Линейная полезность - Linear utility

В экономика и теория потребления, а линейная функция полезности является функцией формы:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\dots w_{m}x_{m}}$

или в векторной форме:

${\displaystyle u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {w}}\cdot {\overrightarrow {x}}}$

куда:

• ${\displaystyle m}$ количество разных товары в экономике.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$ вектор размера ${\displaystyle m}$ что представляет собой пучок. Элемент ${\displaystyle x_{i}}$ представляет собой количество товара ${\displaystyle i}$ в комплекте.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {w}}}$ вектор размера ${\displaystyle m}$ что представляет собой субъективное предпочтения потребителя. Элемент ${\displaystyle w_{i}}$ представляет относительную ценность, которую потребитель приписывает товару ${\displaystyle i}$. Если ${\displaystyle w_{i}=0}$, это означает, что потребитель считает, что товар ${\displaystyle i}$ совершенно бесполезен. Выше ${\displaystyle w_{i}}$ То есть, тем ценнее для потребителя единица данного продукта.

Потребитель с линейной функцией полезности обладает следующими свойствами:

• Предпочтения строго монотонный: наличие большего количества даже одного товара строго увеличивает полезность.
• Предпочтения слабо выпуклый, но не строго выпуклый: сочетание двух эквивалентных связок эквивалентно исходным, но не лучше, чем оно.
• В предельная ставка замещения всех товаров постоянно. За каждые два товара ${\displaystyle i,j}$:

${\displaystyle MRS_{i,j}=w_{i}/w_{j}}$.

• В кривые безразличия бывают прямые (когда товаров два) или гиперплоскости (когда товаров больше).
• Каждый кривая спроса (спрос как функция цены) ступенчатая функция: потребитель хочет купить ноль единиц товара, соотношение полезности / цены которого ниже максимального, и хочет купить как можно больше единиц товара, соотношение полезности / цены которого является максимальным.
• Потребитель считает товар идеальным товары-заменители.

Экономика с линейными коммуникациями

Определить линейная экономика как экономика обмена, в которой все агенты имеют линейные функции полезности. Линейная экономика имеет несколько свойств.

Предположим, что каждый агент ${\displaystyle A}$ имеет первоначальный дар ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{A}}}}$. Это вектор размера ${\displaystyle m}$ в котором элемент ${\displaystyle e_{A,i}}$ представляет собой количество добра ${\displaystyle i}$ который изначально принадлежит агенту ${\displaystyle A}$. Тогда начальная полезность этого агента ${\displaystyle {\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$.

Предположим, что рыночные цены представлены вектором ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ - вектор размера ${\displaystyle m}$ в котором элемент${\displaystyle p_{i}}$ это цена товара ${\displaystyle i}$. Затем бюджет агента ${\displaystyle A}$ является ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$. Пока действует этот вектор цен, агент может позволить себе все и только пакеты. ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$ которые удовлетворяют бюджетное ограничение: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$.

Конкурентное равновесие

А конкурентное равновесие - вектор цен и распределение, при котором удовлетворяются потребности всех агентов (спрос на каждый товар равен его предложению). В линейной экономике он состоит из вектора цен ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ и выделение ${\displaystyle X}$, давая каждому агенту связку ${\displaystyle {\overrightarrow {x_{A}}}}$ такой, что:

• ${\displaystyle \sum _{A}{\overrightarrow {x_{A}}}=\sum _{A}{\overrightarrow {e_{A}}}}$ (общая сумма всех товаров такая же, как и при первоначальном распределении; товары не производятся и не уничтожаются).
• Для каждого агента ${\displaystyle A}$, его размещение ${\displaystyle {\overrightarrow {x_{A}}}}$ максимизирует полезность агента, ${\displaystyle {\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {x}}}$при условии бюджетное ограничение ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$.

В состоянии равновесия каждый агент имеет только те товары, для которых его отношение полезности к цене слабо максимальное. Т.е. если агент ${\displaystyle A}$ в силе ${\displaystyle i}$ в равновесии, то для всех остальных благ ${\displaystyle j}$:

${\displaystyle w_{A,i}/p_{i}\geq w_{A,j}/p_{j}}$

(в противном случае агент захочет обменять некоторое количество товара ${\displaystyle i}$ с хорошим ${\displaystyle j}$, тем самым нарушая равновесие).

