След Диксмье - Dixmier trace

В математике След Диксмье, представлен Жак Диксмье  (1966 ), является ненормальным^{[требуется разъяснение ]} след на пространстве линейные операторы на Гильбертово пространство больше, чем пространство операторы класса трассировки. Следы Диксмье являются примерами единичные следы.

Некоторые приложения Диксмье прослеживаются к некоммутативная геометрия описаны в (Конн 1994 ).

Определение

Если ЧАС гильбертово пространство, то L^1,∞(ЧАС) - пространство компактных линейных операторов Т на ЧАС так что норма

${\displaystyle \|T\|_{1,\infty }=\sup _{N}{\frac {\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}}$

конечно, где числа μ_я(Т) - собственные значения |Т| расположены в порядке убывания. Позволять

${\displaystyle a_{N}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}}$.

След Диксмье Тр_ω(Т) из Т определено для положительных операторов Т из L^1,∞(ЧАС) быть

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{\omega }(T)=\lim _{\omega }a_{N}}$

где lim_ω является масштабно-инвариантным положительным «расширением» обычного предела на все ограниченные последовательности. Другими словами, он имеет следующие свойства:

• Lim_ω(α_п) ≥ 0, если все α_п ≥ 0 (положительность)
• Lim_ω(α_п) = lim (α_п) всякий раз, когда существует обычный предел
• Lim_ω(α₁, α₁, α₂, α₂, α₃, ...) = lim_ω(α_п) (масштабная инвариантность)

Таких расширений много (например, Предел Банаха из α₁, α₂, α₄, α₈, ...), так что есть много разных следов Диксмье. Поскольку след Диксмье линейен, он распространяется по линейности на все операторы L^1,∞(ЧАСЕсли след Диксмье оператора не зависит от выбора lim_ω тогда оператор называется измеримый.

Характеристики

• Тр_ω(Т) линейно по Т.
• Если Т ≥ 0, то Tr_ω(Т) ≥ 0
• Если S ограничено, то Tr_ω(ST) = Tr_ω(TS)
• Тр_ω(Т) не зависит от выбора внутреннего продукта на ЧАС.
• Тр_ω(Т) = 0 для всех операторов класса трассировки Т, но есть компактные операторы, для которых он равен 1.

След φ называется нормальный если φ(Как дела Икс_α) = supφ( Икс_α) для любого ограниченного возрастающего направленного семейства положительных операторов. Любой нормальный след на ${\displaystyle L^{1,\infty }(H)}$ равен обычному следу, поэтому след Диксмье является примером ненормального следа.

Примеры

Компактный самосопряженный оператор с собственными значениями 1, 1/2, 1/3, ... имеет след Диксмье, равный 1.

Если собственные значения μ_я положительного оператора Т иметь свойство, которое

${\displaystyle \zeta _{T}(s)=\operatorname {Tr} (T^{s})=\sum {\mu _{i}^{s}}}$

сходится при Re (s)> 1 и продолжается до мероморфной функции вблизи s= 1 с не более чем простым полюсом в точке s= 1, то след Диксмье Т это остаток при s= 1 (и, в частности, не зависит от выбора ω).

Конн (1988) показал, что Водзицкий некоммутативный вычет (Водзицки 1984 ) из псевдодифференциальный оператор на многообразие равна его следу Диксмье.

Рекомендации

• Albeverio, S .; Guido, D .; Поносов, А .; Скарлатти, С .: Особые следы и компактные операторы. J. Funct. Анальный. 137 (1996), нет. 2, 281–302.
• Конн, Ален (1988), «Функционал действия в некоммутативной геометрии», Коммуникации по математической физике, 117 (4): 673–683, Дои:10.1007 / BF01218391, ISSN  0010-3616, МИСТЕР  0953826
• Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, ISBN  978-0-12-185860-5^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Диксмье, Жак (1966), «Существование следов ненормального», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 262: A1107 – A1108, ISSN  0151-0509, МИСТЕР  0196508
• Водзицки М. (1984), "Локальные инварианты спектральной асимметрии", Inventiones Mathematicae, 75 (1): 143–177, Дои:10.1007 / BF01403095, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  0728144

Смотрите также

• Особый след