}$
${\displaystyle (A.2.c)\quad \gamma _{,\,\rho }=\rho \,{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}{\Big )}}$
${\displaystyle (A.2.d)\quad \gamma _{,\,z}=2\,\rho \,\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}\,.}$

Вставка B: Получение электровака Вейля ${\displaystyle \psi \sim \Phi }$ характеристическое отношение

Учитывая взаимодействие между геометрией пространства-времени и распределениями энергии-материи, естественно предположить, что в уравнениях (7.a-7.e) метрическая функция ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ связана с электростатическим скалярным потенциалом ${\displaystyle \Phi (\rho ,z)}$ через функцию ${\displaystyle \psi =\psi (\Phi )}$ (что означает, что геометрия зависит от энергии), и отсюда следует, что

${\displaystyle (B.1)\quad \psi _{,\,i}=\psi _{,\,\Phi }\cdot \Phi _{,\,i}\quad ,\quad \nabla \psi =\psi _{,\,\Phi }\cdot \nabla \Phi \quad ,\quad \nabla ^{2}\psi =\psi _{,\,\Phi }\cdot \nabla ^{2}\Phi +\psi _{,\,\Phi \Phi }\cdot (\nabla \Phi )^{2},}$

Уравнение (B.1) немедленно превращает уравнения (7.b) и (7.e) соответственно в

${\displaystyle (B.2)\quad \Psi _{,\,\Phi }\cdot \nabla ^{2}\Phi \,=\,{\big (}e^{-2\psi }-\psi _{,\,\Phi \Phi }{\big )}\cdot (\nabla \Phi )^{2},}$
${\displaystyle (B.3)\quad \nabla ^{2}\Phi \,=\,2\psi _{,\,\Phi }\cdot (\nabla \Phi )^{2},}$

которые дают начало

${\displaystyle (B.4)\quad \psi _{,\,\Phi \Phi }+2\,{\big (}\psi _{,\,\Phi }{\big )}^{2}-e^{-2\psi }=0.}$

Теперь замените переменную ${\displaystyle \psi }$ к ${\displaystyle \zeta :=e^{2\psi }}$, а уравнение (Б.4) упрощается до

${\displaystyle (B.5)\quad \zeta _{,\,\Phi \Phi }-2=0.}$

Прямая квадратура уравнения (B.5) дает ${\displaystyle \zeta =e^{2\psi }=\Phi ^{2}+{\tilde {C}}\Phi +B}$, с ${\displaystyle \{B,{\tilde {C}}\}}$ являются интегральными константами. Чтобы возобновить асимптотическую плоскостность на пространственной бесконечности, нам потребуется ${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }\Phi =0}$ и ${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }e^{2\psi }=1}$, значит, должно быть ${\displaystyle B=1}$. Также перепишем константу ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ в качестве ${\displaystyle -2C}$ для математического удобства в последующих вычислениях, и, наконец, получаем характеристическое соотношение, подразумеваемое уравнениями (7.a-7.e), что

${\displaystyle (7.f)\quad e^{2\psi }=\Phi ^{2}-2C\Phi +1\,.}$

Это соотношение важно для линеаризации уравнений (7.a-7.f) и совмещения электровакуумных растворов Вейля.

Ньютоновский аналог метрического потенциала Ψ (ρ, z)

В метрическом уравнении Вейля (1) ${\displaystyle e^{\pm 2\psi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\pm 2\psi )^{n}}{n!}}}$; таким образом, в приближении предела слабого поля ${\displaystyle \psi \to 0}$, надо

${\displaystyle (9)\quad g_{tt}=-(1+2\psi )-{\mathcal {O}}(\psi ^{2})\,,\quad g_{\phi \phi }=1-2\psi +{\mathcal {O}}(\psi ^{2})\,,}$

и поэтому

${\displaystyle (10)\quad ds^{2}\approx -{\Big (}1+2\psi (\rho ,z){\Big )}\,dt^{2}+{\Big (}1-2\psi (\rho ,z){\Big )}{\Big [}e^{2\gamma }(d\rho ^{2}+dz^{2})+\rho ^{2}d\phi ^{2}{\Big ]}\,.}$

