Распределение предметов без зависти - Envy-free item allocation - Wikipedia

Распределение предметов без зависти (EF) это справедливое распределение предметов задача, в которой критерием справедливости является зависть - каждый агент должен получить пакет, который, по его мнению, не хуже, чем пакет любого другого агента.^{[1]:296–297}

Поскольку элементы неделимы, назначение EF может не существовать. Самый простой случай - это когда есть один предмет и как минимум два агента: если предмет назначен одному агенту, другой позавидует. Таким образом, процедуры разделения предусматривают различные виды расслабления.

Нахождение свободного от зависти распределения, когда оно существует

Предпочтительные заказы на связки: без зависти

В процедура подреза находит полное распределение EF для двух агентов, если и только если такое распределение существует. Он требует от агентов ранжирования связок предметов, но не требует кардинальной полезной информации. Это работает, когда отношения предпочтений агентов строго монотонны, но не нужно предполагать, что они отзывчивые предпочтения. В худшем случае агентам, возможно, придется ранжировать все возможные пакеты, поэтому время выполнения может быть экспоненциальным по количеству элементов.

Предпочтительные заказы на товары: необходимо / возможно без зависти

Обычно людям легче ранжировать отдельные предметы, чем наборы. Предполагая, что у всех агентов есть отзывчивые предпочтения, можно поднять ранжирование элементов до частичного ранжирования пакетов. Например, если рейтинг элементов равен w> x> y> z, то отзывчивость подразумевает, что {w, x}> {y, z} и {w, y}> {x, z}, но ничего не подразумевает о связи между {w, z} и {x, y}, между {x} и {y, z} и т. д.

Учитывая рейтинг предмета:

• Распределение обязательно без зависти (NEF) если это не зависть согласно все отзывчивое ранжирование пакетов в соответствии с ранжированием предметов;
• Распределение возможно без зависти (PEF) если это не зависть согласно хотя бы один отзывчивое ранжирование пакетов в соответствии с ранжированием предметов;
• Распределение обязательно оптимально по Парето (NPE), если он оптимален по Парето согласно все отзывчивое ранжирование пакетов в соответствии с ранжированием предметов;
• Распределение возможно оптимальное по Парето (PPE), если он оптимален по Парето согласно хотя бы один отзывчивое ранжирование пакетов в соответствии с ранжированием предметов.

Бувере, Эндрисс и Ланг^[2] изучите алгоритмические вопросы поиска распределения NEF / PEF с дополнительным условием эффективности, в частности, полноты или NPE или PPE. В общем, PEF вычислительно прост, а NEF - сложен в вычислительном отношении.

Определение наличия выделения EF

Пустое выделение всегда EF. Но если нам нужна некоторая эффективность в дополнение к EF, тогда проблема решения становится трудной в вычислительном отношении:^{[1]:300–310}

• Принятие решения об использовании EF и полный распределение существует НП завершена. Это верно даже тогда, когда есть только два агента, и даже когда их полезности аддитивны и идентичны, поскольку в этом случае нахождение распределения EF эквивалентно решению проблема раздела.^[3]
• Решение о том, существует ли справедливое распределение, требует экспоненциальной связи (в количестве товаров), когда агентов более двух. Когда есть два агента, сложность коммуникации зависит от конкретных комбинаций параметров.^[4]
• Принятие решения об использовании EF и Парето эффективный распределение существует выше NP: это ${\displaystyle \Sigma _{2}^{\textrm {P}}}$-полный даже с дихотомические утилиты^[5] и даже с аддитивные утилиты.^[6] (${\displaystyle \Sigma _{2}^{\textrm {P}}}$ - это класс задач, которые могут быть решены за недетерминированное время с помощью оракула, который может решить любую проблему в NP).

Проблема решения может стать разрешимой, если некоторые параметры задачи считаются фиксированными малыми константами:^[7]