Без ограничения общности можно предположить, что каждое благо желает по крайней мере один агент (в противном случае этот благо можно игнорировать для всех практических целей). Согласно этому предположению, равновесная цена товара должна быть строго положительной (иначе спрос был бы бесконечным).

Наличие конкурентного равновесия

Дэвид Гейл^[1] доказали необходимые и достаточные условия существования конкурентное равновесие в линейной экономике. Он также доказал несколько других свойств линейной экономики.

Множество ${\displaystyle S}$ агентов называется самодостаточный если все члены ${\displaystyle S}$ назначать положительное значение только для товаров, которые принадлежат исключительно членам ${\displaystyle S}$ (другими словами, они присваивают значение ${\displaystyle w_{i}=0}$ к любому продукту ${\displaystyle i}$ который принадлежит участникам за пределами ${\displaystyle S}$). Набор ${\displaystyle S}$ называется сверхсамодостаточный если кто-то в ${\displaystyle S}$ владеет товаром, который не ценится ни одним членом ${\displaystyle S}$ (включая себя). Теорема существования Гейла гласит:

Линейная экономика имеет конкурентное равновесие тогда и только тогда, когда ни один набор агентов не является сверхсамодостаточным.

Подтверждение направления "только если": Предположим, экономика находится в равновесии с ценой ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ и распределение ${\displaystyle x}$. Предполагать ${\displaystyle S}$ самодостаточный набор агентов. Затем все члены ${\displaystyle S}$ торгуют только друг с другом, потому что товары, принадлежащие другим агентам, бесполезны для них. Следовательно, равновесное распределение удовлетворяет:

${\displaystyle \sum _{A\in S}{\overrightarrow {x_{A}}}=\sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}}$.

Каждое равновесное распределение равно Парето эффективный. Это означает, что в равновесном распределении ${\displaystyle x}$, каждый товар принадлежит только агенту, который придает этому товару положительную ценность. По только что упомянутому равенству для каждого товара ${\displaystyle i}$, общая сумма ${\displaystyle i}$ проводится членами ${\displaystyle S}$ в равновесном распределении ${\displaystyle x}$ равно общему количеству ${\displaystyle i}$ проводится членами ${\displaystyle S}$ в первоначальном размещении ${\displaystyle e}$. Следовательно, при первоначальном размещении ${\displaystyle e}$, каждый товар принадлежит члену ${\displaystyle S}$, только если это важно для одного или нескольких членов ${\displaystyle S}$. Следовательно, ${\displaystyle S}$ не является супер-самодостаточным.

Конкурентное равновесие с равными доходами

Конкурентное равновесие с равными доходами (CEEI) это особый вид конкурентного равновесия, в котором бюджет всех агентов одинаков. Т.е. на каждые два агента ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_{A}}}={\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_{B}}}}$

Распределение CEEI важно, потому что оно гарантированно будет без зависти:^[2] связка ${\displaystyle x_{A}}$ дает агенту ${\displaystyle A}$ максимальная полезность среди всех комплектов по той же цене, поэтому, в частности, он дает ему, по крайней мере, такую ​​же полезность, как и комплект ${\displaystyle x_{B}}$.

Одним из способов достижения CEEI является предоставление всем агентам одинаковых начальных ресурсов, т.е. ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {e_{A}}}={\overrightarrow {e_{B}}}}$

(если есть ${\displaystyle n}$ агентов, то каждый агент получает ровно ${\displaystyle 1/n}$ количества каждого товара). При таком распределении никакие подмножества агентов не являются самодостаточными. Следовательно, как следствие теоремы Гейла:

В линейной экономике CEEI существует всегда.

Примеры

Во всех нижеприведенных примерах есть два агента - Алиса и Джордж и два товара - яблоки (x) и гуава (y).

А. Уникальное равновесие: служебные функции:

${\displaystyle u_{A}(x,y)=3x+2y}$,

${\displaystyle u_{G}(x,y)=2x+3y}$.

