Тестирование амплитудной чувствительности Фурье - Fourier amplitude sensitivity testing

Тестирование амплитудной чувствительности Фурье (FAST) это глобальный Анализ чувствительности метод. Значение чувствительности определяется на основе условные отклонения которые указывают на индивидуальное или совместное влияние неопределенных входных данных на выход.

FAST сначала представляет условные отклонения через коэффициенты из нескольких Ряд Фурье расширение выходной функции. Тогда эргодическая теорема применяется для преобразования многомерного интеграла в одномерный интеграл при оценке коэффициентов Фурье. Для выполнения преобразования требуется набор несоизмеримых частот, и большинство частот являются иррациональными. Для облегчения вычислений вместо иррациональных частот выбран набор целочисленных частот. Целочисленные частоты не являются строго несоразмерными, что приводит к ошибке между многомерным интегралом и преобразованным одномерным интегралом. Однако целочисленные частоты могут быть выбраны несоизмеримыми ни в каком порядке, чтобы можно было контролировать ошибку, удовлетворяя любые теоретические требования к точности. Используя целочисленные частоты в интегральном преобразовании, полученная функция в одномерном интеграле является периодической, и интеграл необходимо вычислять только за один период. Далее, поскольку непрерывная интегральная функция может быть восстановлена ​​из набора конечных точек выборки, если Теорема выборки Найквиста – Шеннона выполняется, одномерный интеграл вычисляется из суммирования значений функции в сгенерированных точках выборки.

FAST более эффективен для расчета чувствительности, чем другие методы анализа глобальной чувствительности на основе дисперсии. Интеграция Монте-Карло. Однако расчет FAST обычно ограничивается чувствительностью, относящейся к «главному эффекту» или «общему эффекту».

История

Метод FAST возник в 1973 году при изучении связанных систем химических реакций.^[1][2] а подробный анализ ошибки вычислений был представлен позже в 1975 году.^[3] В исходном методе рассчитывались только индексы чувствительности первого порядка, относящиеся к «главному эффекту». А FORTRAN компьютерная программа, способная анализировать системы алгебраических или дифференциальных уравнений, была опубликована в 1982 году.^[4] В 1990-е годы связь между индексами чувствительности FAST и Соболя, рассчитанными по Моделирование Монте-Карло было выявлено в общих рамках ANOVA -подобное разложение ^[5] и был разработан расширенный метод FAST, позволяющий рассчитывать индексы чувствительности, относящиеся к «общему эффекту».^[6]

Фонд

Чувствительность на основе дисперсии

Основная статья: Анализ чувствительности на основе дисперсии

Индексы чувствительности метода, основанного на дисперсии, вычисляются с помощью ANOVA-подобного разложения функции для анализа. Предположим, что функция ${\displaystyle Y=f\left(\mathbf {X} \right)=f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)}$ куда ${\displaystyle 0\leq X_{j}\leq 1,j=1,\dots ,n}$. Разложение типа ANOVA:

${\displaystyle f\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=f_{0}+\sum _{j=1}^{n}f_{j}\left(X_{j}\right)+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{n}f_{jk}\left(X_{j},X_{k}\right)+\cdots +f_{12\dots n}}$

при условии, что ${\displaystyle f_{0}}$ - постоянная величина, и интеграл от каждого члена в суммах равен нулю, т. е.

${\displaystyle \int _{0}^{1}f_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}\left(X_{j_{1}},X_{j_{2}},\dots ,X_{j_{r}}\right)dX_{j_{k}}=0,{\text{ }}1\leq k\leq r.}$

Условная дисперсия, которая характеризует вклад каждого члена в общую дисперсию ${\displaystyle f\left(\mathbf {X} \right)}$ является

${\displaystyle V_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{2}\left(X_{j_{1}},X_{j_{2}},\dots ,X_{j_{r}}\right)dX_{j_{1}}dX_{j_{2}}\dots dX_{j_{r}}.}$

Общая дисперсия - это сумма всех условных дисперсий.

${\displaystyle V=\sum _{j=1}^{n}V_{j}+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{n}V_{jk}+\cdots +V_{12\dots n}.}$

Индекс чувствительности определяется как нормализованная условная дисперсия как

${\displaystyle S_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}={\frac {V_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}}{V}}}$

особенно чувствительность первого порядка

${\displaystyle S_{j}={\frac {V_{j}}{V}}}$

что указывает на основной эффект ввода ${\displaystyle X_{j}}$.

