Удвоение пространства - Doubling space - Wikipedia

В математика, а метрическое пространство Икс с метрикой d как говорят удвоение если есть постоянная удвоения M > 0 такой, что для любого Икс ∈ Икс и р > 0, можно накрыть мяч B(Икс, р) = {у | d(Икс, у) < р} с объединением не более M шары радиуса р/2.^[1] Логарифм по основанию 2 M часто называют удвоение размера из Икс. Евклидовы пространства ℝ^d снабженные обычной евклидовой метрикой примеры пространств удвоения, где константа удвоения M зависит от размераd. Например, в одном измерении M = 2; и в двух измерениях, M = 7.^[2]

Теорема вложения Асуада

Важный вопрос в геометрии метрического пространства - охарактеризовать те метрические пространства, которые могут быть вложены в некоторое евклидово пространство с помощью билипшицев функция. Это означает, что метрическое пространство можно рассматривать как подмножество евклидова пространства. Не все метрические пространства могут быть вложены в евклидово пространство. С другой стороны, удвоение метрических пространств кажется более вероятным, поскольку условие удвоения в некотором смысле говорит о том, что метрическое пространство не бесконечномерно. Однако в целом это все еще не так. В Группа Гейзенберга с этими Метрика Карно является примером удваивающегося метрического пространства, которое не может быть вложено ни в одно евклидово пространство.^[3]

Теорема Ассуада заявляет, что для M-увеличение метрического пространства Икс, если дать ему метрику d(Икс, у)^ε для некоторого 0 <ε <1, то существует L-би-Липшицева карта ж:Икс → ℝ^d, куда d и L зависит от M иε.

Меры удвоения

Определение

Нетривиальный мера на метрическом пространстве Икс как говорят удвоение если мера любого шара конечна и приблизительно равна мере его дубля, а точнее, если существует постоянная C > 0 такой, что

${\displaystyle 0<\mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))<\infty \,}$

для всех Икс в Икс и р > 0. В этом случае мы говорим μ является C-удвоение.

Пространство с метрической мерой, которое поддерживает удвоение меры, обязательно является удваивающим метрическим пространством, где константа удвоения зависит от константыC. И наоборот, любое полный удвоение метрического пространства поддерживает удвоение меры.^[4][5]

Примеры

Простой пример меры удвоения: Мера Лебега на евклидовом пространстве. Однако на евклидовом пространстве могут быть меры удвоения, которые единственное число по мере Лебега. Одним из примеров реальной линии является слабый предел следующей последовательности мероприятий:^[6]

${\displaystyle d\mu _{n}=\prod _{i=1}^{n}(1+a\cos(3^{i}2\pi x))\,dx,\;\;\;|a|<1.}$

Можно построить еще одну особую меру удвоения μ на интервале [0, 1] следующим образом: для каждого k ≥ 0, разделим единичный интервал [0,1] на 3^k интервалы длиной 3^−k. Пусть Δ - совокупность всех таких интервалов в [0,1], полученная для каждого k (эти триадные интервалы), и для каждого такого интервала я, позволять м(я) обозначают его интервал "средней трети". Исправить 0 <δ <1 и пусть μ быть такой мерой, что μ([0, 1]) = 1 и для каждого триадного интервала я, μ(м(я)) = δμ(я). Тогда это дает меру удвоения на [0, 1], особую для меры Лебега.^[7]

Приложения

Определение меры удвоения может показаться произвольным или представляет чисто геометрический интерес. Однако многие результаты классического гармонического анализа и вычислительная геометрия распространяются на метрические пространства с удвоением мер.

Рекомендации

1. Хейнонен, Юха (2001). Лекции по анализу метрических пространств. Universitext. Нью-Йорк: Springer-Verlag. с. x + 140. ISBN  0-387-95104-0.
2. В., Вайсштейн, Эрик. «Проблема покрытия диска». mathworld.wolfram.com. Получено 2018-03-03.
3. Пансу, Пьер (1989). "Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un". Анна. математики. 2. 129 (1): 1–60. Дои:10.2307/1971484. JSTOR  1971484.
4. Луукайнен, Йоуни; Саксман, Ээро (1998). «Каждое полное удваивающее метрическое пространство обладает удвоенной мерой». Proc. Амер. Математика. Soc. 126 (2): 531–534. Дои:10.1090 / с0002-9939-98-04201-4.
5. Йоуни, Лууккайнен (1998). «ИЗМЕРЕНИЕ АССУАДА: АНТИФРАКТАЛЬНАЯ МЕТРИЗАЦИЯ, ПОРИСТЫЕ НАБОРЫ И ОДНОРОДНЫЕ МЕРЫ». Журнал Корейского математического общества. 35 (1). ISSN  0304-9914.
6. Зигмунд, А. (2002). Тригонометрический ряд. Vol. I, II. Кембриджская математическая библиотека (третье изд.). Издательство Кембриджского университета. С. xii, Vol. I: xiv + 383 с., Т. II: viii + 364. ISBN  0-521-89053-5.
7. Кахане, Ж.-П. (1969). "Trois notes sur les ensembles parfaits linéaires". Enseignement Math. (2). 15: 185–192.