• Учитывая количество объектов м в качестве параметра наличие распределения PE + EF может быть определено вовремя ${\displaystyle O^{*}(m^{2m})}$ для аддитивных или дихотомических утилит. Когда утилиты являются двоичными и / или идентичными, время выполнения падает до ${\displaystyle O^{*}(m^{m})}$. Здесь обозначение ${\displaystyle O^{*}}$ скрывает выражения, полиномиальные по другим параметрам (например, количеству агентов).
• Учитывая количество агентов п в качестве параметра существование выделения PE + EF остается трудным. С дихотомическими утилитами это NP-сложно даже для п=2.^[5] Однако теперь он находится в NP и может быть эффективно решен с помощью NP-оракула (например, SAT решатель ). С ${\displaystyle n\geq 5}$ агентов, это можно сделать с ${\displaystyle 2^{n+1}}$такие оракулы, и по крайней мере ${\displaystyle 2^{n-4}}$ оракулы необходимы, если P = NP. С аддитивными утилитами это NP-сложно даже для п=2.^[5] Более того, это W [1] -полный w.r.t. количество агентов, даже если все утилиты идентичны и закодированы в унарном формате.
• Учитывая количество агентов п и самая большая полезность V в качестве параметров, существование распределения PE + EF может быть решено вовремя ${\displaystyle O^{*}((m\cdot V+1)^{n^{2}}\cdot mn^{2})}$ для аддитивных инженерных сетей с использованием динамическое программирование.
• Учитывая количество агентов п и количество уровней полезности z в качестве параметров наличие распределения PE + EF для идентичных дополнительных коммунальных услуг может быть определено с использованием целочисленная линейная программа с ${\displaystyle d=n\cdot z^{n}}$ переменные; Алгоритм Ленстры позволяет решать такие ILP за время ${\displaystyle O^{*}(d^{2.5d})}$.

Поиск распределения с ограниченным уровнем зависти

Многие процедуры находят распределение "почти" без зависти, то есть уровень зависти ограничен. Существуют различные представления о "почти" свободе от зависти:

EF1 - до одного предмета без зависти

Распределение называется EF1 если для каждых двух агентов A и B мы удалим не более одного элемента из набора B, то A не завидует B.^[8] Распределение EF1 существует всегда, и его можно эффективно найти с помощью различных процедур, в частности:

• Когда все агенты слабо аддитивный коммунальные услуги, круговой протокол находит полное распределение EF1. Требуется слабая аддитивность, поскольку каждый агент должен иметь возможность выбрать в каждой ситуации «лучший элемент».
• В более общем случае, когда у всех агентов есть монотонно возрастающие полезности, процедура envy-graph находит полное распределение EF1. Единственное требование - агенты могут ранжировать наборы предметов. Если оценки агентов представлены кардинальная полезность функция, то гарантия EF1 имеет дополнительную интерпретацию: числовой уровень зависти каждого агента не более чем максимальная предельная полезность - наибольшая предельная полезность одного элемента для этого агента.
• Когда агенты имеют произвольные полезности (не обязательно аддитивные или монотонные), Механизм A-CEEI возвращает частичное выделение EF1. Единственное требование - агенты могут ранжировать наборы предметов. Небольшое количество элементов может остаться нераспределенным, а небольшое количество элементов может потребоваться добавить. Распределение является эффективным по Парето по отношению к выделенным позициям.
• В Максимальное благосостояние Нэша алгоритм выбирает полное распределение, которое максимизирует продукт коммунальных услуг. Он требует, чтобы каждый агент предоставил числовую оценку каждой позиции, и предполагает, что полезности агентов складываются. Результирующее выделение равно EF1 и Парето-эффективный.^[9]
• Различные другие алгоритмы возвращают распределения EF1, которые также являются эффективными по Парето; видеть Эффективное приблизительно справедливое распределение предметов.
• Для двух агентов с произвольными монотонными оценками или трех агентов с аддитивными оценками распределение EF1 может быть вычислено с использованием логарифмического числа запросов по количеству элементов.^[10]
• Для двух агентов с произвольными функциями полезности (не обязательно монотонными) распределение EF1 может быть найдено за полиномиальное время.^[11]
• Для не более чем 4 агентов с произвольными монотонными оценками, или п агентов с одинаковыми монотонными оценками всегда существует распределение EF1, которое также связаны (когда товары предварительно заказаны на линии, например, дома на улице). В доказательстве используется алгоритм, аналогичный Протоколы Симмонса – Су. Когда есть п > 4 агента, неизвестно, существует ли подключенное выделение EF1, но подключено EF2 распределение всегда существует.^[12]

EFx - без зависти к любому предмету

Распределение называется EFx если для каждых двух агентов A и B, если мы удалим любой предмет из комплекта Б, то А не завидует Б.^[13] EFx строго сильнее, чем EF1: EF1 позволяет нам избавиться от зависти, удалив элемент наиболее ценный (для А) из связки Б; EFx требует, чтобы мы избавились от зависти, удалив предмет наименее ценный (для). Известно, что выделение EFx существует в некоторых особых случаях:

