Функция Фабиуса - Fabius function

График функции Фабиуса на отрезке [0,1].
Расширение функции на неотрицательные действительные числа.

В математике Функция Фабиуса является примером бесконечно дифференцируемая функция это нигде аналитический, найденный Яапом Фабиусом (1966 ). Он также был записан как преобразование Фурье

Бёрге Йессен и Аурел Винтнер (1935 ).

Функция Фабиуса определяется на единичном интервале и задается кумулятивная функция распределения из

где ξп находятся независимый равномерно распределены случайные переменные на единичный интервал.

Эта функция удовлетворяет начальному условию , условие симметрии для и функционально-дифференциальное уравнение для Это следует из того монотонно возрастает для с участием и Есть уникальное расширение ж к действительным числам, которые удовлетворяют тому же уравнению. Это расширение можно определить как ж (Икс) = 0 для Икс ≤ 0, ж (Икс + 1) = 1 − ж (Икс) для 0 ≤ Икс ≤ 1, и ж (Икс + 2р) = −ж (Икс) для 0 ≤ Икс ≤ 2р с участием р положительное целое число. Последовательность интервалов, в которых эта функция является положительной или отрицательной, следует той же схеме, что и Последовательность Туэ – Морса.

Ценности

Функция Фабиуса имеет постоянный ноль для всех неположительных аргументов и принимает рациональные значения при положительных аргументах. диадический рациональный аргументы.

использованная литература

  • Фабиус, Дж. (1966), "Вероятностный пример нигде аналитического C-функция », Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 5 (2): 173–174, Дои:10.1007 / bf00536652, Г-Н  0197656
  • Йессен, Бёрге; Винтнер, Аурел (1935), "Функции распределения и дзета-функция Римана", Пер. Амер. Математика. Soc., 38: 48–88, Дои:10.1090 / S0002-9947-1935-1501802-5, Г-Н  1501802
  • Димитров, Юрий (2006). Полиномиально разделенные решения двудольных самодифференциальных функциональных уравнений (Тезис).
  • Хаугланд, Ян Кристиан (2016). «Оценка функции Фабиуса». arXiv:1609.07999 [math.GM ].
  • Ариас де Рейна, Хуан (2017). «Арифметика функции Фабиуса». arXiv:1702.06487 [math.NT ].
  • Ариас де Рейна, Хуан (2017). «Бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем: определение и свойства». arXiv:1702.05442 [math.CA ]. (английский перевод статьи автора, опубликованной на испанском языке в 1982 г.)
  • Алькаускас, Гедриус ​​(2001), «Серия Дирихле, связанная с последовательностью Туэ-Морзе», препринт.
  • Рвачев В. Л., Рвачев В. А. Неклассические методы теории приближений в краевых задачах // Наукова думка, Киев (1979).