Восьмивершинная модель - Eight-vertex model - Wikipedia

В статистическая механика, то восьмивершинная модель является обобщением ледовые (шестивершинные) модели; это обсуждал Сазерленд,^[1] и Фан и Ву,^[2] и решено Бакстер в случае нулевого поля.^[3]

Описание

Как и модели ледяного типа, восьмивершинная модель представляет собой квадратную решетчатая модель, где каждое состояние представляет собой конфигурацию стрелок в вершине. У разрешенных вершин есть четное количество стрелок, указывающих на вершину; к ним относятся шесть, унаследованные от ледовая модель (1-6), стоков и источников (7, 8).

Восемьvertex2

Мы рассматриваем ${\displaystyle N\times N}$ решетка, с ${\displaystyle N^{2}}$ вершины и ${\displaystyle 2N^{2}}$ края. Наложение периодических граничных условий требует, чтобы состояния 7 и 8 возникали одинаково часто, как и состояния 5 и 6, и, таким образом, можно считать, что они имеют одинаковую энергию. Для случая нулевого поля то же самое верно и для двух других пар состояний. Каждая вершина ${\displaystyle j}$ имеет связанную энергию ${\displaystyle \epsilon _{j}}$ и Вес Больцмана ${\displaystyle w_{j}=e^{-{\frac {\epsilon _{j}}{kT}}}}$, давая функция распределения над решеткой как

${\displaystyle Z=\sum \exp \left(-{\frac {\sum _{j}n_{j}\epsilon _{j}}{kT}}\right)}$

где суммирование ведется по всем разрешенным конфигурациям вершин решетки. В этом общем виде статистическая сумма остается нерешенной.

Решение в случае нулевого поля

Случай модели с нулевым полем физически соответствует отсутствию внешних электрических полей. Следовательно, модель остается неизменной при перевороте всех стрелок; состояния 1 и 2, а также 3 и 4, следовательно, должны происходить парами. Вершинам можно присвоить произвольные веса

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}=w_{2}&=a\\w_{3}=w_{4}&=b\\w_{5}=w_{6}&=c\\w_{7}=w_{8}&=d.\end{aligned}}}$

Решение основано на наблюдении, что строки в матрицы передачи коммутируют для определенной параметризации этих четырех весов Больцмана. Это произошло как модификация альтернативного решения для шестивершинная модель; он использует эллиптические тета-функции.

Коммутирующие трансфер-матрицы

Доказательство опирается на то, что когда ${\displaystyle \Delta '=\Delta }$ и ${\displaystyle \Gamma '=\Gamma }$, для количества

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}}\\\Gamma &={\frac {ab-cd}{ab+cd}}\end{aligned}}}$

матрицы передачи ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle T'}$ (связанный с весами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle a'}$, ${\displaystyle b'}$, ${\displaystyle c'}$, ${\displaystyle d'}$) ездить. С использованием соотношение звезда-треугольник Бакстер переформулировал это условие как эквивалентное параметризации весов, заданных как

${\displaystyle a:b:c:d=\operatorname {snh} (\eta -u):\operatorname {snh} (\eta +u):\operatorname {snh} (2\eta ):k\operatorname {snh} (2\eta )\operatorname {snh} (\eta -u)\operatorname {snh} (\eta +u)}$

для фиксированного модуля ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle \eta }$ и переменная ${\displaystyle u}$. Здесь snh - гиперболический аналог sn, задаваемый формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {snh} (u)&=-i\operatorname {snh} (iu)\\{\text{where }}\operatorname {snh} (u)&={\frac {H(u)}{k^{1/2}\Theta (u)}}\end{aligned}}}$

и ${\displaystyle H(u)}$ и ${\displaystyle \Theta (u)}$ находятся Эллиптические функции Якоби модуля ${\displaystyle k}$. Соответствующая матрица переноса ${\displaystyle T}$ таким образом, это функция ${\displaystyle u}$ один; для всех ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$

${\displaystyle T(u)T(v)=T(v)T(u).}$

Матричная функция ${\displaystyle Q(u)}$

Другой важной частью решения является наличие невырожденной матрично-значной функции ${\displaystyle Q}$, такое, что для всех сложных ${\displaystyle u}$ матрицы ${\displaystyle Q(u),Q(u')}$ коммутируют друг с другом и передаточными матрицами и удовлетворяют

${\displaystyle \zeta (u)T(u)Q(u)=\phi (u-\eta )Q(u+2\eta )+\phi (u+\eta )Q(u-2\eta )}$

(1)

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (u)&=[c^{-1}H(2\eta )\Theta (u-\eta )\Theta (u+\eta )]^{N}\\\phi (u)&=[\Theta (0)H(u)\Theta (u)]^{N}.\end{aligned}}}$

Существование и коммутационные отношения такой функции демонстрируются путем рассмотрения парных прохождений через вершину и отношений периодичности тета-функций аналогично модели с шестью вершинами.