Кратные ряды Фурье

Один из способов вычисления разложения, подобного ANOVA, основан на использовании нескольких рядов Фурье. Функция ${\displaystyle f\left(\mathbf {X} \right)}$ в единичном гиперкубе может быть расширен до многократно периодической функции, а разложение в кратный ряд Фурье имеет вид

${\displaystyle f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{m_{n}=-\infty }^{\infty }C_{m_{1}m_{2}...m_{n}}\exp {\bigl [}2\pi i\left(m_{1}X_{1}+m_{2}X_{2}+\cdots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]},{\text{ for integers }}m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}}$

где коэффициент Фурье равен

${\displaystyle C_{m_{1}m_{2}...m_{n}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\exp {\bigl [}-2\pi i\left(m_{1}X_{1}+m_{2}X_{2}+\dots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]}.}$

Разложение типа ANOVA:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&=C_{00\dots 0}\\f_{j}&=\sum _{m_{j}\neq 0}C_{0\dots m_{j}\dots 0}\exp {\bigl [}2\pi im_{j}X_{j}{\bigr ]}\\f_{jk}&=\sum _{m_{j}\neq 0}\sum _{m_{k}\neq 0}C_{0\dots m_{j}\dots m_{k}\dots 0}\exp {\bigl [}2\pi i\left(m_{j}X_{j}+m_{k}X_{k}\right){\bigr ]}\\f_{12\dots n}&=\sum _{m_{1}\neq 0}\sum _{m_{2}\neq 0}\cdots \sum _{m_{n}\neq 0}C_{m_{1}m_{2}\dots m_{n}}\exp {\bigl [}2\pi i\left(m_{1}X_{1}+m_{2}X_{2}+\cdots +m_{n}X_{n}\right){\bigr ]}.\end{aligned}}}$

Условная дисперсия первого порядка равна

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{j}&=\int _{0}^{1}f_{j}^{2}\left(X_{j}\right)dX_{j}\\&=\sum _{m_{j}\neq 0}\left|C_{0\dots m_{j}\dots 0}\right|^{2}\\&=2\sum _{m_{j}=1}^{\infty }\left(A_{m_{j}}^{2}+B_{m_{j}}^{2}\right)\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle A_{m_{j}}}$ и ${\displaystyle B_{m_{j}}}$ реальная и мнимая часть ${\displaystyle C_{0\dots m_{j}\dots 0}}$ соответственно

${\displaystyle A_{m_{j}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\cos \left(2\pi m_{j}X_{j}\right)dX_{1}dX_{2}\dots dX_{n}}$

${\displaystyle B_{m_{j}}=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)\sin \left(2\pi m_{j}X_{j}\right)dX_{1}dX_{2}\dots dX_{n}}$

Эргодическая теорема

Для вычисления коэффициентов Фурье необходимо вычислить многомерный интеграл. Один из способов оценить этот многомерный интеграл - это преобразовать его в одномерный интеграл, выразив каждый входной параметр как функцию новой независимой переменной. ${\displaystyle s}$, следующее

${\displaystyle X_{j}\left(s\right)={\frac {1}{2\pi }}\left(\omega _{j}s{\text{ mod }}2\pi \right),j=1,2,\dots ,n}$

куда ${\displaystyle \left\{\omega _{j}\right\}}$ представляет собой набор несоизмеримых частот, т.е.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}\omega _{j}=0}$

для целого набора ${\displaystyle \left\{\gamma _{j}\right\}}$ если и только если ${\displaystyle \gamma _{j}=0}$ для каждого ${\displaystyle j}$Тогда коэффициенты Фурье можно вычислить с помощью одномерного интеграла согласно эргодической теореме ^[7]

${\displaystyle A_{m_{j}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\cos {\bigl (}2\pi m_{j}X_{j}\left(s\right){\bigr )}ds}$

${\displaystyle B_{m_{j}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\sin {\bigl (}2\pi m_{j}X_{j}\left(s\right){\bigr )}ds}$

Выполнение

Целочисленные частоты

Максимум одна из несоизмеримых частот ${\displaystyle \left\{\omega _{j}\right\}}$ может быть рациональным, а все остальные - иррациональными. Поскольку числовое значение иррационального числа не может быть точно сохранено в компьютере, при реализации требуется аппроксимация несоизмеримых частот всеми рациональными числами. Без потери общности частоты можно задавать как целые числа вместо любых рациональных чисел. Набор целых чисел ${\displaystyle \left\{\omega _{j}\right\}}$ примерно несоизмерим с порядком ${\displaystyle M}$ если

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}\omega _{j}\neq 0}$

за

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left|\gamma _{j}\right|\leq M+1}$

куда ${\displaystyle M}$ целое число. Условие точной несоизмеримости - это крайний случай, когда ${\displaystyle M\to \infty }$.