• Когда есть два агентов, или когда есть п агенты с идентичные оценки. В этом случае лексимин -оптимальное распределение - EFx и оптимальное по Парето. Однако для вычисления требуется экспоненциально много запросов.^[14][11]
• Когда есть п агенты с аддитивные оценки, но есть не более двух разных значений товаров. В этом случае любое распределение max-Nash-welfare - EFx. Более того, существует эффективный алгоритм для расчета распределения EFx (хотя и не обязательно max-Nash-welfare).^[15]
• I Когда есть п агенты с аддитивные оценки, но существует не более двух различных видов оценок.^[16]
• Когда есть три агенты с аддитивные оценки. В этом случае существует алгоритм с полиномиальным временем.^[17]

Известны некоторые приближения:

• 1/2-приблизительное распределение EFx (которое также удовлетворяет другому понятию приблизительной справедливости, называемому Максимин осведомлен) можно найти за полиномиальное время.^[18]
• Приблизительное распределение EFx в размере 0,618 (это также EF1 и приближается к другим понятиям справедливости, называемым групповая максимальная доля и попарная максимальная доля ) можно найти за полиномиальное время.^[19]
• Всегда существует частичный Распределение EFx, где благосостояние Нэша составляет не менее половины максимально возможного благосостояния Нэша. Другими словами, после пожертвования некоторых предметов на благотворительность, оставшиеся предметы могут быть распределены способом EFx. Эта оценка является наилучшей из возможных. На крупных рынках, где оценка агента по каждому элементу относительно невелика, алгоритм достигает EFx с почти оптимальным благосостоянием по Нэшу.^[20] Достаточно пожертвовать п-1 предмет, и ни один агент не завидует набору подаренных предметов.^[21]

Вопрос о том, существует ли вообще выделение EFx, остается открытым. Наименьший открытый случай - это 4 агента с аддитивными оценками.

В отличие от EF1, который требует логарифмического количества запросов по количеству элементов, вычисление распределения EFx может потребовать линейного количества запросов, даже если есть два агента с одинаковыми аддитивными оценками.^[10]

Еще одно различие между EF1 и EFx заключается в том, что количество выделений EFX может составлять всего 2 (для любого количества элементов), в то время как количество выделений EF1 всегда экспоненциально зависит от количества элементов.^[22]

EFm - примерная смесь неделимых и делимых предметов без зависти

Некоторые сценарии разделения включают в себя как делимые, так и неделимые объекты, такие как делимые земли и неделимые дома. Распределение называется EFm если для каждых двух агентов A и B:^[23]

• Если набор B содержит некоторые делимые товары, то A не завидует B (как при распределении EF).
• Если набор B содержит только неделимые товары, то A не завидует B после удаления не более одного элемента из набора B (как в распределении EF1).

Распределение EFm существует для любого количества агентов. Однако для его поиска требуется оракул для точное деление торта. Без этого оракула распределение EFm может быть вычислено за полиномиальное время в двух частных случаях: два агента с общими аддитивными оценками или любое количество агентов с кусочно-линейными оценками.

В отличие от EF1, который совместим с оптимальностью по Парето, EFm может быть несовместим с ним.

Сведение к минимуму зависти

Учитывая распределение Икс, определите коэффициент зависти я в j в качестве:

${\displaystyle EnvyRatio(X,i,j):=\max(1,{u_{i}(X_{j}) \over u_{i}(X_{i})})}$

так что отношение равно 1, если я не завидует j, и больше, когда я завидует jОпределите коэффициент зависти для задания как:

${\displaystyle EnvyRatio(X):=\max _{i,j}(EnvyRatio(X,i,j)}$

В минимизация коэффициента зависти проблема - это проблема нахождения распределения Икс с наименьшей степенью зависти.

Общие оценки

При общих оценках любой детерминированный алгоритм, который вычисляет распределение с минимальным коэффициентом зависти, требует ряда запросов, которые в худшем случае экспоненциально зависят от количества товаров.^[3]:3

Аддитивные и идентичные оценки

С аддитивными и идентичными оценками:^[3]:4–6

• Следующий жадный алгоритм находит распределение, у которого коэффициент зависти не превышает минимального в 1,4 раза:^[24]
  1. Упорядочить товары по убыванию;
  2. Пока есть больше предметов, отдайте следующий предмет агенту с наименьшей общей стоимостью.
• Существует PTAS для минимизации зависти. Кроме того, когда количество игроков постоянно, существует FPTAS.

