Конкурентное равновесие - Competitive equilibrium

Конкурентное равновесие (также называемый: Вальрасовское равновесие) - это концепция экономическое равновесие представлен Кеннет Эрроу и Жерар Дебре в 1951 г.^[1] подходит для анализа товарные рынки с гибкими ценами и множеством трейдеров, и служит эталоном эффективность в экономическом анализе. Он во многом полагается на предположение о конкурентная среда где каждый трейдер выбирает количество, которое настолько мало по сравнению с общим объемом торгов на рынке, что их отдельные транзакции не влияют на цены. Конкурентные рынки - идеальный стандарт, по которому оцениваются другие рыночные структуры.

Определения

Конкурентное равновесие (CE) состоит из двух элементов:

• Ценовая функция ${displaystyle P}$. Он принимает в качестве аргумента вектор, представляющий набор товаров, и возвращает положительное действительное число, которое представляет его цену. Обычно функция цены линейна - она ​​представлена ​​как вектор цен, цена для каждого вида товара.
• Матрица распределения ${displaystyle X}$. Для каждого ${displaystyle iin 1,dots ,n}$, ${displaystyle X_{i}}$ вектор товаров, выделенных агенту ${displaystyle i}$.

Эти элементы должны удовлетворять следующему требованию:

• Удовлетворение (Свобода от зависти): Каждый агент слабо предпочитает свой пакет любому другому доступному пакету:

${displaystyle forall iin 1,dots ,n}$, если ${displaystyle P(Y)leq P(X_{i})}$ тогда ${displaystyle Ypreceq _{i}X_{i}}$.

Часто существует исходная матрица обеспеченности. ${displaystyle E}$: для каждого ${displaystyle iin 1,dots ,n}$, ${displaystyle E_{i}}$ является начальным вкладом агента ${displaystyle i}$. Тогда CE должен удовлетворять некоторым дополнительным требованиям:

• Очистка рынка: спрос равен предложению, элементы не создаются и не уничтожаются:

${displaystyle sum _{i=1}^{n}X_{i}=sum _{i=1}^{n}E_{i}}$.

• Индивидуальная рациональность: всем агентам после сделки выгоднее, чем до сделки:

${displaystyle forall iin 1,dots ,n:X_{i}succeq _{i}E_{i}}$.

• Остаток бюджета: все агенты могут позволить себе размещение, учитывая их наделенность:

${displaystyle forall iin 1,dots ,n:P(X_{i})leq P(E_{i})}$.

Альтернативное определение

Альтернативное определение^[2] опирается на концепцию набор спроса. Учитывая функцию цены P и агент с функцией полезности U, определенный набор товаров x входит в набор спроса агента, если: ${displaystyle U(x)-P(x)geq U(y)-P(y)}$ для любого другого пучка y. А конкурентное равновесие - функция цены P и матрица распределения X такие, что:

• Пакет, назначенный X каждому агенту, находится в наборе спроса этого агента на вектор цен P;
• Каждый товар с положительной ценой полностью распределяется (т.е. каждый нераспределенный товар имеет цену 0).

Приблизительное равновесие

В некоторых случаях полезно определить равновесие, в котором условие рациональности ослаблено.^[3] Учитывая положительное значение ${displaystyle epsilon }$ (измеряется в денежных единицах, например, долларах), вектор цен ${displaystyle P}$ и связка ${displaystyle x}$, определять ${displaystyle P_{epsilon }^{x}}$ как вектор цен, в котором все товары в x имеют ту же цену, что и в P, и все товары, не входящие в x, оцениваются ${displaystyle epsilon }$ больше, чем их цена в П.

В ${displaystyle epsilon }$-конкурентное равновесие, набор x, выделенный агенту, должен быть в наборе требований этого агента для модифицированный вектор цен ${displaystyle P_{epsilon }^{x}}$.

Это приближение реалистично, когда есть комиссии на покупку / продажу. Например, предположим, что агент должен заплатить ${displaystyle epsilon }$ долларов за покупку единицы предмета в дополнение к цене этого предмета. Этот агент будет хранить свой текущий пакет до тех пор, пока он находится в наборе спроса для вектора цен. ${displaystyle P_{epsilon }^{x}}$. Это делает равновесие более устойчивым.

Примеры

Делимые ресурсы

Следующие примеры включают биржевое хозяйство с двумя агентами, Джейн и Кельвин, двумя товары например бананы (x) и яблоки (y), а денег нет.

1. Графический пример: Предположим, что начальное распределение находится в точке X, где у Джейн больше яблок, чем у Кельвина, а у Кельвина больше бананов, чем у Джейн.

Глядя на их кривые безразличия ${displaystyle J_{1}}$ Джейн и ${displaystyle K_{1}}$ Кельвина, мы видим, что это не равновесие - оба агента готовы торговать друг с другом по ценам ${displaystyle P_{x}}$ и ${displaystyle P_{y}}$. После торговли и Джейн, и Кельвин переходят к кривой безразличия, которая показывает более высокий уровень полезности, ${displaystyle J_{2}}$ и ${displaystyle K_{2}}$. Новые кривые безразличия пересекаются в точке E. Наклон касательной обеих кривых равен -${displaystyle P_{x}/P_{y}}$.

И ${displaystyle MRS_{Jane}=P_{x}/P_{y}}$;${displaystyle MRS_{Kelvin}=P_{x}/P_{y}}$. предельная ставка замещения (MRS) Джейн равна таковой Кельвина. Таким образом, общество двух человек достигает Парето эффективность, где нет возможности улучшить положение Джейн или Кельвина, не сделав хуже других.

2. Арифметический пример:^{[4]:322–323} предположим, что оба агента имеют Cobb – Douglas коммунальные услуги:

${displaystyle u_{J}(x,y)=x^{a}y^{1-a}}$

${displaystyle u_{K}(x,y)=x^{b}y^{1-b}}$

куда ${displaystyle a,b}$ являются константами.

Предположим, что начальный капитал равен ${displaystyle E=[(1,0),(0,1)]}$.

Функция спроса Джейн на x:

${displaystyle x_{J}(p_{x},p_{y},I_{J})={frac {acdot I_{J}}{p_{x}}}={frac {acdot (1cdot p_{x})}{p_{x}}}=a}$

Функция спроса Кельвина для x:

${displaystyle x_{K}(p_{x},p_{y},I_{K})={frac {bcdot I_{J}}{p_{x}}}={frac {bcdot p_{y}}{p_{x}}}}$

Условие рыночной чистоты для x:

${displaystyle x_{J}+x_{K}=E_{J,x}+E_{K,x}=1}$

Это уравнение дает соотношение равновесных цен:

${displaystyle {frac {p_{2}}{p_{1}}}={frac {1-a}{b}}}$

Мы могли бы сделать аналогичный расчет для y, но это не нужно, поскольку Закон Вальраса гарантирует, что результаты будут такими же. Обратите внимание, что в CE определяются только относительные цены; мы можем нормализовать цены, например, потребовав, чтобы ${displaystyle p_{1}+p_{2}=1}$. Тогда получаем ${displaystyle p_{1}={frac {b}{1+b-a}},p_{1}={frac {1-a}{1+b-a}}}$. Но подойдет и любая другая нормализация.

3. Пример несуществования: Предположим, что утилиты агентов:

${displaystyle u_{J}(x,y)=u_{K}(x,y)=max(x,y)}$

и начальный вклад равен [(2,1), (2,1)]. В CE каждый агент должен иметь либо только x, либо только y (другой продукт ничего не вносит в полезность, поэтому агент хотел бы обменять это прочь). Следовательно, единственно возможные распределения CE - это [(4,0), (0,2)] и [(0,2), (4,0)]. Поскольку у агентов одинаковый доход, обязательно ${displaystyle p_{y}=2p_{x}}$. Но тогда агент, владеющий 2 единицами y, захочет обменять их на 4 единицы x.

4. Примеры существования и несуществования линейных коммунальных услуг см. Линейная утилита # Примеры.

Неделимые предметы

Когда в экономике есть неделимые предметы, принято считать, что есть также деньги, которые делимы. У агентов есть квазилинейная утилита функции: их полезность - это сумма денег, которую они имеют, плюс полезность от набора предметов, которые они хранят.

A. Отдельный элемент: У Алисы есть машина, которую она оценивает как 10. У Боба нет машины, и он оценивает машину Алисы как 20. Возможный CE: цена машины составляет 15, Боб получает машину и платит 15 Алисе. Это равновесие, потому что рынок очищен, и оба агента предпочитают свой последний пакет первоначальному пакету. Фактически, каждая цена от 10 до 20 будет ценой CE с одинаковым распределением. Такая же ситуация имеет место, когда автомобиль изначально не принадлежит Алисе, а скорее находится на аукционе, на котором Алиса и Боб являются покупателями: автомобиль переходит к Бобу, и его цена будет где-то между 10 и 20.

С другой стороны, любая цена ниже 10 не является равновесной ценой, потому что существует избыточный спрос (и Алиса, и Боб хотят машину по этой цене), и любая цена выше 20 не является равновесной ценой, потому что существует избыток предложения (ни Алиса, ни Боб не хотят машину по такой цене).

