Почти сходящаяся последовательность - Almost convergent sequence

А ограниченный настоящий последовательность ${\displaystyle (x_{n})}$ как говорят почти сходящийся к ${\displaystyle L}$ если каждый Предел Банаха присваивает то же значение ${\displaystyle L}$ к последовательности ${\displaystyle (x_{n})}$.

Лоренц доказал, что ${\displaystyle (x_{n})}$ почти сходится тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \lim \limits _{p\to \infty }{\frac {x_{n}+\ldots +x_{n+p-1}}{p}}=L}$

равномерно в ${\displaystyle n}$.

Приведенный выше предел можно подробно переписать как

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists p_{0}:\forall p>p_{0}:\forall n:\left|{\frac {x_{n}+\ldots +x_{n+p-1}}{p}}-L\right|<\varepsilon .}$

Практическая сходимость изучается в теория суммируемости. Это пример метода суммирования, который нельзя представить в виде матричного метода.^[1]

Рекомендации

• Дж. Беннетт и N.J. Kalton: "Теоремы совместимости для почти сходимости". Пер. Амер. Математика. Soc., 198: 23--43, 1974.
• Дж. Боос: «Классические и современные методы суммирования». Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк, 2000.
• Дж. Коннор и К.-Г. Гроссе-Эрдманн: «Последовательные определения непрерывности реальных функций». Rocky Mt. J. Math., 33 (1): 93--121, 2003.
• Г.Г. Лоренц: «Вклад в теорию расходящихся последовательностей». Acta Math., 80: 167-190, 1948.
• Харди, Г. Х. (1949), Дивергентная серия, Оксфорд: Clarendon Press.

Специфический

1. Харди, стр.52

В этой статье использованы материалы из Почти сходящийся на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.