Анализ чувствительности на основе дисперсии - Variance-based sensitivity analysis

Анализ чувствительности на основе дисперсии (часто называемый Метод Соболя или же Индексы Соболя, после Илья Михайлович Соболь ) является формой глобального Анализ чувствительности.^[1][2] Работая в вероятностный фреймворк, он разлагает отклонение выходных данных модели или системы на доли, которые можно отнести к входам или наборам входов. Например, для модели с двумя входами и одним выходом можно обнаружить, что 70% дисперсии выхода вызвано дисперсией на первом входе, 20% - дисперсией во втором и 10% - из-за взаимодействия между двумя. Эти проценты напрямую интерпретируются как меры чувствительности. Меры чувствительности на основе дисперсии привлекательны, потому что они измеряют чувствительность по всему входному пространству (т. Е. Это глобальный метод), с которыми можно справиться. нелинейный ответы, и они могут измерить эффект взаимодействия в не-добавка системы.^[3]

Разложение дисперсии

Из черный ящик перспектива, любая модель можно рассматривать как функцию Y=ж(Икс), куда Икс вектор d неопределенные исходные данные модели {Икс₁, Икс₂, ... Икс_d}, и Y - выбранный выходной сигнал одномерной модели (обратите внимание, что этот подход исследует выходные данные скалярной модели, но несколько выходных данных можно проанализировать с помощью нескольких независимых анализов чувствительности). Кроме того, предполагается, что входы независимо и равномерно распределены внутри единичного гиперкуба, т.е. ${\displaystyle X_{i}\in [0,1]}$ за ${\displaystyle i=1,2,...,d}$. Это не влечет за собой потери общности, потому что любое входное пространство может быть преобразовано в этот единичный гиперкуб. ж(Икс) можно разложить следующим образом:^[4]

${\displaystyle Y=f_{0}+\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{i})+\sum _{i<j}^{d}f_{ij}(X_{i},X_{j})+\cdots +f_{1,2,\dots ,d}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$

куда ж₀ является константой и ж_я является функцией Икс_я, ж_ij функция Икс_я и Икс_jи т. д. Условием этого разложения является то, что,

${\displaystyle \int _{0}^{1}f_{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}(X_{i_{1}},X_{i_{2}},\dots ,X_{i_{s}})dX_{k}=0,{\text{ for }}k=i_{1},...,i_{s}}$

т.е. все члены функционального разложения ортогональный. Это приводит к определению условий функциональной декомпозиции в терминах условных ожидаемых значений,

${\displaystyle f_{0}=E(Y)}$

${\displaystyle f_{i}(X_{i})=E(Y|X_{i})-f_{0}}$

${\displaystyle f_{ij}(X_{i},X_{j})=E(Y|X_{i},X_{j})-f_{0}-f_{i}-f_{j}}$

Из чего видно, что ж_я это эффект изменения Икс_я в одиночку (известный как главный эффект из Икс_я), и ж_ij это эффект изменения Икс_я и Икс_j одновременно, дополнительно к эффекту их индивидуальных вариаций. Это известно как второй порядок взаимодействие. Термины высшего порядка имеют аналогичные определения.

Теперь, предполагая, что ж(Икс) является интегрируемый с квадратом, функциональное разложение можно возвести в квадрат и проинтегрировать, чтобы получить

${\displaystyle \int _{0}^{1}f^{2}(\mathbf {X} )d\mathbf {X} -f_{0}^{2}=\sum _{s=1}^{d}\sum _{i_{1}<\dots <i_{s}}^{d}\int f_{i_{1}\dots i_{s}}^{2}dX_{i_{1}}\dots dX_{i_{s}}}$

Обратите внимание, что левая часть равна дисперсии Y, а члены правой части являются членами дисперсии, теперь разложенными по множествам Икс_я. Это в конечном итоге приводит к разложению выражения дисперсии:

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\sum _{i=1}^{d}V_{i}+\sum _{i<j}^{d}V_{ij}+\cdots +V_{12\dots d}}$

куда

${\displaystyle V_{i}=\operatorname {Var} _{X_{i}}\left(E_{{\textbf {X}}_{\sim i}}(Y\mid X_{i})\right)}$,

