Полиномы Фибоначчи - Fibonacci polynomials - Wikipedia
В математика, то Многочлены Фибоначчи площадь полиномиальная последовательность что можно рассматривать как обобщение Числа Фибоначчи. Полиномы, порожденные аналогичным образом из Числа Лукаса называются Полиномы Лукаса.
Определение
Эти Фибоначчи многочлены определяются отношение повторения:[1]
Первые несколько полиномов Фибоначчи:
Многочлены Лукаса используют одно и то же повторение с разными начальными значениями:[2]
Первые несколько полиномов Лукаса:
Числа Фибоначчи и Люка восстанавливаются путем вычисления многочленов в Икс = 1; Числа Пелла восстанавливаются путем оценки Fп в Икс = 2. Степени Fп является п - 1 и степень Lп является п. В обычная производящая функция для последовательностей:[3]
Многочлены могут быть выражены через Последовательности Лукаса в качестве
Идентичности
Как частные случаи последовательностей Люка, многочлены Фибоначчи удовлетворяют ряду тождеств.
Во-первых, они могут быть определены для отрицательных индексов как[4]
Другие личности включают:[4]
Выражения в закрытой форме, похожие на формулу Бине:[4]
куда
решения (в т) из
Связь между многочленами Фибоначчи и стандартными базисными многочленами задается формулой
Например,
Доказательство этого факта дается начиная со страницы 5. Вот.
Комбинаторная интерпретация
Если F(п,k) - коэффициент при Иксk в Fп(Икс), так
тогда F(п,k) - количество способов п−1 на 1 прямоугольник можно выложить плиткой 2 на 1 домино и квадратов 1 на 1 так, чтобы ровно k квадраты используются.[1] Эквивалентно, F(п,k) - количество способов написания п−1 как заказанная сумма включая только 1 и 2, так что 1 используется точно k раз. Например, F (6,3) = 4 и 5 можно записать 4 способами: 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1. , как сумма, включающая только 1 и 2, при этом 1 используется 3 раза. Подсчитав, сколько раз 1 и 2 используются в такой сумме, очевидно, что F(п,k) равно биномиальный коэффициент
когда п и k имеют противоположный паритет. Это дает возможность читать коэффициенты из Треугольник Паскаля как показано справа.
Рекомендации
- ^ а б Бенджамин и Куинн стр. 141
- ^ Бенджамин и Куинн стр. 142
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Многочлен Фибоначчи». MathWorld.
- ^ а б c Springer
- Бенджамин, Артур Т.; Куинн, Дженнифер Дж. (2003). "§9.4 Полином Фибоначчи и Люка". Действительно важные доказательства: искусство комбинаторного доказательства. Математические экспозиции Дольчиани. 27. Математическая ассоциация Америки. п.141. ISBN 978-0-88385-333-7.
- Филиппу, Андреас Н. (2001) [1994], «Многочлены Фибоначчи», Энциклопедия математики, EMS Press
- Филиппу, Андреас Н. (2001) [1994], "Многочлены Лукаса", Энциклопедия математики, EMS Press
- Вайсштейн, Эрик В. "Полином Лукаса". MathWorld.
дальнейшее чтение
- Хоггатт, В.; Бикнелл, Марджори (1973). «Корни многочленов Фибоначчи». Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 11: 271–274. ISSN 0015-0517. МИСТЕР 0332645.
- Hoggatt, V.E .; Лонг, Кальвин Т. (1974). «Свойства делимости обобщенных многочленов Фибоначчи». Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 12: 113. МИСТЕР 0352034.
- Риччи, Паоло Эмилио (1995). «Обобщенные многочлены Люка и многочлены Фибоначчи». Ривиста Математики делла Университета Пармы. V. Ser. 4: 137–146. МИСТЕР 1395332.
- Юань, Йи; Чжан, Вэньпэн (2002). «Некоторые тождества, включающие многочлены Фибоначчи». Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 40 (4): 314. МИСТЕР 1920571.
- Циглер, Иоганн (2003). «q-полиномы Фибоначчи». Ежеквартальный отчет Фибоначчи (41): 31–40. МИСТЕР 1962279.