Это очень похоже на хорошо известную приближенную метрику для статических и слабых гравитационные поля генерируются маломассивными небесными телами, такими как Солнце и Земля,^[5]

${\displaystyle (11)\quad ds^{2}=-{\Big (}1+2\Phi _{N}(\rho ,z){\Big )}\,dt^{2}+{\Big (}1-2\Phi _{N}(\rho ,z){\Big )}\,{\Big [}d\rho ^{2}+dz^{2}+\rho ^{2}d\phi ^{2}{\Big ]}\,.}$

куда ${\displaystyle \Phi _{N}(\rho ,z)}$ это обычный Ньютоновский потенциал удовлетворяющее уравнению Пуассона ${\displaystyle \nabla _{L}^{2}\Phi _{N}=4\pi \varrho _{N}}$, как и уравнение (3.a) или уравнение (4.a) для метрического потенциала Вейля ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$. Сходства между ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ и ${\displaystyle \Phi _{N}(\rho ,z)}$ вдохновлять людей узнавать Ньютоновский аналог из ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ при изучении класса решений Вейля; то есть воспроизвести ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ нерелятивистски по определенному типу ньютоновских источников. Ньютоновский аналог ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ оказывается весьма полезным при указании конкретных решений типа Вейля и расширении существующих решений типа Вейля.^[2]

Решение Шварцшильда

Потенциалы Вейля, порождающие Метрика Шварцшильда как решения вакуумных уравнений уравнение (8) даются^[2][3][4]

${\displaystyle (12)\quad \psi _{SS}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L-M}{L+M}}\,,\quad \gamma _{SS}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}-M^{2}}{l_{+}l_{-}}}\,,}$

куда

${\displaystyle (13)\quad L={\frac {1}{2}}{\big (}l_{+}+l_{-}{\big )}\,,\quad l_{+}={\sqrt {\rho ^{2}+(z+M)^{2}}}\,,\quad l_{-}={\sqrt {\rho ^{2}+(z-M)^{2}}}\,.}$

С точки зрения ньютоновского аналога, ${\displaystyle \psi _{SS}}$ равен гравитационному потенциалу, создаваемому стержнем массы ${\displaystyle M}$ и длина ${\displaystyle 2M}$ размещены симметрично на ${\displaystyle z}$-ось; то есть линейной массой однородной плотности ${\displaystyle \sigma =1/2}$ вложил интервал ${\displaystyle z\in [-M,M]}$. (Примечание: на основе этого аналога были разработаны важные расширения метрики Шварцшильда, как описано в ссылке.^[2])

Данный ${\displaystyle \psi _{SS}}$ и ${\displaystyle \gamma _{SS}}$, Метрика Вейля Eq ( ref {метрика Вейля в канонических координатах}) принимает вид

${\displaystyle (14)\quad ds^{2}=-{\frac {L-M}{L+M}}dt^{2}+{\frac {(L+M)^{2}}{l_{+}l_{-}}}(d\rho ^{2}+dz^{2})+{\frac {L+M}{L-M}}\,\rho ^{2}d\phi ^{2}\,,}$

и после замены следующих взаимосогласованных отношений

${\displaystyle (15)\quad L+M=r\,,\quad l_{+}-l_{-}=2M\cos \theta \,,\quad z=(r-M)\cos \theta \,,}$
${\displaystyle \;\;\quad \rho ={\sqrt {r^{2}-2Mr}}\,\sin \theta \,,\quad l_{+}l_{-}=(r-M)^{2}-M^{2}\cos ^{2}\theta \,,}$

можно получить общий вид метрики Шварцшильда в обычном ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$ координаты,

${\displaystyle (16)\quad ds^{2}=-{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}\,dt^{2}+{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}^{-1}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,.}$

Метрическое уравнение (14) нельзя напрямую преобразовать в уравнение (16), выполнив стандартное цилиндрическо-сферическое преобразование ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )=(t,r\sin \theta ,r\cos \theta ,\phi )}$, потому что ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$ завершено, пока ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )}$ неполный. Вот почему мы звоним ${\displaystyle \{t,\rho ,z,\phi \}}$ в уравнении (1) как канонические координаты Вейля, а не цилиндрические координаты, хотя у них много общего; например, лапласиан ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$ в уравнении (7) - это в точности двумерный геометрический лапласиан в цилиндрических координатах.