Этот пример - частный случай двойной аукцион.

Б. Запасные: Автомобиль и лошадь продаются на аукционе. Алиса заботится только о транспорте, поэтому для нее это идеальные замены: она получает полезность 8 от лошади, 9 от машины, и если у нее есть оба из них, она использует только машину, поэтому ее полезность равна 9. Боб получает полезность. из 5 от лошади и 7 от машины, но если у него есть и то, и другое, то его полезность составляет 11, так как он также любит лошадь как домашнее животное. В этом случае сложнее найти равновесие (см. ниже ). Возможное равновесие состоит в том, что Алиса покупает лошадь за 5, а Боб покупает машину за 7. Это равновесие, поскольку Боб не хотел бы платить 5 за лошадь, что даст ему только 4 дополнительных полезности, а Алиса не хотела бы. заплатить 7 за машину, что даст ему только 1 дополнительную полезность.

C. Дополнения:^[5] На аукционе продаются лошадь и повозка. Есть два потенциальных покупателя: И и ИЛИ. И хочет только лошадь и повозку вместе - она ​​получает полезность ${displaystyle v_{and}}$ от удержания их обоих, но полезность 0 для удержания только одного из них. ИЛИ хочет либо лошадь, либо повозку, но не нуждается в том и другом - он получает полезность ${displaystyle v_{or}}$ от удержания одного из них и одной и той же полезности для удержания обоих. Здесь, когда ${displaystyle v_{and}<2v_{or}}$, конкурентного равновесия НЕ существует, т. е. никакая цена не очистит рынок. Доказательство: рассмотрите следующие варианты суммы цен (конная цена + цена перевозки):

• Сумма меньше чем ${displaystyle v_{and}}$. Затем AND хочет оба элемента. Так как цена хотя бы одного товара меньше ${displaystyle v_{or}}$, OR хочет этот товар, поэтому существует избыточный спрос.
• Сумма ровно ${displaystyle v_{and}}$. Тогда И безразлично между покупкой обоих предметов и отказом от покупки какого-либо предмета. Но OR по-прежнему хочет только один товар, поэтому существует либо избыточный спрос, либо избыточное предложение.
• Сумма больше чем ${displaystyle v_{and}}$. Тогда AND не хочет ничего, а OR по-прежнему хочет не более одного предмета, поэтому имеется избыток предложения.

D. Потребители единичного спроса: Есть п потребители. У каждого потребителя есть индекс ${displaystyle i=1,...,n}$. Есть только один вид товара. Каждый потребитель ${displaystyle i}$ хочет не более одной единицы товара, что дает ему полезность ${displaystyle u(i)}$. Потребители заказываются так, чтобы ${displaystyle u}$ является слабо возрастающей функцией ${displaystyle i}$. Если поставка ${displaystyle kleq n}$ единиц, то любая цена ${displaystyle p}$ удовлетворение ${displaystyle u(n-k)leq pleq u(n-k+1)}$ является равновесной ценой, так как есть k потребители, которые либо хотят купить товар, либо безразличны между покупкой и отказом от покупки. Обратите внимание, что увеличение предложения вызывает снижение цены.

Наличие конкурентного равновесия

Делимые ресурсы

В Модель Эрроу – Дебре показывает, что CE существует в каждом биржевое хозяйство с делимыми товарами, удовлетворяющими следующим условиям:

• Все агенты строго выпуклые предпочтения;
• Все товары желательны. Это означает, что если ${displaystyle j}$ выдается бесплатно (${displaystyle p_{j}=0}$), то все агенты хотят от этого добра как можно больше.

Доказательство проводится в несколько этапов.^{[4]:319–322}

А. Для конкретности предположим, что есть ${displaystyle n}$ агенты и ${displaystyle k}$ делимые товары. Нормализовать цены так, чтобы их сумма была равна 1: ${displaystyle sum _{j=1}^{k}p_{j}=1}$. Тогда пространство всех возможных цен - это ${displaystyle k-1}$-размерный блок симплекс в ${displaystyle mathbb {R} ^{k}}$. Мы называем этот симплекс цена симплекс.

Б. Пусть ${displaystyle z}$ быть функция избыточного спроса. Это функция ценового вектора. ${displaystyle p}$ когда первоначальный вклад ${displaystyle E}$ остается постоянным:

${displaystyle z(p)=sum _{i=1}^{n}{x_{i}(p,pcdot E_{i})-E_{i}}}$

Известно, что когда агенты строго выпуклые предпочтения, маршаллианская функция спроса непрерывна. Следовательно, ${displaystyle z}$ также является непрерывной функцией ${displaystyle p}$.

