Двойной вейвлет - Dual wavelet

В математика, а двойной вейвлет это двойной к вейвлет. В целом серия вейвлетов созданный квадратично интегрируемый функция будет двойная серия в смысле Теорема Рисса о представлении. Однако дуальный ряд, вообще говоря, не может быть представлен функцией, интегрируемой с квадратом.

Определение

Для интегрируемой с квадратом функции ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$, определим серию ${\displaystyle \{\psi _{jk}\}}$ к

${\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)}$

для целых чисел ${\displaystyle j,k\in \mathbb {Z} }$.

Такая функция называется р-функция если линейная оболочка ${\displaystyle \{\psi _{jk}\}}$ является плотный в ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$, и если существуют положительные постоянные А, B с ${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$ такой, что

${\displaystyle A\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\leq {\bigg \Vert }\sum _{jk=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}{\bigg \Vert }_{L^{2}}^{2}\leq B\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\,}$

для всех би-бесконечных суммируемый квадрат серии ${\displaystyle \{c_{jk}\}}$. Здесь, ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{l^{2}}}$ обозначает норму суммы квадратов:

${\displaystyle \Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}=\sum _{jk=-\infty }^{\infty }\vert c_{jk}\vert ^{2}}$

и ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{L^{2}}}$ обозначает обычную норму на ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$:

${\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f(x)\vert ^{2}dx}$

Посредством Теорема Рисса о представлении, существует единственный дуальный базис ${\displaystyle \psi ^{jk}}$ такой, что

${\displaystyle \langle \psi ^{jk}\vert \psi _{lm}\rangle =\delta _{jl}\delta _{km}}$

куда ${\displaystyle \delta _{jk}}$ это Дельта Кронекера и ${\displaystyle \langle f\vert g\rangle }$ это обычный внутренний продукт на ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$. Действительно, существует единственный представление серии для интегрируемой с квадратом функции ж выраженные в этой основе:

${\displaystyle f(x)=\sum _{jk}\langle \psi ^{jk}\vert f\rangle \psi _{jk}(x)}$

Если существует функция ${\displaystyle {\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ такой, что

${\displaystyle {\tilde {\psi }}_{jk}=\psi ^{jk}}$

тогда ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ называется двойной вейвлет или вейвлет, двойственный к ψ. В общем, по некоторым данным р-функции ψ двойственного не будет. В частном случае ${\displaystyle \psi ={\tilde {\psi }}}$, вейвлет называется ортогональный вейвлет.

Пример р-функцию без дуала построить легко. Позволять ${\displaystyle \phi }$ - ортогональный вейвлет. Затем определите ${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)+z\phi (2x)}$ для некоторого комплексного числа z. Несложно показать, что это ψ не имеет дуального всплеска.

Смотрите также

• Анализ с несколькими разрешениями

Рекомендации

• Чарльз К. Чуй, Введение в вейвлеты (вейвлет-анализ и его приложения)(1992), Academic Press, Сан-Диего, ISBN  0-12-174584-8