математические функции и константы
Явные формулы для собственные значения и собственные векторы вторая производная с разными граничными условиями предусмотрены как для непрерывного, так и для дискретного случая. В дискретном случае стандартная центрально-разностная аппроксимация второй производной используется на равномерной сетке.
Эти формулы используются для вывода выражений для собственные функции из Лапласиан в случае разделение переменных, а также найти собственные значения и собственные векторы многомерных дискретный лапласиан на регулярная сетка, который представлен как Сумма Кронекера дискретных лапласианов в одномерном.
Непрерывный случай
Индекс j представляет j-е собственное значение или собственный вектор и изменяется от 1 до
. Предполагая, что уравнение определено в области
, ниже приведены собственные значения и нормированные собственные векторы. Собственные значения упорядочены по убыванию.
Чистые граничные условия Дирихле
![lambda _ {j} = - { frac {j ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525116916fdf4e6abafcbb2d4efd3c0f74dcaf04)
![v_ {j} (x) = { sqrt { frac {2} {L}}} sin left ({ frac {j pi x} {L}} right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af675773ae6430cd58ed4d2f83bc40951a3ea93)
Чистые граничные условия Неймана
![lambda _ {j} = - { frac {(j-1) ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e5706969935fcaede27bcb62a9cac4f3837b3a)
![{ displaystyle v_ {j} (x) = left {{ begin {array} {lr} L ^ {- { frac {1} {2}}} & j = 1 { sqrt { frac {2} {L}}} cos left ({ frac {(j-1) pi x} {L}} right) & { mbox {else}} end {array}} right. }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04782e4ace2089dbee6977bc122fc85d43e9758c)
Периодические граничные условия
![{ displaystyle lambda _ {j} = left {{ begin {array} {lr} - { frac {j ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}} & { mbox {j четно.}} - { frac {(j-1) ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}} & { mbox {j нечетно.} } end {array}} right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b06cae06692b74b0d0c7143f60ce110b0d8922b)
(То есть:
является простым собственным значением, а все дальнейшие собственные значения даются
,
, каждая с кратностью 2).
![{ displaystyle v_ {j} (x) = { begin {cases} L ^ {- { frac {1} {2}}} & { mbox {if}} j = 1. { sqrt { frac {2} {L}}} sin left ({ frac {j pi x} {L}} right) & { mbox {, если j четное.}} { sqrt { frac {2} {L}}} cos left ({ frac {(j-1) pi x} {L}} right) & { mbox {если j нечетное.}} end {cases }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa0d1c502e49b966400d27aeaf3adf0cec6330b)
Смешанные граничные условия Дирихле-Неймана.
![lambda _ {j} = - { frac {(2j-1) ^ {2} pi ^ {2}} {4L ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df932b4682b873a555b9ad38a54657cff58d46e9)
![{ displaystyle v_ {j} (x) = { sqrt { frac {2} {L}}} sin left ({ frac {(2j-1) pi x} {2L}} right) }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93384d16948a702f5e7126cefbb99802b8d299d6)
Смешанные граничные условия Неймана-Дирихле.
![lambda _ {j} = - { frac {(2j-1) ^ {2} pi ^ {2}} {4L ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df932b4682b873a555b9ad38a54657cff58d46e9)
![{ displaystyle v_ {j} (x) = { sqrt { frac {2} {L}}} cos left ({ frac {(2j-1) pi x} {2L}} right) }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43563920496a9fb7a0c7ed6e44ba7e3d6521cc0)
Дискретный случай
Обозначение: индекс j представляет j-е собственное значение или собственный вектор. Индекс i представляет i-й компонент собственного вектора. Оба i и j идут от 1 до n, где размер матрицы n x n. Собственные векторы нормированы. Собственные значения упорядочены по убыванию.