${\displaystyle V_{ij}=\operatorname {Var} _{X_{ij}}\left(E_{{\textbf {X}}_{\sim ij}}\left(Y\mid X_{i},X_{j}\right)\right)-\operatorname {V} _{i}-\operatorname {V} _{j}}$

и так далее. В Икс_~я обозначение указывает набор всех переменных Кроме Икс_я. Вышеупомянутая декомпозиция дисперсии показывает, как дисперсию выходных данных модели можно разложить на термины, относящиеся к каждому входу, а также эффекты взаимодействия между ними. Вместе все члены составляют общую дисперсию выходных данных модели.

Индексы первого порядка

Прямая мера чувствительности на основе дисперсии S_я, называемый «индексом чувствительности первого порядка» или «индексом основного эффекта», определяется следующим образом:^[4]

${\displaystyle S_{i}={\frac {V_{i}}{\operatorname {Var} (Y)}}}$

Это вклад в дисперсию выпуска основного эффекта Икс_я, поэтому он измеряет влияние различных Икс_я один, но усредненное по вариациям других входных параметров. Он стандартизирован по общей дисперсии для обеспечения дробного вклада. Индексы взаимодействия высших порядков S_ij, S_ijk и так далее, можно получить путем деления других членов разложения дисперсии на Var (Y). Обратите внимание, что это означает, что,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}S_{i}+\sum _{i<j}^{d}S_{ij}+\cdots +S_{12\dots d}=1}$

Индекс общего эффекта

С использованием S_я, S_ij и индексы более высокого порядка, приведенные выше, можно построить картину важности каждой переменной в определении дисперсии выпуска. Однако, когда количество переменных велико, это требует оценки 2^d-1 индексов, которые могут быть слишком требовательными к вычислениям. По этой причине показатель, известный как «индекс общего эффекта» или «индекс общего порядка», S_Ti, используется.^[5] Это измеряет вклад в дисперсию выпуска Икс_я, включая все отклонения, вызванные его взаимодействиями любого порядка с любыми другими входными переменными. Это дается как,

${\displaystyle S_{Ti}={\frac {E_{{\textbf {X}}_{\sim i}}\left(\operatorname {Var} _{X_{i}}(Y\mid \mathbf {X} _{\sim i})\right)}{\operatorname {Var} (Y)}}=1-{\frac {\operatorname {Var} _{{\textbf {X}}_{\sim i}}\left(E_{X_{i}}(Y\mid \mathbf {X} _{\sim i})\right)}{\operatorname {Var} (Y)}}}$

Обратите внимание, что в отличие от S_я,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}S_{Ti}\geq 1}$

из-за того, что эффект взаимодействия между, например, Икс_я и Икс_j засчитывается в обоих S_Ti и S_Tj Фактически, сумма S_Ti будет равняться 1 только тогда, когда модель чисто добавка.

Расчет индексов

Для аналитически поддающихся обработке функций указанные выше индексы могут быть вычислены аналитически путем оценки интегралов в разложении. Однако в подавляющем большинстве случаев они оцениваются - обычно это делается Метод Монте-Карло.

Последовательности отбора проб

Пример построения А_B^я матрицы с d= 3 и N=4.

Подход Монте-Карло предполагает создание последовательности случайно распределенных точек внутри единичного гиперкуба (строго говоря, это будут псевдослучайный ). На практике случайные последовательности обычно заменяют на последовательности с низким расхождением для повышения эффективности оценщиков. Тогда это известно как квази-Монте-Карло метод. Некоторые последовательности с низким расхождением, обычно используемые в анализе чувствительности, включают Последовательность Соболя и Латинский гиперкуб дизайн.

