Эквивариантная дифференциальная форма - Equivariant differential form

В дифференциальной геометрии эквивариантная дифференциальная форма на коллекторе M действует по Группа Ли грамм это полиномиальное отображение

${\displaystyle \alpha :{\mathfrak {g}}\to \Omega ^{*}(M)}$

из алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$ в пространство дифференциальные формы на M которые эквивариантны; т.е.

${\displaystyle \alpha (\operatorname {Ad} (g)X)=g\alpha (X).}$

Другими словами, эквивариантная дифференциальная форма является инвариантным элементом

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\otimes \Omega ^{*}(M)=\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \Omega ^{*}(M).}$^[1]

Для эквивариантной дифференциальной формы ${\displaystyle \alpha }$, то эквивариантная внешняя производная ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}\alpha }$ из ${\displaystyle \alpha }$ определяется

${\displaystyle (d_{\mathfrak {g}}\alpha )(X)=d(\alpha (X))-i_{X^{\#}}(\alpha (X))}$

куда d обычная внешняя производная и ${\displaystyle i_{X^{\#}}}$ это интерьерный продукт посредством фундаментальное векторное поле создано Икс.Это легко увидеть ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}\circ d_{\mathfrak {g}}=0}$ (используйте тот факт, что производная Ли от ${\displaystyle \alpha (X)}$ вдоль ${\displaystyle X^{\#}}$ равен нулю), а затем полагается

${\displaystyle H_{G}^{*}(X)=\operatorname {ker} d_{\mathfrak {g}}/\operatorname {im} d_{\mathfrak {g}}}$,

который называется эквивариантные когомологии из M (что совпадает с обычными эквивариантными когомологиями, определенными в терминах Строительство Бореля.) Определение принадлежит Х. Картану. Это понятие имеет приложение к эквивариантная теория индекса.

${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$-закрыто или ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$-точные формы называются эквивалентно закрытый или же эквивалентно точный.

Интеграл эквивариантно замкнутой формы может быть вычислен по его ограничению на фиксированную точку с помощью формула локализации.

Рекомендации

1. Доказательство: с ${\displaystyle V=\Omega ^{*}(M)}$, у нас есть: ${\displaystyle \operatorname {Mor} _{G}({\mathfrak {g}},V)=\operatorname {Mor} ({\mathfrak {g}},V)^{G}=(\operatorname {Mor} ({\mathfrak {g}},\mathbb {C} )\otimes V)^{G}.}$ Примечание ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ кольцо многочленов от линейных функционалов от ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$; видеть кольцо полиномиальных функций. Смотрите также https://math.stackexchange.com/q/101453 за комментарий М. Эмертона.

• Берлайн, Николь; Getzler, E .; Вернь, Мишель (2004), Ядра тепла и операторы Дирака, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag