Двойственные многочлены Хана - Dual Hahn polynomials

В математике двойственные многочлены Хана семья ортогональные многочлены в Схема Askey гипергеометрических ортогональных многочленов. Они определены на неоднородной решетке ${\displaystyle x(s)=s(s+1)}$ и определяются как

${\displaystyle w_{n}^{(c)}(s,a,b)={\frac {(a-b+1)_{n}(a+c+1)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}(-n,a-s,a+s+1;a-b+a,a+c+1;1)}$

для ${\displaystyle n=0,1,...,N-1}$ и параметры ${\displaystyle a,b,c}$ ограничены ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}<a<b,|c|<1+a,b=a+N}$.

Обратите внимание, что ${\displaystyle (u)_{k}}$ это падающие и восходящие факториалы, иначе известный как символ Поххаммера, и ${\displaystyle {}_{3}F_{2}(\cdot )}$ это обобщенные гипергеометрические функции

Рулоф Коэкоек, Питер А. Лески и Рене Ф. Свартту (2010, 14) дают подробный перечень их свойств.

Ортогональность

Двойственные многочлены Хана имеют условие ортогональности

${\displaystyle \sum _{s=a}^{b-1}w_{n}^{(c)}(s,a,b)w_{m}^{(c)}(s,a,b)\rho (s)[\Delta x(s-{\frac {1}{2}})]=\delta _{nm}d_{n}^{2}}$

для ${\displaystyle n,m=0,1,...,N-1}$. куда ${\displaystyle \Delta x(s)=x(s+1)-x(s)}$,

${\displaystyle \rho (s)={\frac {\Gamma (a+s+1)\Gamma (c+s+1)}{\Gamma (s-a+1)\Gamma (b-s)\Gamma (b+s+1)\Gamma (s-c+1)}}}$

и

${\displaystyle d_{n}^{2}={\frac {\Gamma (a+c+n+a)}{n!(b-a-n-1)!\Gamma (b-c-n)}}}$

Числовая нестабильность

В качестве значения ${\displaystyle n}$ увеличивается, значения, получаемые дискретными полиномами, также увеличиваются. В результате для получения числовая стабильность при вычислении полиномов вы должны использовать перенормированный двойственный многочлен Хана, определенный как

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}^{(c)}(s,a,b)=w_{n}^{(c)}(s,a,b){\sqrt {{\frac {\rho (s)}{d_{n}^{2}}}[\Delta x(s-{\frac {1}{2}})]}}}$

для ${\displaystyle n=0,1,...,N-1}$.

Тогда условие ортогональности принимает вид

${\displaystyle \sum _{s=a}^{b-1}{\hat {w}}_{n}^{(c)}(s,a,b){\hat {w}}_{m}^{(c)}(s,a,b)=\delta _{m,n}}$

для ${\displaystyle n,m=0,1,...,N-1}$

Повторяемость и разностные отношения

Формула Родригеса

Производящая функция

Связь с другими многочленами

Полиномы Хана, ${\displaystyle h_{n}(x,N;\alpha ,\beta )}$, определена на равномерной решетке ${\displaystyle x(s)=s}$, а параметры ${\displaystyle a,b,c}$ определены как ${\displaystyle a=(\alpha +\beta )/2,b=a+N,c=(\beta -\alpha )/2}$. Затем установка ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$ то Многочлены Хана стать Полиномы Чебичефа. Обратите внимание, что двойственные многочлены Хана имеют q-аналог с дополнительным параметром q известный как Двойственные Q-полиномы Хана

Полиномы Рака являются обобщением двойственных многочленов Хана

использованная литература

• Чжу, Хунцин (2007), «Анализ изображения по дискретным ортогональным дуальным моментам Хана» (PDF), Письма с распознаванием образов, 28 (13): 1688–1704, Дои:10.1016 / j.patrec.2007.04.013
• Хан, Вольфганг (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten, 2 (1–2): 4–34, Дои:10.1002 / мана.19490020103, ISSN  0025-584X, Г-Н  0030647
• Коэкоек, Рулоф; Лески, Питер А .; Свартту, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные многочлены и их q-аналоги, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN  978-3-642-05013-8, Г-Н  2656096
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S.C .; Коэкоек, Рулоф; Сварттоу, Рене Ф. (2010), «Класс Хан: определения», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, Г-Н  2723248