Неэкстремальное решение Рейсснера – Нордстрема

Потенциалы Вейля, порождающие неэкстремальную Рейсснер-Нордстрём решение (${\displaystyle M>|Q|}$) как решения уравнений (7} даются выражениями^[2][3][4]

${\displaystyle (17)\quad \psi _{RN}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}-(M^{2}-Q^{2})}{(L+M)^{2}}}\,,\quad \gamma _{RN}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}-(M^{2}-Q^{2})}{l_{+}l_{-}}}\,,}$

куда

${\displaystyle (18)\quad L={\frac {1}{2}}{\big (}l_{+}+l_{-}{\big )}\,,\quad l_{+}={\sqrt {\rho ^{2}+(z+{\sqrt {M^{2}-Q^{2}}})^{2}}}\,,\quad l_{-}={\sqrt {\rho ^{2}+(z-{\sqrt {M^{2}-Q^{2}}})^{2}}}\,.}$

Таким образом, учитывая ${\displaystyle \psi _{RN}}$ и ${\displaystyle \gamma _{RN}}$, Метрика Вейля принимает вид

${\displaystyle (19)\quad ds^{2}=-{\frac {L^{2}-(M^{2}-Q^{2})}{(L+M)^{2}}}dt^{2}+{\frac {(L+M)^{2}}{l_{+}l_{-}}}(d\rho ^{2}+dz^{2})+{\frac {(L+M)^{2}}{L^{2}-(M^{2}-Q^{2})}}\rho ^{2}d\phi ^{2}\,,}$

и используя следующие преобразования

${\displaystyle (20)\quad L+M=r\,,\quad l_{+}-l_{-}=2{\sqrt {M^{2}-Q^{2}}}\,\cos \theta \,,\quad z=(r-M)\cos \theta \,,}$
${\displaystyle \;\;\quad \rho ={\sqrt {r^{2}-2Mr+Q^{2}}}\,\sin \theta \,,\quad l_{+}l_{-}=(r-M)^{2}-(M^{2}-Q^{2})\cos ^{2}\theta \,,}$

можно получить общую форму неэкстремальной метрики Рейсснера – Нордстрёма в обычном ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$ координаты,

${\displaystyle (21)\quad ds^{2}=-{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}{\Big )}\,dt^{2}+{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}{\Big )}^{-1}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,.}$

Экстремальное решение Рейсснера – Нордстрёма.

Потенциалы, порождающие экстремальный Решение Рейсснера – Нордстрема (${\displaystyle M=|Q|}$) как решения уравнений (7} даются выражениями^[4] (Примечание: мы относимся к экстремальный решение отдельно, потому что это намного больше, чем вырожденное состояние неэкстремального аналога.)

${\displaystyle (22)\quad \psi _{ERN}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}}{(L+M)^{2}}}\,,\quad \gamma _{ERN}=0\,,\quad {\text{with}}\quad L={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\,.}$

Таким образом, экстремальная метрика Рейсснера – Нордстрема имеет вид

${\displaystyle (23)\quad ds^{2}=-{\frac {L^{2}}{(L+M)^{2}}}dt^{2}+{\frac {(L+M)^{2}}{L^{2}}}(d\rho ^{2}+dz^{2}+\rho ^{2}d\phi ^{2})\,,}$

и заменив

${\displaystyle (24)\quad L+M=r\,,\quad z=L\cos \theta \,,\quad \rho =L\sin \theta \,,}$

получаем экстремальную метрику Рейсснера – Нордстрёма в обычном ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$ координаты,

${\displaystyle (25)\quad ds^{2}=-{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{2}dt^{2}+{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{-2}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,.}$

Математически экстремаль Рейсснера – Нордстрема может быть получена путем перехода к пределу ${\displaystyle Q\to M}$ соответствующего неэкстремального уравнения, а пока нужно использовать Правило госпиталя иногда.

