Экспоненциальная последовательность пучков - Exponential sheaf sequence

В математика, то последовательность экспоненциальных пучков фундаментальный короткая точная последовательность из снопы используется в сложная геометрия.

Позволять M быть комплексное многообразие, и писать О_M для пучка голоморфные функции на M. Позволять О_M* - подпучок, состоящий из отличных от нуля голоморфных функций. Это оба пучка абелевы группы. В экспоненциальная функция дает гомоморфизм пучков

${\displaystyle \exp :{\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*},}$

потому что для голоморфной функции ж, ехр (ж) - голоморфная функция, отличная от нуля, а exp (ж + грамм) = ехр (ж) ехр (грамм). Его ядро - пучок 2πяZ из локально постоянные функции на M принимая значения 2πв, с п ан целое число. В последовательность экспоненциальных пучков следовательно является

${\displaystyle 0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0.}$

Экспоненциальное отображение здесь не всегда является сюръективным отображением на сечениях; это можно увидеть, например, когда M это проколотый диск в комплексной плоскости. Экспоненциальная карта является сюръективный на стебли: Учитывая зародыш грамм голоморфной функции в точке п такой, что грамм(п) ≠ 0 можно взять логарифм из грамм в районе п. В длинная точная последовательность из когомологии пучков показывает, что у нас есть точная последовательность

${\displaystyle \cdots \to H^{0}({\mathcal {O}}_{U})\to H^{0}({\mathcal {O}}_{U}^{*})\to H^{1}(2\pi i\,\mathbb {Z} |_{U})\to \cdots }$

для любого открытого набора U из M. Здесь ЧАС⁰ означает просто разделы над U, а когомологии пучков ЧАС¹(2πяZ|_U) это особые когомологии из U.

Можно думать о ЧАС¹(2πяZ|_U) как привязку целого числа к каждому циклу в U. Для каждого раздела О_M*, связывающий гомоморфизм с ЧАС¹(2πяZ|_U) дает номер намотки для каждой петли. Таким образом, этот гомоморфизм является обобщенным номер намотки и измеряет отказ U быть стягиваемый. Другими словами, существует потенциальное топологическое препятствие для взятия Глобальный логарифм не обращающейся в нуль голоморфной функции, что всегда локально возможный.

Еще одним следствием последовательности является точность

${\displaystyle \cdots \to H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})\to H^{2}(2\pi i\,\mathbb {Z} )\to \cdots .}$

Здесь ЧАС¹(О_M*) можно отождествить с Группа Пикард из голоморфные линейные расслоения на M. Соединительный гомоморфизм переводит линейное расслоение в его первое Черн класс.

Рекомендации

• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-05059-9, МИСТЕР  1288523, см. особенно стр. 37 и стр. 139