C. Определите следующую функцию из ценового симплекса себе:

${displaystyle g_{i}(p)={frac {p_{i}+max(0,z_{i}(p))}{1+sum _{j=1}^{k}max(0,z_{j}(p))}},forall iin 1,dots ,k}$

Это непрерывная функция, поэтому Теорема Брауэра о неподвижной точке есть вектор цен ${displaystyle p^{*}}$ такой, что:

${displaystyle p^{*}=g(p^{*})}$

так,

${displaystyle p_{i}^{*}={frac {p_{i}+max(0,z_{i}(p))}{1+sum _{j=1}^{k}max(0,z_{j}(p))}},forall iin 1,dots ,k}$

D. Использование Закон Вальраса и некоторой алгебры, можно показать, что для этого вектора цен нет избыточного спроса ни на один продукт, то есть:

${displaystyle z_{j}(p^{*})leq 0,forall jin 1,dots ,k}$

E. Предположение о желательности подразумевает, что все товары имеют строго положительные цены:

${displaystyle p_{j}>0,forall jin 1,dots ,k}$

К Закон Вальраса, ${displaystyle p^{*}cdot z(p^{*})=0}$. Но это означает, что указанное выше неравенство должно быть равенством:

${displaystyle z_{j}(p^{*})=0,forall jin 1,dots ,k}$

Это означает, что ${displaystyle p^{*}}$ - ценовой вектор конкурентного равновесия.

Обратите внимание, что Линейные утилиты только слабо выпуклые, поэтому они не подходят для Модель Эрроу – Дебре. Однако Дэвид Гейл доказал, что СЕ существует в любой линейной экономике обмена, удовлетворяющей определенным условиям. Подробнее см. Линейные полезности # Существование конкурентного равновесия.

Неделимые предметы

в примеры выше, конкурентное равновесие существовало, когда предметы были заменяющими, но не когда предметы были дополняющими. Это не совпадение.

Учитывая функцию полезности двух товаров Икс и Y, говорят, что товар слабо брутто-заменитель (GS), если они либо Независимые товары или брутто товары-заменители, но нет Дополнительные товары. Это означает, что ${displaystyle {frac {Delta { ext{demand}}(X)}{Delta { ext{price}}(Y)}}geq 0}$. То есть, если цена Y увеличивается, то спрос на Икс либо остается постоянным, либо увеличивается, но нет снижаться.

Функция полезности называется GS, если в соответствии с этой функцией полезности все пары различных товаров являются GS. При использовании функции полезности GS, если у агента есть спрос, установленный на заданном векторе цен, и цены на некоторые предметы увеличиваются, тогда у агента есть набор спроса, который включает все предметы, цена которых осталась постоянной.^[3][6] Он может решить, что ему не нужна вещь, которая стала дороже; он также может решить, что вместо этого хочет другой предмет (замену); но он может не решить, что ему не нужен третий предмет, цена которого не изменилась.

Когда функции полезности всех агентов являются GS, всегда существует конкурентное равновесие.^[7]

Более того, набор GS-оценок является наибольшим набором, содержащим удельный спрос оценки, для которых гарантировано существование конкурентного равновесия: для любой оценки НГБ существуют оценки спроса на единицу, такие, что не существует конкурентного равновесия для этих оценок спроса на единицу в сочетании с данной оценкой НГБ.^[8]

Конкурентное равновесие и эффективность распределения

Посредством фундаментальные теоремы экономики благосостояния, любое выделение CE равно Парето эффективный, и любое эффективное распределение может быть устойчивым благодаря конкурентному равновесию. Кроме того, Теоремы Вариана, распределение CE, в котором все агенты имеют одинаковый доход, также без зависти.

В условиях конкурентного равновесия ценность, которую общество придает благу, эквивалентна стоимости ресурсов, отданных на его производство (предельная выгода равно предельная стоимость ). Это гарантирует эффективность распределения ресурсов: дополнительная ценность, которую общество придает другой единице блага, равна той ценности, которую общество должно отдать в ресурсах для ее производства.^[9]

Обратите внимание, что микроэкономический анализ не предполагает дополнительной полезности и не предполагает каких-либо межличностных компромиссов полезности. Следовательно, эффективность относится к отсутствию Улучшения Парето. Он никоим образом не высказывает мнение о справедливости распределения (в смысле справедливое распределение благ или же беспристрастность ). Эффективным равновесием может быть такое равновесие, при котором у одного игрока есть все товары, а у других игроков их нет (в крайнем случае), что эффективно в том смысле, что нельзя найти улучшение Парето, что заставляет всех игроков (включая один со всем в данном случае) лучше (для строгого улучшения по Парето) или не хуже.