Аддитивные и разные оценки

С аддитивными и разными оценками:^[25]

• Когда количество агентов является частью входных данных, невозможно получить за полиномиальное время коэффициент приближения лучше 1,5, если только P = NP.
• Когда количество агентов постоянно, есть FPTAS.
• Когда количество агентов равно количеству элементов, существует алгоритм с полиномиальным временем.

Нахождение частичного распределения без зависти

В AL процедура находит распределение EF для двух агентов. Некоторые предметы могут быть отброшены, но окончательное распределение Парето эффективный в следующем смысле: никакое другое распределение EF не лучше для одного и слабо лучше для другого. Процедура AL требует от агентов только ранжирования отдельных элементов. Предполагается, что у агентов есть отзывчивые предпочтения и возвращает выделение, которое обязательно без зависти (NEF).

В Скорректированная процедура победителя возвращает полное и эффективное распределение EF для двух агентов, но, возможно, придется вырезать один элемент (в качестве альтернативы, один элемент остается в общем владении). Он требует, чтобы агенты сообщали числовое значение для каждого элемента, и предполагает, что у них есть аддитивные утилиты

Существование распределений EF со случайными оценками

Если у агентов есть аддитивная полезность функции, которые взяты из распределений вероятностей, удовлетворяющих некоторым критериям независимости, и количество элементов достаточно велико по сравнению с количеством агентов, тогда существует распределение EF с большой вероятностью. Особенно:^[26]

• Если количество предметов достаточно велико: ${\displaystyle m=\Omega (n\log n)}$, затем w.h.p. распределение EF существует (вероятность стремится к 1, когда m стремится к бесконечности).
• Если количество элементов недостаточно велико, т.е. ${\displaystyle m=n+o(n)}$, затем w.h.p. выделение EF не существует.

Свобода от зависти против других критериев справедливости

• Каждое выделение EF мин-макс-ярмарка. Это следует непосредственно из порядковых определений и не зависит от аддитивности.
• Если у всех агентов есть аддитивная полезность функций, то распределение EF также пропорциональный и макс-мин-ярмарка. В противном случае выделение EF может быть непропорциональным и даже не максимальным и минимальным.
• Каждое выделение конкурентное равновесие с равными доходами также не вызывает зависти. Это верно независимо от аддитивности.^[8]
• Каждое оптимальное по Нэшу распределение (распределение, которое максимизирует продукт полезностей) - это EF1.^[13]
• Групповая зависть-свобода является усилением свободы от зависти, которое применимо как к делимым, так и к неделимым объектам.

Видеть Справедливое распределение предметов для получения подробной информации и ссылок.

Таблица результатов

Ниже используются следующие сокращения:

• ${\displaystyle n}$ = количество агентов, участвующих в подразделении;
• ${\displaystyle m}$ = количество элементов для разделения;
• EF = без зависти, EF1 = без зависти, за исключением-1-элемента (слабее, чем EF), MEF1 = без маргинальной-зависти, за исключением-1-элемента (слабее, чем EF1).
• PE = Парето-эффективный.

Имя	#partners	Вход	Предпочтения	# запросы	Справедливость	Эффективность	Комментарии
Подрез	2	Пакетный рейтинг	Строго монотонный	${\displaystyle 2^{m}}$	EF	Полный	Если и только если существует полное распределение EF
AL	2	Рейтинг предмета	Слабо добавка	${\displaystyle Poly(m)}$	Обязательно-EF	Частично, но не с преобладанием Парето со стороны другого НЭФ
Скорректированный победитель	2	Оценка предметов	Добавка	${\displaystyle Poly(m)}$	EF и справедливый	PE	Можно разделить один предмет.
По-круговой	${\displaystyle n}$	Рейтинг предмета	Слабо добавка	${\displaystyle m}$	Обязательно-EF1	Полный
Зависть-граф	${\displaystyle n}$	Пакетный рейтинг	Монотонный	${\displaystyle O(mn^{3})}$	EF1	Полный
A-CEEI	${\displaystyle n}$	Пакетный рейтинг	Любой	?	EF1 и ${\displaystyle (n+1)}$-maximin-доля	Частично, но PE w.r.t. выделенные предметы	Также примерно стратегически устойчивый когда агентов много.
Максимум-Nash-Welfare[13]	${\displaystyle n}$	Оценка предметов	Добавка	NP-жесткий (но есть приближения в особых случаях)	EF1, и примерно-${\displaystyle n}$-maximin-доля	PE	В субмодульных энергосистемах распределение - PE и MEF1.