Используя целые частоты, функция в преобразованном одномерном интеграле является периодической, поэтому только интегрирование за период ${\displaystyle 2\pi }$ необходимо. Коэффициенты Фурье можно приблизительно рассчитать как

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{m_{j}}&\approx {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\cos \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds:={\hat {A}}_{m_{j}}\\B_{m_{j}}&\approx {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f{\bigl (}X_{1}\left(s\right),X_{2}\left(s\right),\dots ,X_{n}\left(s\right){\bigr )}\sin \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds:={\hat {B}}_{m_{j}}\end{aligned}}}$

Приближение несоизмеримых частот для конечного ${\displaystyle M}$ приводит к ошибке расхождения между истинными коэффициентами Фурье ${\displaystyle A_{m_{j}}}$, ${\displaystyle B_{m_{j}}}$ и их оценки ${\displaystyle {\hat {A}}_{m_{j}}}$, ${\displaystyle {\hat {B}}_{m_{j}}}$. Чем крупнее заказ ${\displaystyle M}$ Чем меньше ошибка, тем больше вычислительных усилий требуется для вычисления оценок в следующей процедуре. На практике ${\displaystyle M}$ часто устанавливается на 4, и доступна таблица результирующих наборов частот, которые содержат до 50 частот. (McRae et al., 1982).

Кривая поиска

Преобразование, ${\displaystyle X_{j}\left(s\right)={\frac {1}{2\pi }}\left(\omega _{j}s{\text{ mod }}2\pi \right)}$, определяет кривую поиска в пространстве ввода. Если частоты, ${\displaystyle \omega _{j},j=1,\dots ,n}$, несоизмеримы, кривая поиска может проходить через каждую точку во входном пространстве как ${\displaystyle s}$ варьируется от 0 до ${\displaystyle \infty }$ поэтому многомерный интеграл по входному пространству может быть точно преобразован в одномерный интеграл вдоль кривой поиска. Однако, если частоты являются приблизительно несоизмеримыми целыми числами, кривая поиска не может пройти через каждую точку во входном пространстве. На самом деле поиск повторяется, так как функция преобразования периодическая, с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Одномерный интеграл может быть вычислен за один период вместо бесконечного интервала для несоизмеримых частот; Однако ошибка вычислений возникает из-за приближения несоразмерности.

• Кривая поиска
• 

  Кривая поиска в случае ω₁= π и ω₂= 7. Поскольку частоты несоизмеримы, кривая поиска не повторяется и может проходить через каждую точку квадрата.

• 

  Кривая поиска в случае ω₁= 3 и ω₂= 7. Поскольку частоты являются целыми числами, которые приблизительно несоизмеримы, кривая поиска повторяется и не может проходить через каждую точку квадрата.

• 

  Кривая поиска в случае ω₁= 11 и ω₂= 7. Поскольку частоты являются целыми числами, которые приблизительно несоизмеримы, кривая поиска повторяется и не может проходить через каждую точку квадрата.

Отбор проб

Приближенный Фурье можно далее выразить как

${\displaystyle {\hat {A}}_{m_{j}}={\begin{cases}0&m_{j}{\text{ odd}}\\{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}f{\bigl (}\mathbf {X} (s){\bigr )}\cos \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds&m_{j}{\text{ even}}\end{cases}}}$

и

${\displaystyle {\hat {B}}_{m_{j}}={\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}f{\bigl (}\mathbf {X} (s){\bigr )}\sin \left(m_{j}\omega _{j}s\right)ds&m_{j}{\text{ odd}}\\0&m_{j}{\text{ even}}\end{cases}}}$

Ненулевые интегралы могут быть вычислены по точкам выборки.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{m_{j}}&={\frac {1}{2q+1}}\sum _{k=-q}^{q}f{\bigl (}\mathbf {X} (s_{k}){\bigr )}\cos \left(m_{j}\omega _{j}s_{k}\right),m_{j}{\text{ even}}\\{\hat {B}}_{m_{j}}&={\frac {1}{2q+1}}\sum _{k=-q}^{q}f{\bigl (}\mathbf {X} (s_{k}){\bigr )}\sin \left(m_{j}\omega _{j}s_{k}\right),m_{j}{\text{ odd }}\end{aligned}}}$

где единая точка отбора проб в ${\displaystyle \left[-\pi /2,\pi /2\right]}$ является

${\displaystyle s_{k}={\frac {\pi k}{2q+1}},k=-q,\dots ,-1,0,1,\dots ,q.}$

Общее количество точек отбора проб составляет ${\displaystyle 2q+1}$ который должен удовлетворять критерию выборки Найквиста, т.е.