Чистые граничные условия Дирихле
![{ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi j} {2 (n + 1)} }верно)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0fc2e6ba0248c9bc27d3e1902351194df089fc2)
[1]
Чистые граничные условия Неймана
![{ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (j-1)} {2n}} верно)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c107b39763af830e865b703947a2fe7c49dee613)
![{ displaystyle v_ {i, j} = { begin {case} n ^ {- { frac {1} {2}}} & { mbox {j = 1}} { sqrt { frac { 2} {n}}} cos left ({ frac { pi (j-1) (i-0.5)} {n}} right) & { mbox {else}} end {cases}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d9288fd038fcaf1e2f782da083c5e7f23fb8b9)
Периодические граничные условия
![{ displaystyle lambda _ {j} = { begin {cases} - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (j-1 )} {2n}} right) & { mbox {если j нечетное.}} - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi j} {2n}} right) & { mbox {если j четное.}} end {ases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3381f3978f9ab037a44b3c87c4f869725a163c68)
(Обратите внимание, что собственные значения повторяются за исключением 0 и самого большого, если n четно.)
![{ displaystyle v_ {i, j} = { begin {cases} n ^ {- { frac {1} {2}}} & { mbox {if}} j = 1. n ^ {- { frac {1} {2}}} (- 1) ^ {i} & { mbox {if}} j = n { mbox {и n четно.}} { sqrt { frac {2 } {n}}} sin left ({ frac { pi (i-0.5) j} {n}} right) & { mbox {в противном случае, если j четное.}} { sqrt { frac {2} {n}}} cos left ({ frac { pi (i-0.5) (j-1)} {n}} right) & { mbox {в противном случае, если j нечетное. }} end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ec9ce9cd148dbf10d2a74d3fa72e4c9aa3ad5e)
Смешанные граничные условия Дирихле-Неймана.
![{ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (j - { frac {1}) 2}})} {2n + 1}} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fbdde7045bddc435811f11940bd4a6caf284f8)
![{ Displaystyle v_ {я, j} = { sqrt { frac {2} {n + 0,5}}} sin left ({ frac { pi i (2j-1)} {2n + 1}} верно)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68870d7add5c011cba16a3a8ed36508b49b60d32)
Смешанные граничные условия Неймана-Дирихле.
![{ displaystyle lambda _ {j} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (j - { frac {1}) 2}})} {2n + 1}} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fbdde7045bddc435811f11940bd4a6caf284f8)
![{ Displaystyle v_ {я, j} = { sqrt { frac {2} {n + 0,5}}} cos left ({ frac { pi (i-0,5) (2j-1)} {2n +1}} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175f78acd58b92634882ec3ac6f99200de5f384c)
Вывод собственных значений и собственных векторов в дискретном случае.
Чехол Дирихле
В одномерном дискретном случае с граничными условиями Дирихле мы решаем
![{ frac {v _ {{k + 1}} - 2v_ {k} + v _ {{k-1}}} {h ^ {2}}} = lambda v _ {{k}}, k = 1, ..., n, v_ {0} = v _ {{n + 1}} = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567d6e21043e1655a6be4e93fd6d39669092b56e)
Переставляя сроки, получаем
![v _ {{k + 1}} = (2 + h ^ {2} lambda) v_ {k} -v _ {{k-1}}. !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff97d70732ffe9d65b7837fb90a20001cda45c5)
Теперь позвольте
. Кроме того, предполагая
, мы можем масштабировать собственные векторы любым ненулевым скаляром, поэтому масштаб
так что
.
Затем находим повторение
![v_ {0} = 0 , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29dcbbb0e88bde456afdc0cd8db1384ba82532a8)
![v_ {1} = 1. , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c980f3b55a949bafc07339c5515ebe87efed97)
![v _ {{k + 1}} = 2 alpha v _ {{k}} - v _ {{k-1}} , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7baa5135dc3d9eea1fd31625fbe7fc1d22c5792d)
Учитывая
как неопределенное,
![v _ {{k + 1}} = U_ {k} ( alpha) , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbdaadc8f0e7e5a2f5afea00c7757faf69847ab)
куда
k-й Полином Чебышева 2-го рода.
С
мы получаем это
.
Понятно, что собственными значениями нашей задачи будут нули n-го многочлена Чебышева второго рода с соотношением
.
