Теорема Фенхеля – Моро - Fenchel–Moreau theorem

Функция, которая не нижний полунепрерывный. По теореме Фенхеля-Моро эта функция не равна своей двусопряженный.

В выпуклый анализ, то Теорема Фенхеля – Моро (названный в честь Вернер Фенчель и Жан Жак Моро ) или же Теорема фенхеля о двусопряжении (или просто теорема о двусопряжении) это теорема который дает необходимые и достаточные условия чтобы функция была равна ее двусопряженный. Это контрастирует с общим свойством, что для любой функции ${\displaystyle f^{**}\leq f}$.^[1][2] Это можно рассматривать как обобщение биполярная теорема.^[1] Он используется в теория двойственности чтобы доказать сильная двойственность (через функция возмущения ).

Заявление

Позволять ${\displaystyle (X,\tau )}$ быть Хаусдорф локально выпуклое пространство, для любого расширенный реальный оценочная функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ следует, что ${\displaystyle f=f^{**}}$ тогда и только тогда, когда верно одно из следующих

1. ${\displaystyle f}$ это правильный, нижний полунепрерывный, и выпуклая функция,
2. ${\displaystyle f\equiv +\infty }$, или же
3. ${\displaystyle f\equiv -\infty }$.^[1][3][4]

Рекомендации

1. Борвейн, Джонатан; Льюис, Адриан (2006). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Springer. С. 76–77. ISBN  9780387295701.
2. Зэлинеску, Константин (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co., Inc., стр. 75–79. ISBN  981-238-067-1. МИСТЕР  1921556.
3. Ханг-Чин Лай; Лай-Жуй Линь (май 1988 г.). "Теорема Фенхеля-Моро для функций множества". Труды Американского математического общества. Американское математическое общество. 103 (1): 85–90. Дои:10.2307/2047532.
4. Сёдзо Коши; Наото Комуро (1983). «Обобщение теоремы Фенхеля – Моро». Proc. Япония Acad. Сер. Математика. Sci.. 59 (5): 178–181.