Теорема Эберхардса - Eberhards theorem - Wikipedia

В математике и особенно в многогранная комбинаторика, Теорема Эберхарда частично характеризует мультимножества из полигоны которые могут формировать лица просто выпуклые многогранники. В нем говорится, что для данного количества треугольников, четырехугольников, пятиугольников, семиугольников и других многоугольников, кроме шестиугольников, существует выпуклый многогранник с указанным числом граней каждого типа (и неопределенным числом шестиугольных граней) тогда и только тогда, когда такое количество многоугольников подчиняется линейному уравнению, полученному из Формула полиэдра Эйлера.^[1]

Теорема названа в честь Виктор Эберхард, слепой немецкий математик, опубликовавший ее в 1888 г. абилитация диссертации и в развернутом виде в книге 1891 года по многогранникам.^[1][2][3]

Определения и заявление

Для произвольного выпуклого многогранника можно определить числа ${\displaystyle p_{3}}$, ${\displaystyle p_{4}}$, ${\displaystyle p_{5}}$и т. д., где ${\displaystyle p_{i}}$ считает грани многогранника, которые имеют ровно ${\displaystyle i}$ стороны. Трехмерный выпуклый многогранник считается простым, когда каждое вершина многогранника инцидентно ровно трем ребрам. В простом многоугольнике каждая вершина инцидентна трем углам граней, а каждое ребро инцидентно двум сторонам граней. Поскольку числа углов и сторон граней даны, можно вычислить три числа ${\displaystyle v}$ (общее количество вершин), ${\displaystyle e}$ (общее количество ребер) и ${\displaystyle f}$ (общее количество граней) путем суммирования по всем граням и умножения на соответствующий коэффициент:^[1]

${\displaystyle v={\frac {1}{3}}\sum _{i}i\,p_{i},}$

${\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{i}i\,p_{i},}$

и

${\displaystyle f=\sum _{i}p_{i}.}$

Вставляя эти значения в Формула полиэдра Эйлера ${\displaystyle v-e+f=2}$ и очистка знаменателей приводит к уравнению

${\displaystyle \sum _{i}(6-i)p_{i}=12,}$

которому должно удовлетворять количество граней каждого простого многогранника. Однако на это уравнение не влияет значение ${\displaystyle p_{6}}$ (как его множитель ${\displaystyle 6-i}$ равен нулю), а для некоторых вариантов выбора другого лица учитывается изменение ${\displaystyle p_{6}}$ может изменить, существует ли многогранник с таким количеством граней. То есть соблюдение этого уравнения при подсчете граней является необходимым условием для существования многогранника, но не достаточным условием, и полная характеристика того, какое количество граней реализуемо, потребует учета значения ${\displaystyle p_{6}}$.^[1]

Из теоремы Эберхарда следует, что приведенное выше уравнение - единственное необходимое условие, которое не зависит от ${\displaystyle p_{6}}$. В нем говорится, что если присвоение номеров ${\displaystyle p_{3},p_{4},p_{5},p_{7},\dots }$ (опуская ${\displaystyle p_{6}}$) подчиняется уравнению

${\displaystyle \sum _{i}(6-i)p_{i}=12,}$

тогда существует значение ${\displaystyle p_{6}}$ и простой выпуклый многогранник с точно ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i}$-сторонние лица для всех ${\displaystyle i}$.^[1]

Примеры

Есть три простых Платоновы тела, то тетраэдр, куб, и додекаэдр. Тетраэдр имеет ${\displaystyle p_{3}=4}$, куб имеет ${\displaystyle p_{4}=6}$, а додекаэдр имеет ${\displaystyle p_{5}=12}$, со всеми другими значениями ${\displaystyle p_{i}}$ быть нулевым. Эти три присвоения номеров ${\displaystyle p_{i}}$ все подчиняются уравнению, которое требует от них теорема Эберхарда. Существование этих многогранников показывает, что для этих трех присвоений чисел ${\displaystyle p_{i}}$, существует многогранник с ${\displaystyle p_{6}=0}$. Случай додекаэдра с ${\displaystyle p_{5}=12}$ и все остальные, кроме ${\displaystyle p_{6}}$ ноль, описывает в более общем смысле фуллерены. Нет фуллерена с ${\displaystyle p_{6}=1}$ но эти графики возможны для любого другого значения ${\displaystyle p_{6}}$;^[4] см., например, 26-фуллереновый граф, с ${\displaystyle p_{6}=3}$.

Шестиугольник делит куб пополам на две копии простого многогранника с одной шестиугольной гранью, тремя равнобедренными прямоугольными треугольными гранями и тремя неправильными пятиугольными гранями. Невозможно сформировать простой многогранник, используя только три треугольника и три пятиугольника, без добавленного шестиугольника.

