Метод второго момента первого порядка - First-order second-moment method

В теории вероятностей метод второго момента первого порядка (FOSM), также упоминается как метод среднего значения первого порядка второго момента (MVFOSM), является вероятностным методом определения стохастических моментов функции со случайными входными величинами. Название основано на производном, в котором используется первый заказ Серия Тейлор и первый и вторые моменты входных переменных.^[1]

Приближение

Рассмотрим целевую функцию ${\displaystyle g(x)}$, где входной вектор ${\displaystyle x}$ является реализацией случайного вектора ${\displaystyle X}$ с функция плотности вероятности ${\displaystyle f_{X}(x)}$. В качестве ${\displaystyle X}$ распределяется случайным образом, также ${\displaystyle g}$ распределяется случайным образом. Следуя методу FOSM, среднее значение из ${\displaystyle g}$ приблизительно

${\displaystyle \mu _{g}\approx g(\mu )}$

В отклонение из ${\displaystyle g}$ приблизительно

${\displaystyle \sigma _{g}^{2}\approx \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}$

куда ${\displaystyle n}$ длина / размер ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}}$ является частной производной от ${\displaystyle g}$ в среднем векторе ${\displaystyle \mu }$ с уважением к я-я запись ${\displaystyle x}$. Также доступны более точные аппроксимации второго момента второго порядка. ^[2]

Вывод

Целевая функция аппроксимируется Серия Тейлор в среднем векторе ${\displaystyle \mu }$.

${\displaystyle g(x)=g(\mu )+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}g(\mu )}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})+\cdots }$

Среднее значение ${\displaystyle g}$ дается интегралом

${\displaystyle \mu _{g}=E[g(x)]=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx}$

Подстановка ряда Тейлора первого порядка дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{g}&\approx \int _{-\infty }^{\infty }\left[g(\mu )+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]f_{X}(x)\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }g(\mu )f_{X}(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx\\&=g(\mu )\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx} _{1}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx} _{0}\\&=g(\mu ).\end{aligned}}}$

Дисперсия ${\displaystyle g}$ дается интегралом

${\displaystyle \sigma _{g}^{2}=E([g(x)-\mu _{g}]^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }[g(x)-\mu _{g}]^{2}f_{X}(x)\,dx.}$

Согласно вычислительной формуле для дисперсии это можно записать как

${\displaystyle \sigma _{g}^{2}=E([g(x)-\mu _{g}]^{2})=E(g(x)^{2})-\mu _{g}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}}$

Вставка рядов Тейлора дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{g}^{2}&\approx \int _{-\infty }^{\infty }\left[g(\mu )+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left\{g(\mu )^{2}+2g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})+\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]^{2}\right\}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }g(\mu )^{2}f_{X}(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }2\,g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx\\&{}\quad {}+\int _{-\infty }^{\infty }\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=g_{\mu }^{2}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx} _{1}+2g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx} _{0}\\&{}\quad {}+\int _{-\infty }^{\infty }\left[\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})\right]f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\underbrace {g(\mu )^{2}} _{\mu _{g}^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})f(x)\,dx} _{\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}-\mu _{g}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}}$

Подходы высшего порядка

Введены следующие сокращения.

${\displaystyle g_{\mu }=g(\mu ),\quad g_{,i}={\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}},\quad g_{,ij}={\frac {\partial ^{2}g(\mu )}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}},\quad \mu _{i,j}=E[(x_{i}-\mu _{i})^{j}]}$

Далее элементы случайного вектора ${\displaystyle X}$ считаются независимыми. Учитывая также члены второго порядка разложения Тейлора, приближение среднего значения дается выражением

${\displaystyle \mu _{g}\approx g_{\mu }+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}\;\mu _{i,2}}$

Второе приближение дисперсии дается выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{g}^{2}&\approx g_{\mu }^{2}+\sum _{i=1}^{n}g_{,i}^{2}\,\mu _{i,2}+{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}^{2}\,\mu _{i,4}+g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}\,\mu _{i,2}+\sum _{i=1}^{n}g_{,i}\,g_{,ii}\,\mu _{i,3}\\&{}\quad {}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}g_{,ii}\,g_{,jj}\,\mu _{i,2}\,\mu _{j,2}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}g_{,ij}^{2}\,\mu _{i,2}\,\mu _{j,2}-\mu _{g}^{2}\end{aligned}}}$

В перекос из ${\displaystyle g}$ можно определить с третьего центральный момент ${\displaystyle \mu _{g,3}}$При рассмотрении только линейных членов ряда Тейлора, но моментов более высокого порядка, третий центральный момент аппроксимируется формулой

${\displaystyle \mu _{g,3}\approx \sum _{i=1}^{n}g_{,i}^{3}\;\mu _{i,3}}$

По поводу приближений второго порядка третьего центрального момента, а также для вывода всех приближений более высокого порядка см. Приложение D к работе.^[3]Учет квадратичных членов ряда Тейлора и третьих моментов входных переменных называется методом третьего момента второго порядка.^[4] Однако полный подход дисперсии второго порядка (данный выше) также включает моменты четвертого порядка входных параметров,^[5] полный подход второго порядка для моментов асимметрии 6-го порядка,^[3][6] и полный подход второго порядка эксцесса до моментов 8-го порядка.^[6]

Практическое применение

В литературе есть несколько примеров, когда метод FOSM используется для оценки стохастического распределения нагрузки при продольном изгибе аксиально сжатых конструкций (см., Например, Ref.^{[7][8][9][10]}). Для конструкций, которые очень чувствительны к отклонениям от идеальной конструкции (например, цилиндрические оболочки), было предложено использовать метод FOSM в качестве подхода к проектированию. Часто применимость проверяется сравнением с Моделирование Монте-Карло. Обсуждаются и проверяются два всеобъемлющих примера применения полного метода второго порядка, специально ориентированного на рост усталостной трещины в металлической железнодорожной оси, с помощью моделирования Монте-Карло в работе.^[5][6]

В инженерной практике целевая функция часто задается не как аналитическое выражение, а, например, в результате заключительный элемент моделирование. Тогда производные целевой функции необходимо оценить с помощью центральные различия метод. Количество оценок целевой функции равно ${\displaystyle 2n+1}$. В зависимости от количества случайных величин это может означать значительно меньшее количество оценок, чем выполнение моделирования Монте-Карло. Однако при использовании метода FOSM в качестве процедуры проектирования должна быть оценена нижняя граница, которая фактически не дается подходом FOSM. Следовательно, для распределения целевой функции необходимо принять тип распределения с учетом приближенного среднего значения и стандартного отклонения.

Рекомендации

1. А. Халдар и С. Махадеван, Вероятность, надежность и статистические методы в инженерном проектировании. John Wiley & Sons Нью-Йорк / Чичестер, Великобритания, 2000.
2. Crespo, L.G .; Кенни, С. П. (2005). «Моментный подход первого и второго порядка к вероятностному синтезу управления». {AIAA} Конференция по навигации и управлению.
3. Б. Кригесманн, «Вероятностный расчет конструкций из тонкостенных волоконных композитов», Mitteilungen des Instituts für Statik und Dynamik der Leibniz Universität Hannover 15/2012, ISSN  1862-4650, Готфрид Вильгельм Лейбниц Университет Ганновера, Ганновер, Германия, 2012, PDF; 10,2 МБ.
4. Ю. Дж. Хонг, Дж. Син и Дж. Б. Ван, "Метод третьего момента второго порядка для расчета надежности усталости", Int. J. Press. Vessels Pip., 76 (8), стр. 567–570, 1999.
5. Маллор К., Кальво С., Нуньес Дж. Л., Родригес-Баррачина Р., Ландаберия А. «Полный подход второго порядка для прогнозирования ожидаемого значения и дисперсии вероятностного срока службы усталостных трещин». Международный журнал усталости 2020; 133: 105454. https://doi.org/10.1016/j.ijfatigue.2019.105454.
6. Маллор К., Кальво С., Нуньес Дж. Л., Родригес-Баррачина Р., Ландаберия А. «Распространение неопределенности с использованием полного подхода второго порядка для вероятностного роста усталостной трещины». Международный журнал численных методов расчета и проектирования в инженерии (RIMNI) 2020: 11. https://doi.org/10.23967/j.rimni.2020.07.004.
7. I. Elishakoff, S. van Manen, PG Vermeulen и J. Arbocz, "Анализ второго момента первого порядка потери устойчивости оболочек со случайными дефектами", AIAA J., 25 (8), стр. 1113–1117, 1987 .
8. И. Елисаков, "Неопределенная устойчивость: ее прошлое, настоящее и будущее", Int. J. Solids Struct., 37 (46–47), стр. 6869–6889, ноябрь 2000 г.
9. J. Arbocz и M. W. Hilburger, "К вероятностному критерию предварительного проектирования для критических составных оболочек изгиба", AIAA J., 43 (8), стр 1823–1827, 2005.
10. Б. Кригесманн, Р. Рольфес, К. Хюне и А. Клинг, "Процедура быстрого вероятностного расчета для осесо сжатых композитных цилиндров", Compos. Структура, 93. С. 3140–3149, 2011.