Общая сумма пожертвований составляет ${\displaystyle T=(6,6)}$. Без ограничения общности мы можем нормализовать вектор цен так, чтобы ${\displaystyle P_{x}=1}$. Какие ценности могут ${\displaystyle P_{y}}$ есть в СЕ? Если ${\displaystyle P_{y}>3/2}$, то оба агента хотят отдать все свои y за x; если ${\displaystyle P_{y}<2/3}$, то оба агента хотят отдать все свои x за y; следовательно, в CE ${\displaystyle 2/3\leq P_{y}\leq 3/2}$. Если ${\displaystyle P_{y}=2/3}$, то Алисе безразлично между x и y, а Джорджу нужен только y. Аналогично, если ${\displaystyle P_{y}=3/2}$, то Джордж безразличен, а Алиса хочет только x. Если ${\displaystyle 2/3<P_{y}<3/2}$, то Алисе требуется только x, а Джорджу - только y. Следовательно, выделение CE должно быть [(6,0); (0,6)]. Вектор цен зависит от первоначального размещения. Например, если начальное распределение равно, [(3,3); (3,3)], то оба агента имеют одинаковый бюджет в CE, поэтому ${\displaystyle P_{y}=P_{x}=1}$. Этот CE по сути уникален: вектор цен можно умножить на постоянный коэффициент, но равновесие CE не изменится.

Б. Нет равновесия: Предположим, Алиса держит яблоки и гуаву, но хочет только яблоки. Джордж держит только гуаву, но хочет и яблок, и гуав. Набор {Алиса} самодостаточен, потому что Алиса считает, что все товары Джорджа бесполезны. Более того, набор {Алиса} супер-самодостаточен, потому что Алиса держит гуавы, которые для нее ничего не значат. Действительно, конкурентного равновесия не существует: независимо от цены Алиса хотела бы отдать все свои гуавы за яблоки, но у Джорджа нет яблок, поэтому ее спрос останется невыполненным.

С. Множество равновесий: Предположим, есть два товара и два агента, оба агента присваивают одинаковую стоимость обоим товарам (например, для них обоих, ${\displaystyle w_{apples}=w_{guavas}=1}$). Затем в состоянии равновесия агенты могут обменять несколько яблок на равное количество гуав, и в результате все равно будет равновесие. Например, если есть равновесие, в котором Алиса держит 4 яблока и 2 гуавы, а Джордж - 5 яблок и 3 гуавы, то ситуация, в которой Алиса имеет 5 яблок и 1 гуаву, а Джордж - 4 яблока и 4 гуавы, также является равновесием.

Но в обоих этих равновесиях общие полезности обоих агентов одинаковы: Алиса имеет полезность 6 в обоих равновесиях, а Джордж имеет полезность 8 в обоих равновесиях. Это не совпадение, как показано в следующем разделе.

Уникальность полезности в конкурентном равновесии

Гейл^[1] доказал, что:

В линейной экономике все агенты безразличны между всеми равновесиями..

Доказательство. Доказательство проводится индукцией по количеству трейдеров. Когда есть только один трейдер, претензия очевидна. Предположим, что есть два или более трейдеров и рассмотрим два состояния равновесия: равновесие X с вектором цен. ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ и распределение ${\displaystyle x}$, и равновесие Y с вектором цен ${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$ и распределение ${\displaystyle y}$. Следует рассмотреть два случая:

а. Векторы цен одинаковы с точностью до константы мультипликатора: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}=C\cdot {\overrightarrow {q}}}$ для некоторой постоянной ${\displaystyle C}$. Это означает, что в обоих состояниях равновесия все агенты имеют один и тот же набор бюджетов (они могут позволить себе одинаковые пакеты). В состоянии равновесия полезность каждого агента - это максимальная полезность пакета в бюджетном наборе; если набор бюджета тот же, то и максимальная полезность в этом наборе.

б. Векторы цен не пропорциональны. Это означает, что цена на одни товары изменилась больше, чем на другие. Определить самый высокий рост цен в качестве:

${\displaystyle M:=\max _{i}{q_{i}/p_{i}}}$

и определить товары с наибольшим подорожанием как те товары, которые испытали максимальное изменение цены (это должно быть надлежащее подмножество всех товаров, поскольку векторы цен не пропорциональны):

${\displaystyle H:=\{i|q_{i}/p_{i}=M\}}$

и определить держатели самого высокого роста цен как те трейдеры, которые держат один или несколько из этих товаров с максимальным изменением цены в Равновесии Y:

${\displaystyle S:=\{A|y_{A,i}>0{\text{ for some }}i\in H\}}$

В состоянии равновесия агенты владеют только товарами, соотношение полезности / цены которых слабо максимальное. Итак, для всех агентов в ${\displaystyle S}$, соотношение полезности / цены всех товаров в ${\displaystyle H}$ слабо максимальна по вектору цен ${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$. Поскольку товары в ${\displaystyle H}$ пережили самый высокий рост цен, когда вектор цен ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ их соотношение полезности / цены строго максимальное. Следовательно, в Равновесии X все агенты в ${\displaystyle S}$ держать Только товары из ${\displaystyle H}$. В равновесии X кто-то должен держать товары, которых нет в ${\displaystyle H}$; следовательно, ${\displaystyle S}$ должно быть правильным подмножеством агентов.

