Уравнения динамической пленки жидкости - Dynamic fluid film equations

Пример динамических жидкостных пленок.

Жидкие пленки, такие как мыльные фильмы, часто встречаются в повседневной жизни. Мыльную пленку можно сформировать, окунув проволоку замкнутого контура в мыльный раствор, как на рисунке справа. В качестве альтернативы катеноид может быть сформирован путем погружения двух колец в мыльный раствор и последующего разделения их при сохранении коаксиальной конфигурации.

Стационарные пленки жидкости образуют поверхности минимальная площадь поверхности, ведущий к Проблема плато.

С другой стороны, жидкие пленки отображают богатый динамичный характеристики. Они могут претерпевать огромные деформации вне равновесной конфигурации. Кроме того, они демонстрируют изменение толщины на несколько порядков по сравнению с нанометры в миллиметры. Таким образом, пленка жидкости может одновременно отображать наноразмер и макромасштаб явления.

При изучении динамика свободных жидких пленок, таких как мыльные фильмы пленку принято моделировать как двумерную коллекторы. Тогда переменная толщина пленки улавливается двумерной плотностью ${\displaystyle \rho }$.

Динамику жидких пленок можно описать следующим образом: система точных нелинейных гамильтоновых уравнений которые в этом отношении являются полным аналогом Эйлер с невязкий уравнения динамика жидкостей. Фактически эти уравнения сводятся к динамическим уравнениям Эйлера для течений в стационарных условиях. Евклидовы пространства.

Сказанное выше опирается на формализм тензоры, в том числе соглашение о суммировании и повышение и понижение тензорных индексов.

Полная динамическая система

Рассмотрим тонкую жидкую пленку ${\displaystyle S}$ который охватывает неподвижную границу замкнутого контура. Позволять ${\displaystyle C}$ быть нормальным компонентом поле скорости и ${\displaystyle V^{\alpha }}$ быть контравариантный компоненты проекции тангенциальной скорости. Позволять ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$ быть ковариантная производная поверхности, ${\displaystyle B_{\alpha \beta }}$ быть ковариантный тензор кривизны, ${\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}$ быть смешанным тензор кривизны и ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }}$ быть его след, то есть средняя кривизна. Кроме того, пусть внутренняя энергия плотность на единицу массы функция быть ${\displaystyle e\left(\rho \right)}$ так что общая потенциальная энергия ${\displaystyle E}$ дан кем-то

${\displaystyle E=\int _{S}\rho e\left(\rho \right)\,dS.}$

Этот выбор ${\displaystyle e\left(\rho \right)}$ :

${\displaystyle e\left(\rho \right)={\frac {\sigma }{\rho }}}$

куда ${\displaystyle \sigma }$ плотность поверхностной энергии приводит к Лаплас классическая модель для поверхностное натяжение:

${\displaystyle E=\sigma A\,}$

куда А - общая площадь мыльной пленки.

Система управления гласит

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta \rho }{\delta t}}+\nabla _{\alpha }\left(\rho V^{\alpha }\right)&=\rho CB_{\alpha }^{\alpha }\\\\\rho \left({\frac {\delta C}{\delta t}}+2V^{\alpha }\nabla _{\alpha }C+B_{\alpha \beta }V^{\alpha }V^{\beta }\right)&=-\rho ^{2}e_{\rho }B_{\alpha }^{\alpha }\\\\\rho \left({\frac {\delta V^{\alpha }}{\delta t}}+V^{\beta }\nabla _{\beta }V^{\alpha }-C\nabla ^{\alpha }C-2CV^{\beta }B_{\beta }^{\alpha }\right)&=-\nabla ^{\alpha }\left(\rho ^{2}e_{\rho }\right)\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle {\delta }/{\delta }t}$-производная - центральный оператор, первоначально из-за Жак Адамар, в Исчисление движущихся поверхностей. Обратите внимание, что в сжимаемых моделях комбинация ${\displaystyle \rho ^{2}e_{\rho }}$ обычно отождествляется с давлением ${\displaystyle p}$. Приведенная выше система управления изначально была сформулирована в ссылке 1.

Для выбора поверхностного натяжения Лапласа ${\displaystyle \left(e\left(\rho \right)=\sigma /\rho \right)}$ система становится:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta \rho }{\delta t}}+\nabla _{\alpha }\left(\rho V^{\alpha }\right)&=\rho CB_{\alpha }^{\alpha }\\\\\rho \left({\frac {\delta C}{\delta t}}+2V^{\alpha }\nabla _{\alpha }C+B_{\alpha \beta }V^{\alpha }V^{\beta }\right)&=\sigma B_{\alpha }^{\alpha }\\\\{\frac {\delta V^{\alpha }}{\delta t}}+V^{\beta }\nabla _{\beta }V^{\alpha }-C\nabla ^{\alpha }C-2V^{\beta }B_{\beta }^{\alpha }&=0\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что на плоской (${\displaystyle B_{\alpha \beta }=0}$) стационарный (${\displaystyle C=0}$) многообразий, система становится

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla _{\alpha }\left(\rho V^{\alpha }\right)&=0\\&\\\rho \left({\frac {\partial V^{\alpha }}{\partial t}}+V^{\beta }\nabla _{\beta }V^{\alpha }\right)&=-\nabla ^{\alpha }\left(\rho ^{2}e_{\rho }\right)\end{aligned}}}$

что и есть классические уравнения гидродинамики Эйлера.

Упрощенная система

Если пренебречь тангенциальными составляющими поля скорости, как это часто делается при изучении тонкой жидкой пленки, мы придем к следующей упрощенной системе только с двумя неизвестными: двумерной плотностью ${\displaystyle \rho }$ и нормальная скорость ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta \rho }{\delta t}}&=\rho CB_{\alpha }^{\alpha }\\&\\\rho {\frac {\delta C}{\delta t}}&=\sigma B_{\alpha }^{\alpha }\\\end{aligned}}}$

Рекомендации

1. Точные нелинейные уравнения для жидких пленок и соответствующие адаптации теорем сохранения из классической гидродинамики П. Гринфельд, J. Geom. Сим. Phys. 16, 2009