Собственные значения и собственные векторы второй производной - Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative - Wikipedia

Явные формулы для собственные значения и собственные векторы вторая производная с разными граничными условиями предусмотрены как для непрерывного, так и для дискретного случая. В дискретном случае стандартная центрально-разностная аппроксимация второй производной используется на равномерной сетке.

Эти формулы используются для вывода выражений для собственные функции из Лапласиан в случае разделение переменных, а также найти собственные значения и собственные векторы многомерных дискретный лапласиан на регулярная сетка, который представлен как Сумма Кронекера дискретных лапласианов в одномерном.

Непрерывный случай

Индекс j представляет j-е собственное значение или собственный вектор и изменяется от 1 до . Предполагая, что уравнение определено в области , ниже приведены собственные значения и нормированные собственные векторы. Собственные значения упорядочены по убыванию.

Чистые граничные условия Дирихле

Чистые граничные условия Неймана

Периодические граничные условия

(То есть: является простым собственным значением, а все дальнейшие собственные значения даются , , каждая с кратностью 2).

Смешанные граничные условия Дирихле-Неймана.

Смешанные граничные условия Неймана-Дирихле.

Дискретный случай

Обозначение: индекс j представляет j-е собственное значение или собственный вектор. Индекс i представляет i-й компонент собственного вектора. Оба i и j идут от 1 до n, где размер матрицы n x n. Собственные векторы нормированы. Собственные значения упорядочены по убыванию.

Чистые граничные условия Дирихле

[1]

Чистые граничные условия Неймана

Периодические граничные условия

(Обратите внимание, что собственные значения повторяются за исключением 0 и самого большого, если n четно.)

Смешанные граничные условия Дирихле-Неймана.

Смешанные граничные условия Неймана-Дирихле.

Вывод собственных значений и собственных векторов в дискретном случае.

Чехол Дирихле

В одномерном дискретном случае с граничными условиями Дирихле мы решаем

Переставляя сроки, получаем

Теперь позвольте . Кроме того, предполагая , мы можем масштабировать собственные векторы любым ненулевым скаляром, поэтому масштаб так что .

Затем находим повторение

Учитывая как неопределенное,

куда k-й Полином Чебышева 2-го рода.

С мы получаем это

.

Понятно, что собственными значениями нашей задачи будут нули n-го многочлена Чебышева второго рода с соотношением .

Эти нули хорошо известны:

Подставляя их в формулу для ,

Используя тригонометрическую формулу для упрощения, мы находим

Дело Неймана

В случае Неймана мы решаем

В стандартной дискретизации введем и и определить

Тогда граничные условия эквивалентны

Если мы сделаем замену переменных,

мы можем вывести следующее:

с являющиеся граничными условиями.

Это в точности формула Дирихле с внутренние точки сетки и шаг сетки . Подобно тому, что мы видели выше, при условии, что , мы получили

Это дает нам собственные значения и есть . Если отказаться от предположения, что , мы находим также решение с и это соответствует собственному значению .

Переназначив индексы в приведенной выше формуле и комбинируя с нулевым собственным значением, получаем

Дело Дирихле-Неймана

Для случая Дирихле-Неймана решаем

,

куда

Нам нужно ввести вспомогательные переменные

Рассмотрим повторение

.

Также мы знаем и предполагая , мы можем масштабировать так что

Мы также можем написать

Выбрав правильную комбинацию этих трех уравнений, мы можем получить

Таким образом, наша новая рекурсия решит нашу проблему собственных значений, когда

Решение для мы получили

Наше новое повторение дает

куда снова k-й Полином Чебышева 2-го рода.

И в сочетании с нашим граничным условием Неймана, мы имеем

Известная формула связывает Полиномы Чебышева первого рода, , второму типу

Таким образом, наши собственные значения решают

Известно также, что нули этого многочлена равны

И поэтому

Обратите внимание, что таких значений 2n + 1, но уникальны только первые n + 1. (N + 1) -ое значение дает нам нулевой вектор как собственный вектор с собственным значением 0, что тривиально. Это можно увидеть, вернувшись к исходному повторению. Поэтому мы рассматриваем только первые n из этих значений как n собственных значений задачи Дирихле - Неймана.

Рекомендации

  1. ^ Ф. Чанг, С.-Т. Яу, Дискретные функции Грина, Journal of Combinatorial Theory A 91, 191-214 (2000).