Exsymmedian - Exsymmedian - Wikipedia

треугольник ${\displaystyle ABC}$
exsymmedians (красный): ${\displaystyle e_{a},e_{b},e_{c}}$
симмедианы (зеленые): ${\displaystyle s_{a},s_{b},s_{c}}$
эксимедианные точки (красные): ${\displaystyle E_{a},E_{b},E_{c}}$

В эксимедианы три строки, связанные с треугольник. Точнее, для данного треугольника эксимедианы являются касательные линии на треугольнике описанный круг через три вершины треугольника. Треугольник, образованный тремя эксимедианами, - это тангенциальный треугольник и его вершины, то есть три пересечения эксимедиан, называются эксимедианные точки.

Для треугольника ${\displaystyle ABC}$ с ${\displaystyle e_{a},e_{b},e_{c}}$ быть эксиммедианами и ${\displaystyle s_{a},s_{b},s_{c}}$ будучи симмедианы через вершины ${\displaystyle A,B,C}$ две эксимедианы и одна симедиана пересекаются в общей точке, то есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{a}&=e_{b}\cap e_{c}\cap s_{a}\\E_{b}&=e_{a}\cap e_{c}\cap s_{b}\\E_{c}&=e_{a}\cap e_{b}\cap s_{c}\end{aligned}}}$

Длина перпендикулярного отрезка прямой, соединяющего сторону треугольника с соответствующей ей эксиммедианной точкой, пропорциональна этой стороне треугольника. В частности, применяются следующие формулы:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{a}&=a\cdot {\frac {2\triangle }{c^{2}+b^{2}-a^{2}}}\\[6pt]k_{b}&=b\cdot {\frac {2\triangle }{c^{2}+a^{2}-b^{2}}}\\[6pt]k_{c}&=c\cdot {\frac {2\triangle }{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}\end{aligned}}}$

Здесь ${\displaystyle \triangle }$ обозначает площадь треугольника ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c}}$ отрезки перпендикулярной линии, соединяющие стороны треугольника ${\displaystyle a,b,c}$ с эксимедианными точками ${\displaystyle E_{a},E_{b},E_{c}}$.

Рекомендации

• Роджер А. Джонсон: Продвинутая евклидова геометрия. Дувр 2007, ISBN  978-0-486-46237-0, стр. 214–215 (первоначально опубликовано в 1929 г. в Houghton Mifflin Company (Бостон) как Современная геометрия).