Явное решение

Коммутация матриц в (1) позволить им быть диагонализованный, и поэтому собственные значения можно найти. Статистическая сумма вычисляется по максимальному собственному значению, в результате чего получается свободная энергия на сайт

${\displaystyle {\begin{aligned}f=\epsilon _{5}-2kT\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh ^{2}((\tau -\lambda )n)(\cosh(n\lambda )-\cosh(n\alpha ))}{n\sinh(2n\tau )\cosh(n\lambda )}}\end{aligned}}}$

за

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &={\frac {\pi K'}{2K}}\\\lambda &={\frac {\pi \eta }{iK}}\\\alpha &={\frac {\pi u}{iK}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle K'}$ - полные эллиптические интегралы по модулям ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle k'}$Восьмивершинная модель также решалась в квазикристаллы.

Эквивалентность модели Изинга

Существует естественное соответствие между восьмивершинной моделью и Модель Изинга с 2-спиновым и 4-спиновым взаимодействиями ближайших соседей. Состояниями этой модели являются спины ${\displaystyle \sigma =\pm 1}$ на гранях квадратной решетки. Аналогом «ребер» в восьмивершинной модели являются произведения спинов на смежных гранях:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{ij}&=\sigma _{ij}\sigma _{i,j+1}\\\mu _{ij}&=\sigma _{ij}\sigma _{i+1,j}.\end{aligned}}}$

Наиболее общий вид энергии для этой модели:

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &=-\sum _{ij}(J_{h}\mu _{ij}+J_{v}\alpha _{ij}+J\alpha _{ij}\mu _{ij}+J'\alpha _{i+1,j}\mu _{ij}+J''\alpha _{ij}\alpha _{i+1,j})\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle J_{h}}$, ${\displaystyle J_{v}}$, ${\displaystyle J}$, ${\displaystyle J'}$ описывают горизонтальное, вертикальное и два диагональных 2-спиновых взаимодействия, и ${\displaystyle J''}$ описывает 4-спиновое взаимодействие между четырьмя гранями в вершине; сумма идет по всей решетке.

Обозначим горизонтальные и вертикальные спины (стрелки на ребрах) в восьмивершинной модели ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \alpha }$ соответственно, и определяем вверх и вправо как положительные направления. Ограничение на состояния вершин состоит в том, что произведение четырех ребер в вершине равно 1; это автоматически выполняется для «краев» Изинга. Каждый ${\displaystyle \sigma }$ тогда конфигурация соответствует уникальному ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \alpha }$ конфигурации, тогда как каждый ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \alpha }$ конфигурация дает два варианта ${\displaystyle \sigma }$ конфигурации.

Приравнивание общих форм весов Больцмана для каждой вершины ${\displaystyle j}$, следующие соотношения между ${\displaystyle \epsilon _{j}}$ и ${\displaystyle J_{h}}$, ${\displaystyle J_{v}}$, ${\displaystyle J}$, ${\displaystyle J'}$, ${\displaystyle J''}$ определить соответствие между решетчатыми моделями:

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{1}&=-J_{h}-J_{v}-J-J'-J'',\quad \epsilon _{2}=J_{h}+J_{v}-J-J'-J''\\\epsilon _{3}&=-J_{h}+J_{v}+J+J'-J'',\quad \epsilon _{4}=J_{h}-J_{v}+J+J'-J''\\\epsilon _{5}&=\epsilon _{6}=J-J'+J''\\\epsilon _{7}&=\epsilon _{8}=-J+J'+J''.\end{aligned}}}$

Отсюда следует, что в случае нулевого поля восьмивершинной модели горизонтальные и вертикальные взаимодействия в соответствующей модели Изинга исчезают.

Эти отношения дают эквивалентность ${\displaystyle Z_{I}=2Z_{8V}}$ между статистическими суммами восьмивершинной модели и 2,4-спиновой моделью Изинга. Следовательно, решение в одной из моделей немедленно приведет к решению в другой.

Смотрите также

• Шестивершинная модель
• Трансферно-матричный метод
• Модель Изинга

Примечания

1. Сазерленд, Билл (1970). «Двумерные кристаллы с водородной связью без правила льда». Журнал математической физики. Издательство AIP. 11 (11): 3183–3186. Дои:10.1063/1.1665111. ISSN  0022-2488.
2. Fan, Chungpeng; Ву, Ф. Ю. (1970-08-01). «Общая решеточная модель фазовых переходов». Физический обзор B. Американское физическое общество (APS). 2 (3): 723–733. Дои:10.1103 / Physrevb.2.723. ISSN  0556-2805.
3. Бакстер, Р. Дж. (1971-04-05). «Восьмивершинная модель в решеточной статистике». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 26 (14): 832–833. Дои:10.1103 / Physrevlett.26.832. ISSN  0031-9007.

Рекомендации

• Бакстер, Родни Дж. (1982), Точно решаемые модели в статистической механике (PDF), Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN  978-0-12-083180-7, МИСТЕР  0690578