Итак, в равновесии X ${\displaystyle S}$-агенты держат Только ${\displaystyle H}$-товаров, а в равновесии Y, ${\displaystyle S}$-агенты держат все то ${\displaystyle H}$-товары. Это позволяет нам сделать некоторые расчеты бюджета:

С одной стороны, в равновесии X с ценой ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$, то ${\displaystyle S}$-агенты тратят весь свой бюджет на ${\displaystyle H}$-товаров, так:

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}\leq \sum _{i\in H}{p_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}}$

(куда ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{i}}}}$ это общий первоначальный вклад от блага ${\displaystyle i}$).

С другой стороны, в равновесии Y с ценой ${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$, то ${\displaystyle S}$-агенты могут позволить себе все ${\displaystyle H}$-товаров, так:

${\displaystyle {\overrightarrow {q}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}\geq \sum _{i\in H}{q_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}}$

Комбинируя эти уравнения, можно сделать вывод, что в обоих состояниях равновесия ${\displaystyle S}$-агенты торгуют только друг с другом:

${\displaystyle \sum _{A\in S}{y_{A}}=\sum _{A\in S}{x_{A}}=\sum _{A\in S}{e_{A}}}$.

Следовательно, агенты не в ${\displaystyle S}$ также торгуют только друг с другом. Это означает, что равновесие X состоит из двух равновесий: одно, которое включает только ${\displaystyle S}$-агенты и ${\displaystyle H}$-товаров, а другой - только не-${\displaystyle S}$-агенты и не-${\displaystyle H}$-товары. То же самое и с агентом Y. Поскольку ${\displaystyle S}$ является собственным подмножеством агентов, можно применить предположение индукции и теорема доказана.

Расчет конкурентного равновесия

Карнизы^[3] представили алгоритм нахождения конкурентного равновесия за конечное число шагов, когда такое равновесие существует.

Связанные понятия

Линейные служебные функции - это небольшое подмножество Квазилинейная утилита функции.

Товары с линейными полезностями - частный случай товары-заменители.

Предположим, что набор товаров не конечен, а непрерывен. Например, товар - это неоднородный ресурс, такой как земля. Тогда функции полезности не являются функциями конечного числа переменных, а скорее набор функций определено на Борелевские подмножества земли. Естественным обобщением линейной функции полезности для этой модели является функция аддитивного набора. Это обычный случай в теории ярмарка разрезания торта. Расширение результата Гейла на этот параметр дается формулой Теорема Веллера.

При определенных условиях порядковый отношение предпочтений может быть представлена ​​линейной и непрерывной функцией полезности.^[4]

Рекомендации

1. Гейл, Дэвид (1976). «Линейная модель обмена». Журнал математической экономики. 3 (2): 205–209. Дои:10.1016 / 0304-4068 (76) 90029-х.
2. Вариан, Х. Р. (1974). «Справедливость, зависть и эффективность» (PDF). Журнал экономической теории. 9: 63–91. Дои:10.1016/0022-0531(74)90075-1. HDL:1721.1/63490.
3. Карниз, Б. Кёртис (1976). «Конечный алгоритм для линейной модели обмена» (PDF). Журнал математической экономики. 3 (2): 197–203. Дои:10.1016/0304-4068(76)90028-8.
4. Кандел-Аро, Хуан Карлос; Индурейн-Эрасо, Эстебан (1995). «Заметка о линейной полезности». Экономическая теория. 6 (3): 519. Дои:10.1007 / bf01211791.
5. Жафре, Жан-Ив (1989). «Линейная теория полезности для функций убеждений». Письма об исследованиях операций. 8 (2): 107–112. Дои:10.1016/0167-6377(89)90010-2.