Смотрите также

• Распределение предметов с максимальной долей - другой критерий справедливости.
• Гармония аренды и Цены без зависти - два варианта, в которых зависть достигается денежными выплатами.

Рекомендации

1. Брандт, Феликс; Конитцер, Винсент; Эндрисс, Улле; Ланг, Жером; Прокачча, Ариэль Д. (2016). Справочник по вычислительному социальному выбору. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781107060432. (бесплатная онлайн-версия )
2. Сильвен Бувере, Улле Эндрисс, Жером Ланг (2010). Справедливое разделение при порядковых предпочтениях: расчет распределения неделимых товаров без зависти. ECAI 2010. С. 387–392.
3. Lipton, R.J .; Markakis, E .; Mossel, E .; Сабери, А. (2004). «О примерно справедливых размещениях неделимых товаров». Материалы 5-й конференции ACM по электронной коммерции - EC '04. п. 125. Дои:10.1145/988772.988792. ISBN  1-58113-771-0.
4. Плаут, Бенджамин; Рафгарден, Тим (01.01.2020). «Коммуникационная сложность дискретного выставочного дивизиона». SIAM Журнал по вычислениям. 49 (1): 206–243. arXiv:1711.04066. Дои:10.1137 / 19M1244305. ISSN  0097-5397. S2CID  212667868.
5. Bouveret, S .; Ланг, Дж. (2008). «Эффективность и неприязнь в справедливом разделении неделимых товаров: логическое представление и сложность». Журнал исследований искусственного интеллекта. 32: 525–564. Дои:10.1613 / jair.2467.
6. Де Кейзер, Барт; Бувере, Сильвен; Клос, Томас; Чжан, Инцянь (2009). «О сложности эффективности и непривлекательности честного разделения неделимых товаров с добавочными предпочтениями». Теория алгоритмических решений. Конспект лекций по информатике. 5783. п. 98. Дои:10.1007/978-3-642-04428-1_9. ISBN  978-3-642-04427-4.
7. Блием, Бернхард; Бредерек, Роберт; Нидермайер, Рольф (09.07.2016). «Сложность эффективного распределения ресурсов без зависти: небольшое количество агентов, ресурсов или уровней полезности». Материалы двадцать пятой международной совместной конференции по искусственному интеллекту. IJCAI'16. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: AAAI Press: 102–108. ISBN  978-1-57735-770-4.
8. Будиш, Эрик (2011). "Комбинаторная проблема распределения: приблизительное конкурентное равновесие от равных доходов". Журнал политической экономии. 119 (6): 1061–1103. CiteSeerX  10.1.1.357.9766. Дои:10.1086/664613. S2CID  154703357.
9. Карагианнис, Иоаннис; Курокава, Дэвид; Мулен, Эрве; Procaccia, Ariel D .; Шах, Нисарг; Ван, Цзюньсин (2016). Необоснованная справедливость максимального благосостояния Нэша (PDF). Труды конференции ACM по экономике и вычислениям 2016 г. - EC '16. п. 305. Дои:10.1145/2940716.2940726. ISBN  9781450339360.
10. О, Хун; Procaccia, Ariel D .; Суксомпонг, Варут (17.07.2019). «Справедливое распределение многих товаров с помощью нескольких запросов». Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту. 33 (1): 2141–2148. Дои:10.1609 / aaai.v33i01.33012141. ISSN  2374-3468. S2CID  51867780.
11. Берци, Кристоф; Bérczi-Kovács, Erika R .; Борос, Эндре; Гедефа, Фекаду Толесса; Камияма, Наоюки; Кавита, Теликепалли; Кобаяси, Юске; Макино, Кадзухиса (08.06.2020). «Расслабление без зависти для товаров, дел и смешанных вещей». arXiv:2006.04428 [экон. ].
12. Било, Витторио; Карагианнис, Иоаннис; Фламмини, Микеле; Игараси, Аюми; Монако, Джанпьеро; Петерс, Доминик; Винчи, Козимо; Цвикер, Уильям С. (28.08.2018). «Распределение почти без зависти с подключенными пакетами». arXiv:1808.09406 [cs.GT ].
