Динамическое расслабление - Dynamic relaxation

Динамическое расслабление численный метод, который, помимо прочего, может использоваться для "поиск формы " за кабельно-тканевые конструкции. Цель состоит в том, чтобы найти геометрию, в которой все силы находятся в равновесие. В прошлом это делалось прямым моделированием с использованием подвесных цепей и грузов (см. Гауди ) или с помощью мыльные фильмы, которые имеют свойство корректировки, чтобы найти "минимальная поверхность ".

Метод динамической релаксации основан на дискретизации рассматриваемого континуума путем объединения массы в узлы и определения взаимосвязи между узлами с точки зрения жесткости (см. Также заключительный элемент метод). Система колеблется около положения равновесия под действием нагрузок. За итеративным процессом следует моделирование псевдо-динамичный процесс во времени, с каждой итерацией, основанной на обновлении геометрии,^[1] похожий на Интеграция чехарда и связанные со скоростью Интеграция Верле.

Использование основных уравнений

Учитывая Второй закон движения Ньютона (сила - это масса, умноженная на ускорение) в ${displaystyle x}$ направление на ${displaystyle i}$^th узел во время ${displaystyle t}$:

${displaystyle R_{ix}(t)=M_{i}A_{ix}(t){frac {}{}}}$

Где:

${displaystyle R}$ остаточная сила

${displaystyle M}$ узловая масса

${displaystyle A}$ узловое ускорение

Обратите внимание, что фиктивные узловые массы могут быть выбраны для ускорения процесса поиска формы.

Взаимосвязь между скоростью ${displaystyle V}$, геометрия ${displaystyle X}$ а невязки можно получить, выполнив двойное численное интегрирование ускорения (здесь в центральная конечная разность форма^[2]), :

${displaystyle V_{ix}left(t+{frac {Delta t}{2}}ight)=V_{ix}left(t-{frac {Delta t}{2}}ight)+{frac {Delta t}{M_{i}}}R_{ix}(t)}$

${displaystyle X_{i}(t+Delta t)=X_{i}(t)+Delta t imes V_{ix}left(t+{frac {Delta t}{2}}ight)}$

Где:

${displaystyle Delta t}$ это временной интервал между двумя обновлениями.

По принципу равновесия сил соотношение между невязками и геометрией может быть получено:

${displaystyle R_{ix}(t+Delta t)=P_{ix}(t+Delta t)+sum {frac {T_{m}(t+Delta t)}{l_{m}(t+Delta t)}} imes (X_{j}(t+Delta t)-X_{i}(t+Delta t))}$

куда:

${displaystyle P}$ компонент приложенной нагрузки

${displaystyle T}$ напряжение в ссылке ${displaystyle m}$ между узлами ${displaystyle i}$ и ${displaystyle j}$

${displaystyle l}$ длина ссылки.

Сумма должна покрывать силы во всех связях между узлом и другими узлами. Повторяя использование связи между остатками и геометрией, а также связи между геометрией и остатком, моделируется псевдодинамический процесс.

Шаги итерации

1. Установите начальную кинетическую энергию и все компоненты узловой скорости равными нулю:

${displaystyle E_{k}(t=0)=0{frac {}{}}}$

${displaystyle V_{i}(t=0)=0{frac {}{}}}$

2. Вычислите набор геометрии и компонент приложенной нагрузки:

${displaystyle X_{i}(t=0){frac {}{}}}$

${displaystyle P_{i}(t=0){frac {}{}}}$

3. Вычислите остаток:

${displaystyle T_{m}(t){frac {}{}}}$

${displaystyle R_{i}(t){frac {}{}}}$

4. Сбросьте остатки ограниченных узлов до нуля.

5. Обновите скорость и координаты:

${displaystyle V_{i}(t+{frac {Delta t}{2}}){frac {}{}}}$

${displaystyle X_{i}(t+Delta t){frac {}{}}}$

6. Вернитесь к шагу 3, пока конструкция не станет статичной. равновесие

Демпфирование

Можно сделать динамическую релаксацию более эффективной в вычислительном отношении (уменьшив количество итераций) с помощью демпфирования.^[3]Есть два метода демпфирования:

• Вязкое демпфирование, которое предполагает, что соединение между узлами имеет компонент вязкой силы.
• Демпфирование кинетической энергии, при котором вычисляются координаты пиковой кинетической энергии (положение равновесия), затем обновляется геометрия до этого положения и сбрасывается скорость до нуля.

Преимущество вязкого демпфирования заключается в том, что он представляет собой кабель с вязкими свойствами. Более того, это легко реализовать, потому что скорость уже вычислена. Демпфирование кинетической энергии - это искусственное демпфирование, которое не является реальным эффектом, но предлагает резкое сокращение количества итераций, необходимых для поиска решения. Однако существуют вычислительные затраты, связанные с тем, что необходимо рассчитать кинетическую энергию и местоположение пика, после чего необходимо обновить геометрию до этого положения.

Смотрите также

• Натяжные конструкции
• Оптимизация (математика)

дальнейшее чтение

• День S, Введение в динамическую релаксацию. Инженер 1965, 219: 218–221.
• В. Дж. Льюис, НАПРЯЖЕННЫЕ СТРУКТУРЫ: Форма и поведение, Лондон, Телфорд, 2003
• D S WAKEFIELD, Инженерный анализ натяжных конструкций: теория и практика, Ванна, Tensys Limited, 1999 г.
• Х.А. БУХХОЛЬДТ, Введение в вантовые кровельные конструкции, 2-е изд, Лондон, Телфорд, 1999

Рекомендации

1. У. Дж. Льюис, НАПРЯЖЕННЫЕ СТРУКТУРЫ: Форма и поведение, Лондон, Телфорд, 2003
2. D S WAKEFIELD, Инженерный анализ натяжных конструкций: теория и практика, Ванна, Tensys Limited, 1999 г.
3. В. Дж. Льюис, НАПРЯЖЕННЫЕ СТРУКТУРЫ: Форма и поведение, Лондон, Телфорд, 2003