Течение жидкости через пористую среду - Fluid flow through porous media

В механика жидкости, поток жидкости через пористую среду это способ поведения жидкостей при прохождении через пористая среда, например, губка или дерево, или когда фильтрация воду, используя песок или другой пористый материал. Как обычно наблюдается, некоторая жидкость протекает через среду, в то время как некоторая масса жидкости хранится в порах, имеющихся в среде.

Применимое право

Символ	Описание
${\displaystyle Q}$	Объемный расход [м^3/ с]
${\displaystyle k}$	Проницаемость пористой среды [м^2]. Проницаемость зависит от типа материала и также зависит от стресс, температура и т. д.
${\displaystyle \mu }$	Жидкость вязкость [Па.с]
${\displaystyle A}$	Площадь поперечного сечения пористой среды [м^2]
${\displaystyle (p_{b}-p_{a})}$	Падение давления в среде [Па]
${\displaystyle L}$	Длина образца [м]

Основной закон, регулирующий течение жидкости через пористую среду: Закон Дарси, который сформулировал французский инженер-строитель Генри Дарси в 1856 г. на основе своих опытов с вертикальной водой фильтрация через песчаные пласты.^[1]

${\displaystyle Q={\frac {-kA}{\mu }}{\frac {(p_{b}-p_{a})}{L}}}$

Для переходных процессов, в которых поток изменяется от точки к точке, следующая дифференциальная форма Закон Дарси используется.

${\displaystyle Q={\frac {-kA}{\mu }}\left({\frac {dp}{dx}}\right)}$

Закон Дарси применим для ситуации, когда пористый материал уже насыщен жидкостью. Для расчета капиллярной скорости впитывания жидкости в изначально сухую среду Washburn's или же Bosanquet's используются уравнения.

Сохранение массы

Сохранение массы Объем жидкости через пористую среду включает в себя основной принцип, согласно которому поток массы минус поток массы наружу равен увеличению количества, накопленного средой.^[2] Это означает, что общая масса жидкости всегда сохраняется. В математической форме, учитывая период времени от ${\displaystyle t}$ к ${\displaystyle \Delta t}$, длина пористой среды от ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle \Delta x}$ и ${\displaystyle m}$ будучи массой, хранящейся в среде, мы имеем

${\displaystyle [A\rho (x)q(x)-A\rho (x+\Delta x)q(x+\Delta x)]\Delta t=m(t+\Delta t)-m(t).}$

Кроме того, у нас есть ${\displaystyle m=\rho V_{p}}$, куда ${\displaystyle V_{p}}$ объем пор среды между ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle x+\Delta x}$ и ${\displaystyle \rho }$ это плотность. Так ${\displaystyle m=\rho V_{p}=\rho \phi V=\rho \phi A\Delta x,}$ куда ${\displaystyle \phi }$ это пористость. Разделив обе стороны на ${\displaystyle A\Delta x}$, пока ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$, для одномерного линейного течения в пористой среде имеем соотношение

${\displaystyle {\frac {-d(\rho q)}{dx}}={\frac {d(\rho \phi )}{dt}}~~~~(i)}$

В трех измерениях уравнение можно записать как

${\displaystyle {\frac {d(\rho q)}{dx}}+{\frac {d(\rho q)}{dy}}+{\frac {d(\rho q)}{dz}}={\frac {-d(\rho \phi )}{dt}}}$

Математическая операция в левой части этого уравнения известна как дивергенция ${\displaystyle \rho q}$, и представляет собой скорость, с которой жидкость отклоняется из заданной области на единицу объема.

Уравнение диффузии

Тип материала	Сжимаемость (м^2N^−1 или Па^−1)[3]
Глина	10^−6 - 10^−8
Песок	10^−7 - 10^−9
Гравий	10^−8 - 10^−10
Сочлененная скала	10^−8 - 10^−10
Звуковой рок	10^−9 - 10^−11
Вода (бета)	4,4 х 10^−10

Используя правило произведения (и правило цепи) в правой части приведенного выше уравнения сохранения массы (i),

${\displaystyle {\frac {d(\rho \phi )}{dt}}=\rho {\frac {d\phi }{dt}}+\phi {\frac {d\rho }{dt}}=\rho {\frac {d\phi }{dP}}{\frac {dP}{dt}}+\phi {\frac {d\rho }{dP}}{\frac {dP}{dt}}=\rho \phi \left[{\frac {1}{\phi }}{\frac {d\phi }{dP}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dP}}\right]\quad {\frac {dP}{dt}}=\rho \phi [c_{\phi }+c_{f}]{\frac {dP}{dt}}~~~~(ii)}$

Здесь, ${\displaystyle c_{f}}$ = сжимаемость жидкости и ${\displaystyle c_{\phi }}$ = сжимаемость пористой среды.^[4] Теперь рассмотрим левую часть уравнения сохранения массы, которая определяется выражением Закон Дарси в качестве

${\displaystyle {\frac {-d(\rho q)}{dx}}={\frac {-d}{dx}}\left[{\frac {-\rho k}{\mu }}{\frac {dP}{dx}}\right]\quad ={\frac {k}{\mu }}\left[\rho {\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+{\frac {d\rho }{dP}}{\frac {dP}{dx}}{\frac {dP}{dx}}\right]\quad ={\frac {\rho k}{\mu }}\left[{\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dP}}\right)\left({\frac {dP}{dx}}\right)^{2}\right]\quad ={\frac {\rho k}{\mu }}\left[{\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+c_{f}\left({\frac {dP}{dx}}\right)^{2}\right]\quad ~~~~(iii)}$

Приравнивая результаты, полученные в ${\displaystyle (ii)}$ & ${\displaystyle (iii)}$, мы получили

${\displaystyle {\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+c_{f}\left({\frac {dP}{dx}}\right)^{2}={\frac {\phi \mu (c_{f}+c_{\phi })}{k}}{\frac {dP}{dt}}}$

Второй член в левой части обычно пренебрежимо мал, и мы получаем уравнение диффузии в одномерном измерении как

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}={\frac {k}{\phi \mu c_{t}}}{\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}}$

куда ${\displaystyle c_{t}=c_{f}+c_{\phi }}$.^[5]

Рекомендации

1. Уитакер, Стивен (1986). «Течение в пористой среде I: теоретический вывод Дарси.закон ". Транспорт в пористой среде. 1: 3–25. Дои:10.1007 / BF01036523.
2. Медведь, Джейкоб (26.02.2013). Динамика жидкостей в пористых средах. ISBN  9780486131801.
3. https://eng.ucmerced.edu/people/jfisher/.../EnveEss110_20081110.pdf^{[постоянная мертвая ссылка ]}
4. Охирхян, Питер. «Установившееся течение сжимаемой жидкости в пористой среде».
5. Циммерман, д-р Р.В. «Течение в пористой среде».

внешняя ссылка

• Основы течения жидкости в пористых средах