Функция возмущения - Perturbation function

В математическая оптимизация, то функция возмущения есть ли функция что относится к первобытным и двойные проблемы. Название происходит от того факта, что любая такая функция определяет возмущение исходной задачи. Во многих случаях это принимает форму смещения ограничений.^[1]

В некоторых текстах функция значения называется функцией возмущения, а функция возмущения - функцией бифункция.^[2]

Определение

Учитывая два двойные пары отделенный локально выпуклые пространства ${ Displaystyle влево (Х, Х ^ {*} вправо)}$ и ${ Displaystyle влево (Y, Y ^ {*} вправо)}$ . Тогда с учетом функции ${ displaystyle f: X to mathbb {R} cup {+ infty }}$ , мы можем определить основную задачу как

{ Displaystyle Inf _ {х в X} е (х). ,}

Если есть условия ограничения, их можно встроить в функцию ${ displaystyle f}$ позволяя ${ displaystyle f leftarrow f + I _ { mathrm {constraints}}}$ куда ${ displaystyle I}$ это характеристическая функция. потом ${ displaystyle F: X times Y to mathbb {R} cup {+ infty }}$ это функция возмущения если и только если ${ Displaystyle F (х, 0) = е (х)}$ .^[1]^[3]

Использование в дуальности

В разрыв дуальности - разность правой и левой части неравенства

{ displaystyle sup _ {y ^ {*} in Y ^ {*}} - F ^ {*} (0, y ^ {*}) leq inf _ {x in X} F (x, 0),}

куда ${ displaystyle F ^ {*}}$ это выпуклый сопряженный в обеих переменных.^[3]^[4]

При любом выборе функции возмущения F слабая двойственность держит. Есть ряд условий, выполнение которых подразумевает сильная двойственность.^[3] Например, если F является правильный, совместно выпуклый, нижний полунепрерывный с ${ displaystyle 0 in operatorname {core} ({ Pr} _ {Y} ( operatorname {dom} F))}$ (куда ${ displaystyle operatorname {core}}$ это алгебраический интерьер и ${ displaystyle { Pr} _ {Y}}$ это проекция на Y определяется ${ Displaystyle { Pr} _ {Y} (х, у) = у}$ ) и Икс, Y находятся Пространства фреше тогда сохраняется сильная двойственность.^[1]

Примеры

Лагранжиан

Позволять ${ displaystyle (X, X ^ {*})}$ и ${ displaystyle (Y, Y ^ {*})}$ быть двойственными парами. Учитывая основную проблему (минимизировать ж(Икс)) и связанную с ней функцию возмущения (F(Икс,у)) тогда Лагранжиан ${ displaystyle L: X times Y ^ {*} to mathbb {R} cup {+ infty }}$ отрицательное сопряжение F относительно у (т.е. вогнутый конъюгат). То есть лагранжиан определяется как

{ Displaystyle L (x, y ^ {*}) = inf _ {y in Y} left {F (x, y) -y ^ {*} (y) right }.}

В частности слабая двойственность Уравнение minmax можно показать как

{ displaystyle sup _ {y ^ {*} in Y ^ {*}} - F ^ {*} (0, y ^ {*}) = sup _ {y ^ {*} in Y ^ { *}} inf _ {x in X} L (x, y ^ {*}) leq inf _ {x in X} sup _ {y ^ {*} in Y ^ {*}} L (x, y ^ {*}) = inf _ {x in X} F (x, 0).}

Если основная проблема задается

{ displaystyle inf _ {x: g (x) leq 0} f (x) = inf _ {x in X} { tilde {f}} (x)}

куда ${ displaystyle { tilde {f}} (x) = f (x) + I _ { mathbb {R} _ {+} ^ {d}} (- g (x))}$ . Тогда, если возмущение дается формулой

{ Displaystyle Inf _ {х: г (х) Leq у} е (х)}

то функция возмущения

{ Displaystyle F (x, y) = f (x) + I _ { mathbb {R} _ {+} ^ {d}} (y-g (x)).}

Таким образом, связь с лагранжевой двойственностью можно увидеть как L можно тривиально увидеть

{ displaystyle L (x, y ^ {*}) = { begin {case} f (x) + y ^ {*} (g (x)) & { text {if}} y ^ {*} в mathbb {R} _ {+} ^ {d}, - infty & { text {else}}. end {cases}}}

Двойственность фенхеля

Позволять ${ displaystyle (X, X ^ {*})}$ и ${ displaystyle (Y, Y ^ {*})}$ быть двойственными парами. Предположим, что существует линейная карта ${ displaystyle T: X to Y}$ с сопряженный оператор ${ displaystyle T ^ {*}: от Y ^ {*} до X ^ {*}}$ . Предположим первичный целевая функция ${ displaystyle f (x)}$ (включая ограничения посредством индикаторной функции) можно записать как ${ Displaystyle е (х) = J (х, Tx)}$ такой, что ${ displaystyle J: X times Y to mathbb {R} cup {+ infty }}$ . Тогда функция возмущения определяется выражением

{ Displaystyle F (x, y) = J (x, Tx-y).}

В частности, если основная цель ${ Displaystyle f (x) + g (Tx)}$ тогда функция возмущения определяется выражением ${ Displaystyle F (x, y) = f (x) + g (Tx-y)}$ , что является традиционным определением Двойственность фенхеля.^[5]