Кривая рыбы - Fish curve

Кривая рыбы с параметром масштаба а = 1

А кривая рыбы это эллипс отрицательная кривая педали который имеет форму рыбы. На кривой рыбы точка педали находится в фокус для частного случая квадрата эксцентриситет ${displaystyle e^{2}={ frac {1}{2}}}$.^[1] В параметрические уравнения для кривой рыбы соответствуют кривым связанных эллипс.

Уравнения

Для эллипса с параметрическими уравнениями

${displaystyle extstyle {x=acos(t),qquad y={frac {asin(t)}{sqrt {2}}}},}$

соответствующая кривая рыбы имеет параметрические уравнения

${displaystyle extstyle {x=acos(t)-{frac {asin ^{2}(t)}{sqrt {2}}},qquad y=acos(t)sin(t)}.}$

Когда происхождение переведено к узлу (точке пересечения), Декартово уравнение можно записать как:^[2][3]

${displaystyle left(2x^{2}+y^{2}ight)^{2}-2{sqrt {2}}axleft(2x^{2}-3y^{2}ight)+2a^{2}left(y^{2}-x^{2}ight)=0.}$

Площадь

Площадь кривой рыбы определяется как:

${displaystyle A={frac {1}{2}}left|int {left(xy'-yx'ight)dt}ight|}$

${displaystyle ={frac {1}{8}}a^{2}left|int {left[3cos(t)+cos(3t)+2{sqrt {2}}sin ^{2}(t)ight]dt}ight|}$,

поэтому площадь хвоста и головы определяется по формуле:

${displaystyle A_{mathrm {Tail} }=left({frac {2}{3}}-{frac {pi }{4{sqrt {2}}}}ight)a^{2}}$

${displaystyle A_{mathrm {Head} }=left({frac {2}{3}}+{frac {pi }{4{sqrt {2}}}}ight)a^{2}}$

давая общую площадь для рыбы как:

${displaystyle A={frac {4}{3}}a^{2}}$.^[2]

Кривизна, длина дуги и тангенциальный угол

Длина дуги кривой определяется выражением ${displaystyle a{sqrt {2}}left({frac {1}{2}}pi +3ight)}$.

Кривизна кривой рыбы определяется по формуле:

${displaystyle K(t)={frac {2{sqrt {2}}+3cos(t)-cos(3t)}{2aleft[cos ^{4}t+sin ^{2}t+sin ^{4}t+{sqrt {2}}sin(t)sin(2t)ight]^{frac {3}{2}}}}}$,

а тангенциальный угол определяется как:${displaystyle phi (t)=pi -arg left({sqrt {2}}-1-{frac {2}{left(1+{sqrt {2}}ight)e^{it}-1}}ight)}$

куда ${displaystyle arg(z)}$ это сложный аргумент.

Рекомендации

1. Локвуд, Э. Х. (1957). «Отрицательная педальная кривая эллипса относительно фокуса». Математика. Газ. 41: 254–257.
2. Вайсштейн, Эрик В. "Рыбная кривая". MathWorld. Получено 23 мая, 2010.
3. Локвуд, Э. Х. (1967). Книга кривых. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. п. 157.