Не существует простого выпуклого многогранника с тремя треугольными гранями, тремя гранями пятиугольника и никакими другими гранями. То есть невозможно иметь простой выпуклый многогранник с ${\displaystyle p_{3}=p_{5}=3}$, и ${\displaystyle p_{i}=0}$ за ${\displaystyle i\notin \{3,5\}}$. Однако теорема Эберхарда утверждает, что можно сформировать простой многогранник, добавив некоторое количество шестиугольников, и в этом случае достаточно одного шестиугольника: деление куба пополам на правильном шестиугольнике, проходящем через шесть его граней, дает две копии простого шестиугольника. многогранник без крыши с тремя треугольными гранями, тремя гранями пятиугольника и одной гранью шестиугольника. То есть установка ${\displaystyle p_{6}=1}$ в этом случае достаточно для получения осуществимой комбинации подсчетов лиц.^[5]

Связанные результаты

Аналогичный результат теоремы Эберхарда верен для существования многогранников, в которых все вершины инцидентны ровно четырем ребрам. В этом случае на уравнение, полученное из формулы Эйлера, не влияет число ${\displaystyle p_{4}}$ четырехугольников, и для каждого присвоения количеству граней других типов, которое подчиняется этому уравнению, можно выбрать количество четырехугольников, которое позволяет реализовать 4-правильный многогранник.^[1]

Усиленная версия теоремы Эберхарда утверждает, что при тех же условиях, что и исходная теорема, существует число ${\displaystyle m}$ такой, что все варианты ${\displaystyle p_{6}}$ которые больше чем равны ${\displaystyle m}$ и имеют ту же четность, что и ${\displaystyle m}$ реализуемы простыми выпуклыми многогранниками.^[6]

Теорема о Дэвид В. Барнетт обеспечивает нижняя граница от количества необходимых шестиугольников, если количество граней седьмого или более высокого порядка не менее трех. В нем говорится, что в этих случаях

${\displaystyle p_{6}\geq 2+{\frac {p_{3}}{2}}-{\frac {p_{5}}{2}}-\sum _{i>6}p_{i}.}$

Для многоугольников с небольшим количеством пятиугольников и большим количеством граней высокого порядка это неравенство может привести к тому, что количество шестиугольников будет произвольно большим. Более того, его можно использовать для поиска присвоений номерам граней, для которых требуемое количество шестиугольников не может быть ограничено какой-либо функцией максимального количества сторон грани.^[7]

Аналоги теоремы Эберхарда также были изучены для других систем граней и подсчетов граней, кроме простых выпуклых многогранников, например для тороидальные графы^[8] и для мозаика.^[9]

Смотрите также

• Теорема Эрдеша – Галлаи
• Теорема Гринберга

Рекомендации

1. Грюнбаум, Бранко (2003), «13.3 Теорема Эберхарда», Выпуклые многогранники, Тексты для выпускников по математике, 221 (2-е изд.), Springer, стр. 253–271.
2. Эберхард, Виктор (1891), Zur Morphologie der Polyeder (на немецком языке), Teubner, JFM  23.0544.03
3. "Виктор Эберхард", Catalogus Professorum Halensis (на немецком языке), Университет Мартина Лютера Галле-Виттенберг, получено 2020-09-02
4. Грюнбаум, Бранко (1968), «Некоторые аналоги теоремы Эберхарда о выпуклых многогранниках», Израильский математический журнал, 6: 398–411 (1969), Дои:10.1007 / BF02771220, МИСТЕР  0244854
5. Как об отсутствии многогранника с тремя треугольниками, тремя пятиугольниками и без шестиугольников, так и о существовании с одним шестиугольником см. Грюнбаум (2003), третья строка таблицы 13.3.1, стр. 268.
6. Фишер, Дж. К. (1974), "Теорема существования простых выпуклых многогранников", Дискретная математика, 7: 75–97, Дои:10.1016 / S0012-365X (74) 80020-8, МИСТЕР  0333984
7. Барнетт, Дэвид (1969), "На ${\displaystyle p}$-векторы 3-многогранников ", Журнал комбинаторной теории, 7: 99–103, Дои:10.1016 / S0021-9800 (69) 80042-6, МИСТЕР  0244851
8. Грицманн, Питер (1983), "Тороидальный аналог теоремы Эберхарда", Математика, 30 (2): 274–290 (1984), Дои:10.1112 / S002557930001055X, МИСТЕР  0737179
9. Грюнбаум, Бранко; Шепард, Г.С. (1982), «Теоремы Эйлера и Эберхарда для разбиения плоскости», Результаты по математике, 5 (1): 19–44, Дои:10.1007 / bf03323298, МИСТЕР  0662793