Теоремы благосостояния для неделимого распределения предметов

В случае неделимых предметов у нас есть следующие сильные версии двух теоремы благосостояния:^[2]

1. Любое конкурентное равновесие максимизирует общественное благосостояние (сумму полезностей) не только для всех реалистичных распределений предметов, но и для всех. дробный присвоения предметов. То есть, даже если бы мы могли назначать доли элемента разным людям, мы не могли бы добиться большего, чем конкурентное равновесие, в котором назначаются только целые элементы.
2. Если есть интегральное назначение (без дробных назначений), которое максимизирует общественное благосостояние, то с этим назначением существует конкурентное равновесие.

Поиск равновесия

В случае неделимого назначения предметов, когда полезными функциями всех агентов являются GS (и, таким образом, равновесие существует ), можно найти конкурентное равновесие, используя восходящий аукцион. На аукционе по возрастанию аукционист публикует вектор цен, изначально равный нулю, и покупатели объявляют свой любимый набор по этим ценам. Если каждый предмет желает не более одного участника торгов, предметы делятся, и аукцион заканчивается. В случае избыточного спроса на один или несколько предметов аукционист увеличивает цену на предмет избыточного спроса на небольшую сумму (например, на доллар), и покупатели снова делают ставки.

В литературе было предложено несколько различных механизмов восходящего аукциона.^[3][7][10] Такие механизмы часто называют Вальрасовский аукцион, Вальрасианское прикосновение или же Английский аукцион.

Смотрите также

• Цены без зависти - ослабление вальрасовского равновесия, при котором некоторые элементы могут оставаться нераспределенными.
• Рынок Фишера - упрощенная модель рынка с одним продавцом и множеством покупателей, в которой можно эффективно рассчитать CE.
• Эффективность распределения ресурсов
• Экономическое равновесие
• Теория общего равновесия
• Вальрасовский аукцион

Рекомендации

1. К. Эрроу, «Расширение основных теорем классической экономики благосостояния» (1951); Дж. Дебре, «Коэффициент использования ресурсов» (1951).
2. Лиад Блюмрозен и Ноам Нисам (2007). «Комбинаторные аукционы / Вальрасовское равновесие». В нисане - Ноам; Roughgarden, Тим; Тардос, Ева; Вазирани, Виджай (ред.). Алгоритмическая теория игр (PDF). С. 277–279. ISBN  978-0521872829.
3. Лиад Блюмрозен и Ноам Нисам (2007). «Комбинаторные аукционы / Восходящие аукционы». В нисане - Ноам; Roughgarden, Тим; Тардос, Ева; Вазирани, Виджай (ред.). Алгоритмическая теория игр (PDF). С. 289–294. ISBN  978-0521872829.
4. Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN  0-393-95735-7.
5. Хасидим, Авинатан; Каплан, Хаим; Мансур, Ишай; Нисан, Ноам (2011). «Неценовые равновесия на рынках дискретных товаров». Материалы 12-й конференции ACM по электронной коммерции - EC '11. п. 295. arXiv:1103.3950. Дои:10.1145/1993574.1993619. ISBN  9781450302616.
6. Термин введен по адресу: Kelso, A. S .; Кроуфорд, В. П. (1982). «Подбор должностей, формирование коалиции и валовые заменители». Econometrica. 50 (6): 1483. Дои:10.2307/1913392. JSTOR  1913392.
7. Залив.; Стаккетти, Э. (2000). «Английский аукцион дифференцированных товаров». Журнал экономической теории. 92: 66–95. Дои:10.1006 / jeth.1999.2580.
8. Залив.; Стаккетти, Э. (1999). «Вальрасовское равновесие с валовыми заменителями». Журнал экономической теории. 87: 95–124. Дои:10.1006 / jeth.1999.2531.
9. Каллан, С.Дж. и Томас, Дж. М. (2007). «Моделирование рыночного процесса: обзор основ», глава 2 в Экологическая экономика и менеджмент: теория, политика и приложения, 4-е изд., Thompson Southwestern, Mason, OH, USA
10. Бен-Цви, Орен; Лави, Рон; Ньюман, Илан (2013). «Восходящие аукционы и вальрасовское равновесие». arXiv:1301.1153v3 [cs.GT ].

• Рихтер, М. К .; Вонг, К. С. (1999). «Невычислимость конкурентного равновесия». Экономическая теория. 14: 1–27. Дои:10.1007 / s001990050281.

внешняя ссылка

• Конкурентное равновесие, вальрасовское равновесие и вальрасовский аукцион в области экономики Stack Exchange.