${\displaystyle 2q+1\geq N\omega _{max}+1}$

куда ${\displaystyle \omega _{max}}$ самая большая частота в ${\displaystyle \left\{\omega _{k}\right\}}$ и ${\displaystyle N}$ - максимальный порядок вычисленных коэффициентов Фурье.

Частичная сумма

После вычисления оценочных коэффициентов Фурье условную дисперсию первого порядка можно аппроксимировать следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{j}&=2\sum _{m_{j}=1}^{\infty }\left(A_{m_{j}}^{2}+B_{m_{j}}^{2}\right)\\&\approx 2\sum _{m_{j}=1}^{\infty }\left({\hat {A}}_{m_{j}}^{2}+{\hat {B}}_{m_{j}}^{2}\right)\\&\approx 2\sum _{m_{j}=1}^{2}\left({\hat {A}}_{m_{j}}^{2}+{\hat {B}}_{m_{j}}^{2}\right)\\&=2\left({\hat {A}}_{m_{j}=2}^{2}+{\hat {B}}_{m_{j}=1}^{2}\right)\end{aligned}}}$

где вычисляется только частичная сумма первых двух слагаемых и ${\displaystyle N=2}$ для определения количества точек отбора проб. Использование частичной суммы обычно может дать достаточно хорошее приближение к общей сумме, поскольку члены, соответствующие основной частоте и частотам нижнего порядка, обычно вносят наибольший вклад в общую сумму. Кроме того, коэффициент Фурье при суммировании является лишь оценкой истинного значения, и добавление большего количества членов более высокого порядка не поможет значительно повысить точность вычислений. Поскольку целые частоты не совсем несоизмеримы, существует два целых числа ${\displaystyle m_{j}}$ и ${\displaystyle m_{k}}$ такой, что ${\displaystyle m_{j}\omega _{j}=m_{k}\omega _{k}.}$ Интерференция между двумя частотами может возникнуть, если в суммирование включены члены более высокого порядка.

Аналогично общая дисперсия ${\displaystyle f\left(\mathbf {X} \right)}$ можно рассчитать как

${\displaystyle V\approx {\hat {A}}_{0}\left[f^{2}\right]-{\hat {A}}_{0}\left[f\right]^{2}}$

куда ${\displaystyle {\hat {A}}_{0}\left[f^{2}\right]}$ обозначает оценочный коэффициент Фурье функции ${\displaystyle f^{2}}$ внутри скобки и ${\displaystyle {\hat {A}}_{0}\left[f\right]^{2}}$ - квадрат коэффициента Фурье функции ${\displaystyle f}$. Наконец, чувствительность, относящаяся к основному эффекту ввода, может быть рассчитана путем деления условной дисперсии на общую дисперсию.

Рекомендации

1. Cukier, R.I., C.M. Фортуин, К. Шулер, А.Г.Петчек и Дж.Х. Шабли (1973). Исследование чувствительности связанных реакционных систем к неопределенности скоростных коэффициентов. I Теория. Журнал химической физики, 59, 3873–3878.
2. Шабли, Дж. и К. Шулером (1973). Исследование чувствительности связанных реакционных систем к неопределенности скоростных коэффициентов. II Приложения. Журнал химической физики, 59, 3879–3888.
3. Cukier, R.I., J.H. Шабли, К. Шулером (1975). Исследование чувствительности связанных реакционных систем к неопределенности скоростных коэффициентов. III. Анализ приближений. Журнал химической физики, 63, 1140–1149.
4. Макрей, Дж. Дж., Дж. У. Тилден и Дж. Сайнфельд (1982). Анализ глобальной чувствительности - вычислительная реализация теста амплитудной чувствительности Фурье (FAST). Компьютеры и химическая инженерия, 6, 15–25.
5. Арчер Г.Э.Б., А. Сальтелли и И.М. Соболь (1997). Меры чувствительности, методы, подобные ANOVA, и использование бутстрапа. Журнал статистических вычислений и моделирования, 58, 99–120.
6. Сальтелли А., С. Тарантола и К.П.С. Чан (1999). Количественный независимый от модели метод глобального анализа чувствительности выходных данных модели. Технометрика, 41, 39–56.
7. Вейль, Х. (1938). Среднее движение. Американский журнал математики, 60, 889–896.