13. Карагианнис, Иоаннис; Курокава, Дэвид; Мулен, Эрве; Procaccia, Ariel D .; Шах, Нисарг; Ван, Цзюньсин (2016). Необоснованная справедливость максимального благосостояния Нэша (PDF). Труды конференции ACM по экономике и вычислениям 2016 г. - EC '16. п. 305. Дои:10.1145/2940716.2940726. ISBN  9781450339360.
14. Плаут, Бенджамин; Рафгарден, Тим (01.01.2020). «Почти беззаветность с общими оценками». Журнал SIAM по дискретной математике. 34 (2): 1039–1068. arXiv:1707.04769. Дои:10.1137 / 19M124397X. ISSN  0895-4801.
15. Аманатидис, Георгиос; Бирмпас, Георгиос; Филос-Рацикас, Арис; Холлендер, Александрос; Вудурис, Александрос А. (01.06.2020). «Максимальное благосостояние Нэша и другие истории о EFX». arXiv:2001.09838 [cs.GT ].
16. Махара, Рёга (20.08.2020). «Существование EFX для двух аддитивных оценок». arXiv:2008.08798 [cs.GT ].
17. Чаудхури, Бхаскар Рэй; Гарг, Джугал; Мельхорн, Курт (30 мая 2020 г.). «EFX существует для трех агентов». arXiv:2002.05119 [cs.GT ].
18. Чан, Хау; Чен, Цзин; Ли, Бо; У Сяовэй (2019-10-25). "Максимально ориентированное размещение неделимых товаров". arXiv:1905.09969 [cs.GT ].
19. Аманатидис, Георгиос; Нтокос, Апостолос; Маркакис, Евангелос (17 сентября 2019 г.). «Множественные птицы одним камнем: побить $ 1/2 $ за EFX и GMMS с помощью исключения цикла зависти». arXiv:1909.07650 [cs.GT ].
20. Карагианнис, Иоаннис; Гравин, Ник; Хуан, Синь (17.06.2019). «Свобода зависти к любому предмету с высоким уровнем благосостояния Нэша: достоинство дарения предметов». Материалы конференции ACM по экономике и вычислениям 2019 г.. EC '19. Феникс, Аризона, США: Ассоциация вычислительной техники: 527–545. arXiv:1902.04319. Дои:10.1145/3328526.3329574. ISBN  978-1-4503-6792-9. S2CID  60441171.
21. Чаудхури, Бхаскар Рэй; Кавита, Теликепалли; Мельхорн, Курт; Сгурица, Алкмини (23.12.2019), «Небольшая благотворительность гарантирует почти полное отсутствие зависти», Труды Симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам 2020 г., Proceedings, Society for Industrial and Applied Mathematics, pp. 2658–2672, arXiv:1907.04596, Дои:10.1137/1.9781611975994.162, ISBN  978-1-61197-599-4, S2CID  195874127, получено 2020-10-02
22. Суксомпонг, Варут (30 сентября 2020 г.). «По количеству почти беззаветных выделений». Дискретная прикладная математика. 284: 606–610. arXiv:2006.00178. Дои:10.1016 / j.dam.2020.03.039. ISSN  0166-218X. S2CID  215715272.
23. Бэй, Сяохуэй; Ли, Цзыхао; Лю, Цзиньянь; Лю, Шэнсинь; Лу, Синьхан (2020-03-05). «Справедливый раздел смешанных делимых и неделимых товаров». arXiv:1911.07048 [cs.GT ].
24. Грэм, Р. Л. (1969). «Границы многопроцессорных временных аномалий». Журнал SIAM по прикладной математике. 17 (2): 416–429. CiteSeerX  10.1.1.90.8131. Дои:10.1137/0117039.
25. Нгуен, Чунг Тхань; Роте, Йорг (2014). «Сведение к минимуму зависти и максимизация среднего социального благосостояния по Нэшу при распределении неделимых благ». Дискретная прикладная математика. 179: 54–68. Дои:10.1016 / j.dam.2014.09.010.
26. Джон П. Дикерсон; Джонатан Голдман; Джереми Карп; Ариэль Д. Прокачча; Туомас Сандхольм (2014). Вычислительный взлет и падение справедливости. В материалах двадцать восьмой конференции AAAI по искусственному интеллекту (2014 г.). С. 1405–1411. CiteSeerX  10.1.1.703.8413. Ссылка ACM