Примечания: метрика Вейля (1) с нулевым потенциалом ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$ (подобно экстремальной метрике Рейсснера – Нордстрёма) составляют специальный подкласс, который имеет только один метрический потенциал ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ быть идентифицированным. Расширяя этот подкласс путем отмены ограничения осесимметрии, мы получаем другой полезный класс решений (все еще использующий координаты Вейля), а именно: конформный метрики^[6][7]

${\displaystyle (26)\quad ds^{2}\,=-e^{2\lambda (\rho ,z,\phi )}dt^{2}+e^{-2\lambda (\rho ,z,\phi )}{\Big (}d\rho ^{2}+dz^{2}+\rho ^{2}d\phi ^{2}{\Big )}\,,}$

где мы используем ${\displaystyle \lambda }$ в уравнении (22) как единственную метрическую функцию вместо ${\displaystyle \psi }$ в уравнении (1), чтобы подчеркнуть, что они различаются осевой симметрией (${\displaystyle \phi }$-зависимость).

Вакуумные решения Вейля в сферических координатах

Метрика Вейля также может быть выражена в сферические координаты который

${\displaystyle (27)\quad ds^{2}\,=-e^{2\psi (r,\theta )}dt^{2}+e^{2\gamma (r,\theta )-2\psi (r,\theta )}(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2})+e^{-2\psi (r,\theta )}\rho ^{2}d\phi ^{2}\,,}$

что равняется уравнению (1) через преобразование координат ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )\mapsto (t,r\sin \theta ,r\cos \theta ,\phi )}$ (Примечание: как показано уравнениями (15) (21) (24), это преобразование не всегда применимо.) В случае вакуума уравнение (8.b) для ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$ становится

${\displaystyle (28)\quad r^{2}\psi _{,\,rr}+2r\,\psi _{,\,r}+\psi _{,\,\theta \theta }+\cot \theta \cdot \psi _{,\,\theta }\,=\,0\,.}$

В асимптотически плоский решения уравнения (28) есть^[2]

${\displaystyle (29)\quad \psi (r,\theta )\,=-\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {P_{n}(\cos \theta )}{r^{n+1}}}\,,}$

куда ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$ представлять Полиномы Лежандра, и ${\displaystyle a_{n}}$ находятся многополюсный коэффициенты. Другой метрический потенциал ${\displaystyle \gamma (r,\theta )}$дан кем-то^[2]

${\displaystyle (30)\quad \gamma (r,\theta )\,=-\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }a_{l}a_{m}}$ ${\displaystyle {\frac {(l+1)(m+1)}{l+m+2}}}$ ${\displaystyle {\frac {P_{l}P_{m}-P_{l+1}P_{m+1}}{r^{l+m+2}}}\,.}$

Смотрите также

• Метрика Шварцшильда
• Метрика Рейсснера – Нордстрема
• Искаженная метрика Шварцшильда

Рекомендации

1. Вейл, Х., "Zur Gravitationstheorie", Анна. дер Физик 54 (1917), 117–145.
2. Джереми Брансом Гриффитс, Иржи Подольский. Точное пространство-время в общей теории относительности Эйнштейна. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2009. Глава 10.
3. Ганс Стефани, Дитрих Крамер, Малькольм МакКаллум, Корнелиус Хенселаерс, Эдуард Херльт. Точные решения уравнений поля Эйнштейна.. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2003. Глава 20.
4. Р. Готро, Р. Б. Хоффман, А. Арменти. Статические многочастичные системы в общей теории относительности. IL NUOVO CIMENTO B, 1972 г., 7(1): 71-98.
5. Джеймс Б. Хартл. Гравитация: Введение в общую теорию относительности Эйнштейна. Сан-Франциско: Addison Wesley, 2003. Уравнение (6.20) преобразовано в лоренцевы цилиндрические координаты.
6. Гильермо А. Гонсалес, Антонио К. Гутьеррес-Пинерес, Паоло А. Оспина. Конечные осесимметричные заряженные пылевые диски в конформастатическом пространстве-времени. Physical Review D, 2008 г., 78(6): 064058. arXiv: 0806.4285v1
7. Антонио К. Гутьеррес-Пинерес, Гильермо А Гонсалес, Эрнандо Кеведо. Конформастатические диски-гало в гравитации Эйнштейна-Максвелла. Physical Review D, 2013 г., 87(4): 044010. [1]