Предел Банаха - Banach limit

В математический анализ, а Предел Банаха это непрерывный линейный функционал ${ displaystyle phi: ell ^ { infty} to mathbb {C}}$ определены на Банахово пространство ${ displaystyle ell ^ { infty}}$ из всех ограниченный сложный -значен последовательности такое, что для всех последовательностей ${ displaystyle x = (x_ {n})}$ , ${ displaystyle y = (y_ {n})}$ в ${ displaystyle ell ^ { infty}}$ , и комплексные числа ${ displaystyle alpha}$ :

${ Displaystyle фи ( альфа х + у) = альфа фи (х) + фи (у)}$ (линейность);
если ${ displaystyle x_ {n} geq 0}$ для всех ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ , тогда ${ Displaystyle фи (х) geq 0}$ (позитив);
${ Displaystyle фи (х) = фи (Sx)}$ , куда ${ displaystyle S}$ это оператор смены определяется ${ Displaystyle (Sx) _ {п} = х_ {п + 1}}$ (сдвиг-инвариантность);
если ${ displaystyle x}$ это сходящаяся последовательность, тогда ${ Displaystyle фи (х) = лим х}$ .

Следовательно, ${ displaystyle phi}$ является продолжением непрерывного функционала ${ displaystyle lim: c to mathbb {C}}$ куда ${ Displaystyle с подмножество ell ^ { infty}}$ это комплекс векторное пространство всех последовательностей, сходящихся к (обычному) пределу в ${ Displaystyle mathbb {C}}$ .

Другими словами, банахов предел расширяет обычные пределы, является линейным, инвариантным относительно сдвига и положительным. Однако существуют последовательности, для которых значения двух пределов Банаха не совпадают. Мы говорим, что в этом случае банахов предел не определяется однозначно.

Как следствие вышеуказанных свойств, настоящий -значный предел Банаха также удовлетворяет:

{ displaystyle liminf _ {n to infty} x_ {n} leq phi (x) leq limsup _ {n to infty} x_ {n}.}

Существование банаховых пределов обычно доказывается с помощью Теорема Хана – Банаха (подход аналитика),^[1] или используя ультрафильтры (такой подход чаще встречается в теоретико-множественных изложениях).^[2] Эти доказательства обязательно используют аксиома выбора (так называемое неэффективное доказательство).

Почти конвергенция

Есть несходящиеся последовательности, у которых есть однозначно определенный предел Банаха. Например, если ${ Displaystyle х = (1,0,1,0, ldots)}$ , тогда ${ Displaystyle х + S (х) = (1,1,1, ldots)}$ постоянная последовательность, а

{ Displaystyle 2 phi (x) = phi (x) + phi (Sx) = phi (x + Sx) = phi ((1,1,1, ldots)) = lim ((1 , 1,1, ldots)) = 1}

держит. Таким образом, для любого банахова предела эта последовательность имеет предел ${ displaystyle 1/2}$ .

Ограниченная последовательность ${ displaystyle x}$ со свойством, что для каждого банахова предела ${ displaystyle phi}$ Значение ${ Displaystyle фи (х)}$ то же самое, называется почти сходящийся.

Банаховы пространства

Учитывая сходящуюся последовательность ${ displaystyle x = (x_ {n})}$ в ${ Displaystyle с подмножество ell ^ { infty}}$ , обычный предел ${ displaystyle x}$ не возникает из элемента ${ displaystyle ell ^ {1}}$ , если двойственность ${ Displaystyle langle ell ^ {1}, ell ^ { infty} rangle}$ Считается. Последнее означает ${ Displaystyle ell ^ { infty}}$ это непрерывное двойное пространство (двойственное банахово пространство) ${ displaystyle ell ^ {1}}$ , и следовательно, ${ displaystyle ell ^ {1}}$ индуцирует непрерывные линейные функционалы на ${ displaystyle ell ^ { infty}}$ , но не все. Любое ограничение Банаха на ${ displaystyle ell ^ { infty}}$ является примером элемента двойственного банахова пространства ${ displaystyle ell ^ { infty}}$ которого нет в ${ displaystyle ell ^ {1}}$ . Двойной ${ displaystyle ell ^ { infty}}$ известен как ба пространство, и состоит из всех (подписанный ) конечно аддитивный меры по сигма-алгебра всех подмножеств натуральные числа, или, что эквивалентно, все (подписанные) Борелевские меры на Каменно-чешская компактификация натуральных чисел.

внешняя ссылка

«Банаховый предел». PlanetMath.

Предел Банаха - Banach limit

Содержание

Почти конвергенция

Банаховы пространства

внешняя ссылка

Рекомендации