Эти нули хорошо известны:
![{ displaystyle alpha _ {k} = cos left ({ frac {k pi} {n + 1}} right). , !}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9737d5043bce987e9ea45c1aae2f422ea9cb099a)
Подставляя их в формулу для
,
![{ displaystyle 2 cos left ({ frac {k pi} {n + 1}} right) = h ^ {2} lambda _ {k} +2 , !}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08113d4dc3afee722708fafa4dbf63c639f2274)
![{ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {2} {h ^ {2}}} left [1- cos left ({ frac {k pi} {n + 1}} верно-верно].,!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be55610987e49868b9dcec02da45f906baab543)
Используя тригонометрическую формулу для упрощения, мы находим
![{ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac {k pi} {2 (n + 1)}) }верно).,!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e37fdec25fa2f1a1acf5daadee441fefa9acce4)
Дело Неймана
В случае Неймана мы решаем
![{ frac {v _ {{k + 1}} - 2v_ {k} + v _ {{k-1}}} {h ^ {2}}} = lambda v _ {{k}}, k = 1, ..., n, v '_ {{0.5}} = v' _ {{n + 0.5}} = 0. , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ade368f3d1a9f20e4479f4ae3b9f260aee9b6ae)
В стандартной дискретизации введем
и
и определить
![v '_ {{0.5}}: = { frac {v_ {1} -v_ {0}} {h}}, v' _ {{n + 0.5}}: = { frac {v _ {{n +1}} - v_ {n}} {h}} , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f23813c4cabff6da3fc338449029ee570013ea5)
Тогда граничные условия эквивалентны
![v_ {1} -v_ {0} = 0, v _ {{n + 1}} - v_ {n} = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f83ab31034752d8657566ffaed86cded104a93)
Если мы сделаем замену переменных,
![w_ {k} = v _ {{k + 1}} - v_ {k}, k = 0, ..., n , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee12216ab4c87f9143a82e7ac49b9e74612dab53)
мы можем вывести следующее:
![{ begin {alignat} {2} { frac {v _ {{k + 1}} - 2v_ {k} + v _ {{k-1}}} {h ^ {2}}} & = lambda v_ { {k}} v _ {{k + 1}} - 2v_ {k} + v _ {{k-1}} & = h ^ {2} lambda v _ {{k}} (v _ {{k +1}} - v_ {k}) - (v_ {k} -v _ {{k-1}}) & = h ^ {2} lambda v _ {{k}} w_ {k} -w_ { {k-1}} & = h ^ {2} lambda v _ {{k}} & = h ^ {2} lambda w _ {{k-1}} + h ^ {2} lambda v_ { {k-1}} & = h ^ {2} lambda w _ {{k-1}} + w _ {{k-1}} - w _ {{k-2}} w _ {{k} } & = (2 + h ^ {2} lambda) w _ {{k-1}} - w _ {{k-2}} w _ {{k + 1}} & = (2 + h ^ {2 } lambda) w _ {{k}} - w _ {{k-1}} & = 2 alpha w_ {k} -w _ {{k-1}}. end {alignat}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbee477ca07c1000e55682c5c2802c8ba926f8fd)
с
являющиеся граничными условиями.
Это в точности формула Дирихле с
внутренние точки сетки и шаг сетки
. Подобно тому, что мы видели выше, при условии, что
, мы получили
![{ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac {k pi} {2n}} right), k = 1, ..., n-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c7721bc8bf6081c4a2e86d788c3bfb992adc4f)
Это дает нам
собственные значения и есть
. Если отказаться от предположения, что
, мы находим также решение с
и это соответствует собственному значению
.
Переназначив индексы в приведенной выше формуле и комбинируя с нулевым собственным значением, получаем
![{ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac {(k-1) pi} {2n}} right), k = 1, ..., n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4928528c57cea3c078b287bbf577061543bc44ed)
Дело Дирихле-Неймана
Для случая Дирихле-Неймана решаем
,
куда ![v '_ {{n + 0.5}}: = { frac {v _ {{n + 1}} - v_ {n}} {h}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4375cf4388d41da6bff8bb426f5d351cf35c97a8)
Нам нужно ввести вспомогательные переменные ![v _ {{j + 0.5}}, j = 0, ..., n.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a5ba2e304d9685c986d99cec9199db54b9dfa2)
Рассмотрим повторение
.