Процедура

Для расчета индексов с помощью (квази) метода Монте-Карло используются следующие шаги:^[1][2]

1. Создать N×2d матрица выборки, т.е. каждая строка является точкой выборки в гиперпространстве 2d размеры. Это должно быть сделано в отношении распределений вероятностей входных переменных.
2. Используйте первый d столбцы матрицы как матрицы А, а остальные d столбцы как матрица B. Это фактически дает два независимых образца N точки в d-мерный единичный гиперкуб.
3. Строить d дальше N×d матрицы А_B^я, за я = 1,2, ..., d, такие что я-й столбец А_B^я равно я-й столбец B, а остальные столбцы из А.
4. В А, B, а d А_B^я матрицы всего указать N(d+2) точки во входном пространстве (по одной для каждой строки). Запустите модель в каждой проектной точке в А, B, и А_B^я матрицы, что в сумме дает N(d+2) оценки модели - соответствующие f (А), f (B) и f (А_B^я) значения.
5. Рассчитайте индексы чувствительности, используя приведенные ниже оценки.

Конечно, точность оценок зависит от N. Значение N можно выбрать, последовательно добавляя точки и вычисляя индексы до тех пор, пока оценочные значения не достигнут некоторой приемлемой сходимости. По этой причине при использовании последовательностей с низким расхождением может быть выгодно использовать те, которые позволяют последовательное добавление точек (например, последовательность Соболя), по сравнению с теми, которые этого не делают (например, последовательности латинского гиперкуба).

Оценщики

Для обоих индексов доступен ряд возможных оценок Монте-Карло. В настоящее время широко используются два:^[1][6]

${\displaystyle \operatorname {Var} _{X_{i}}(E_{\mathbf {X} _{\sim i}}(Y|X_{i}))\approx {{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\mathbf {B} \right)_{j}\left(f\left(\mathbf {A} _{B}^{i}\right)_{j}-f\left(\mathbf {A} \right)_{j}\right)}}$

и

${\displaystyle E_{\mathbf {X} _{\sim i}}\left(\operatorname {Var} _{X_{i}}\left(Y\mid \mathbf {X} _{\sim i}\right)\right)\approx {{\frac {1}{2N}}\sum _{j=1}^{N}\left(f\left(\mathbf {A} \right)_{j}-f\left(\mathbf {A} _{B}^{i}\right)_{j}\right)^{2}}}$

для оценки S_я и S_Ti соответственно.

Вычислительные затраты

Для оценки S_я и S_Ti для всех входных переменных, N(d+2) Требуются прогоны модели. С N часто составляет порядка сотен или тысяч прогонов, вычислительные затраты могут быстро стать проблемой, когда модель требует значительного количества времени для одного прогона. В таких случаях существует ряд методов, позволяющих снизить вычислительные затраты на оценку индексов чувствительности, например: эмуляторы, HDMR и БЫСТРЫЙ.

Смотрите также

• Анализ чувствительности
• Метод Монте-Карло
• Квази-Монте-Карло метод
• Последовательность Соболя

Рекомендации

1. Соболь И. (2001), Глобальные индексы чувствительности для нелинейных математических моделей и их оценки Монте-Карло. Математическое моделирование,55(1–3),271-280, Дои:10.1016 / S0378-4754 (00) 00270-6
2. Сальтелли, А., Ратто, М., Андрес, Т., Камполонго, Ф., Карибони, Дж., Гателли, Д., Сайсана, М., и Тарантола, С., 2008 г., Анализ глобальной чувствительности. Букварь, Джон Уайли и сыновья.
3. Saltelli, A., Annoni, P., 2010, Как избежать поверхностного анализа чувствительности, Экологическое моделирование и программное обеспечение 25, 1508–1517.
4. Соболь, И. (1990). Оценки чувствительности нелинейных математических моделей. Математическое моделирование. 2, 112–118. на русском языке, переведено на английский в Соболь, И. (1993). Анализ чувствительности нелинейных математических моделей. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент (англ. Пер.), 1993, 1, 407–414.
5. Хомма, Т. и А. Сальтелли (1996). Меры важности в анализе глобальной чувствительности нелинейных моделей. Техника надежности и системная безопасность, 52, 1–17.
6. Андреа Сальтелли, Паола Аннони, Ивано Аззини, Франческа Камполонго, Марко Ратто и Стефано Тарантола. Анализ чувствительности выходных данных модели на основе дисперсии. Дизайн и оценка общего индекса чувствительности. Компьютерная физика Коммуникации, 181(2):259{270, 2010