Теорема Эрла – Гамильтона о неподвижной точке - Earle–Hamilton fixed-point theorem

В математика, то Теорема Эрла – Гамильтона о неподвижной точке это результат геометрическая теория функций давая достаточные условия для голоморфное отображение открытого домена в комплексе Банахово пространство в себя, чтобы иметь фиксированную точку. Результат был доказан в 1968 году Клиффордом Эрлом и Ричард С. Гамильтон показав, что в отношении Метрика Каратеодори на области голоморфное отображение становится сжатие к которому Теорема Банаха о неподвижной точке может быть применено.

утверждение

Позволять D быть связным открытым подмножеством комплекса Банахово пространство Икс и разреши ж - голоморфное отображение D в себя такое, что:

• Изображение ж(D) ограничена по норме;
• расстояние между точками ж(D) и точки на внешней стороне D ограничена снизу положительной константой.

Тогда отображение ж имеет уникальную фиксированную точку Икс в D и если y есть ли точка в D, повторяется ж^п(y) сходятся к Икс.

Доказательство

Замена D ε-окрестностью ж(D) можно считать, что D сам ограничен по норме.

Для z в D и v в Икс, набор

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (z,v)=\sup _{g}|g^{\prime }(z)v|,}}$

где супремум берется по всем голоморфным функциям г на D с |г(z)| < 1.

Определим α-длину кусочно дифференцируемой кривой γ: [0,1] ${\displaystyle \rightarrow }$ D от

${\displaystyle \displaystyle {\ell (\gamma )=\int _{0}^{1}\alpha (\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}}$

Метрика Каратеодори определяется формулой

${\displaystyle \displaystyle {d(x,y)=\inf _{\gamma (0)=x,\gamma (1)=y}\ell (\gamma )}}$

для Икс и y в D. Это непрерывная функция на D Икс D для топологии нормы.

Если диаметр D меньше чем р тогда, взяв подходящие голоморфные функции г формы

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=a(z)+b}}$

с участием а в Икс* и б в C, это следует из того

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (z,v)\geq \|v\|/R,}}$

и, следовательно, что

${\displaystyle \displaystyle {d(x,y)\geq \|x-y\|/R.}}$

Особенно d определяет метрику на D.

Цепное правило

${\displaystyle \displaystyle {(g\circ f)^{\prime }(z)=g^{\prime }(f(z))f^{\prime }(z)}}$

подразумевает, что

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (f(z),f^{\prime }(z)v)\leq \alpha (z,v)}}$

и, следовательно ж удовлетворяет следующему обобщению Неравенство Шварца-Пика:

${\displaystyle \displaystyle {d(f(x),f(y))\leq d(x,y).}}$

При достаточно малых δ и y фиксируется в D, то же неравенство можно применить к голоморфному отображению

${\displaystyle \displaystyle {f_{\delta ,y}(z)=f(z)+\delta (f(z)-f(y))}}$

и дает улучшенную оценку:

${\displaystyle \displaystyle {d(f(x),f(y))\leq (1+\delta )^{-1}d(x,y).}}$

Теорема Банаха о неподвижной точке может быть применена к ограничению ж к закрытию ж(D) на котором d определяет полную метрику, определяя ту же топологию, что и норма.

Другие теоремы о голоморфных неподвижных точках

В конечных размерах существование неподвижной точки часто можно вывести из Теорема Брауэра о неподвижной точке без всякого обращения к голоморфности отображения. На случай, если ограниченные симметричные области с Метрика Бергмана, Неретин (1996) и Клерк (1998) показал, что применима та же схема доказательства, что и в теореме Эрла-Гамильтона. Ограниченная симметричная область D = г / K является полным метрическим пространством для метрики Бергмана. Открытая полугруппа комплексификации г_c принимая закрытие D в D действует сжимающие отображения, так что снова применима теорема Банаха о неподвижной точке. Неретин распространил этот аргумент путем непрерывности на некоторые бесконечномерные ограниченные симметрические области, в частности на обобщенный диск Зигеля симметричных операторов Гильберта-Шмидта с операторной нормой меньше 1. Теорема Эрла-Гамильтона применима и в этом случае.

использованная литература

• Эрл, Клиффорд Дж .; Гамильтон, Ричард С. (1970), Теорема о неподвижной точке для голоморфных отображений, Proc. Симпози. Чистая математика., XVI, Американское математическое общество, стр. 61–65.
• Харрис, Лоуренс А. (2003), "Неподвижные точки голоморфных отображений для областей в банаховых пространствах", Abstr. Appl. Анальный., 2003 (5): 261–274, CiteSeerX  10.1.1.419.2323, Дои:10.1155 / S1085337503205042
• Неретин, Ю. А. (1996), Категории симметрий и бесконечномерные группы, Монографии Лондонского математического общества, 16, Издательство Оксфордского университета, ISBN  0-19-851186-8
• Клерк, Жан-Луи (1998), "Сжатие и сжатие эрмитовых симметрических пространств", Математика. Z., 229: 1–8, Дои:10.1007 / pl00004648