Также мы знаем
и предполагая
, мы можем масштабировать
так что ![v _ {{0.5}} = 1.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f6d473800c43bb431cb2fb4973f83fb223740e)
Мы также можем написать
![v _ {{k}} = 2 beta v _ {{k-0.5}} - v _ {{k-1}} , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07acbe770d9e03ef30f27de7971513d2d838c73)
![v _ {{k + 1}} = 2 beta v _ {{k + 0.5}} - v _ {{k}}. , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ed46dc5127d47b5b07cf82eaf71df14673cdcb)
Выбрав правильную комбинацию этих трех уравнений, мы можем получить
![v _ {{k + 1}} = (4 beta ^ {2} -2) v _ {{k}} - v _ {{k-1}}. , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d71f3fbd74093df6d17997c449e3964a27ed52)
Таким образом, наша новая рекурсия решит нашу проблему собственных значений, когда
![h ^ {2} lambda + 2 = (4 beta ^ {2} -2). , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87cc831d806ac6fb908301861eae65d659a41d0)
Решение для
мы получили
![lambda = { frac {4 ( beta ^ {2} -1)} {h ^ {2}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2c294ceaaa36ffe4c71e5abca55ed8153c418a)
Наше новое повторение дает
![v _ {{n + 1}} = U _ {{2n + 1}} ( beta), v _ {{n}} = U _ {{2n-1}} ( beta), , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ccdbfabed1456827a1622c0af3baf97b1dc04c)
куда
снова k-й Полином Чебышева 2-го рода.
И в сочетании с нашим граничным условием Неймана, мы имеем
![U _ {{2n + 1}} ( beta) -U _ {{2n-1}} ( beta) = 0. , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d7f3cf30e6ff1f790e58df8dacc20f07e5ad3a)
Известная формула связывает Полиномы Чебышева первого рода,
, второму типу
![U _ {{k}} ( beta) -U _ {{k-2}} ( beta) = T_ {k} ( beta). , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ba9a430b15f96537c2fef5f19f77c9f40013de)
Таким образом, наши собственные значения решают
![T _ {{2n + 1}} ( beta) = 0, lambda = { frac {4 ( beta ^ {2} -1)} {h ^ {2}}}. , !](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6dd41e4349a2fe7f276fa934a5e455f9268f008)
Известно также, что нули этого многочлена равны
![{ Displaystyle бета _ {к} = соз влево ({ гидроразрыва { пи (к-0,5)} {2n + 1}} вправо), к = 1, ..., 2n + 1 , !}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0315a619b22959a4dfe816b18906ef9b9716a4)
И поэтому
![{ displaystyle { begin {alignat} {2} lambda _ {k} & = { frac {4} {h ^ {2}}} left [ cos ^ {2} left ({ frac { pi (k-0.5)} {2n + 1}} right) -1 right] & = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ( { frac { pi (k-0.5)} {2n + 1}} right). end {alignat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2ac3f163230189e224fa0a0d326317e7465f1e)
Обратите внимание, что таких значений 2n + 1, но уникальны только первые n + 1. (N + 1) -ое значение дает нам нулевой вектор как собственный вектор с собственным значением 0, что тривиально. Это можно увидеть, вернувшись к исходному повторению. Поэтому мы рассматриваем только первые n из этих значений как n собственных значений задачи Дирихле - Неймана.
![{ displaystyle lambda _ {k} = - { frac {4} {h ^ {2}}} sin ^ {2} left ({ frac { pi (k-0.5)} {2n + 1) }} right), k = 1, ..., n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6fc4bbd059732584f6f80e878f57729ab05751e)
Рекомендации
- ^ Ф. Чанг, С.-Т. Яу, Дискретные функции Грина, Journal of Combinatorial Theory A 91, 191-214 (2000).