Аргумент Фраттини

В теория групп, филиал математика, Аргумент Фраттини это важный лемма в структурной теории конечные группы. Он назван в честь Джованни Фраттини, который использовал его в статье 1885 года при определении Подгруппа Фраттини группы. Аргумент был взят Фраттини, как он сам признает, из статьи Альфредо Капелли датируется 1884 годом.^[1]

Заявление

Если ${ displaystyle G}$ конечная группа с нормальной подгруппой ${ displaystyle H}$ , и если ${ displaystyle P}$ это Силовский п-подгруппа из ${ displaystyle H}$ , тогда

{ Displaystyle G = N_ {G} (P) H}

куда ${ Displaystyle N_ {G} (P)}$ обозначает нормализатор из ${ displaystyle P}$ в ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle N_ {G} (P) H}$ означает произведение групповых подмножеств.

Доказательство

Группа ${ displaystyle P}$ силовский ${ displaystyle p}$ -подгруппа ${ displaystyle H}$ , так что каждый силов ${ displaystyle p}$ -подгруппа ${ displaystyle H}$ является ${ displaystyle H}$ -конъюгат ${ displaystyle P}$ , то есть имеет вид ${ displaystyle h ^ {- 1} Ph}$ , для некоторых ${ displaystyle h in H}$ (видеть Теоремы Силова ). Позволять ${ displaystyle g}$ быть любым элементом ${ displaystyle G}$ . С ${ displaystyle H}$ нормально в ${ displaystyle G}$ , подгруппа ${ displaystyle g ^ {- 1} Pg}$ содержится в ${ displaystyle H}$ . Это означает, что ${ displaystyle g ^ {- 1} Pg}$ силовский ${ displaystyle p}$ -подгруппа ${ displaystyle H}$ . Тогда согласно вышесказанному, это должно быть ${ displaystyle H}$ -сопряжен с ${ displaystyle P}$ : то есть для некоторых ${ displaystyle h in H}$

{ displaystyle g ^ {- 1} Pg = h ^ {- 1} Ph}

,

и так

{ displaystyle hg ^ {- 1} Pgh ^ {- 1} = P}

.

Таким образом,

{ displaystyle gh ^ {- 1} in N_ {G} (P)}

,

и поэтому ${ displaystyle g in N_ {G} (P) H}$ . Но ${ displaystyle g in G}$ было произвольно, и поэтому ${ Displaystyle G = HN_ {G} (P) = N_ {G} (P) H. , , квадрат}$

Приложения

Аргумент Фраттини можно использовать как часть доказательства того, что любое конечное нильпотентная группа это прямой продукт его силовских подгрупп.
Применяя аргумент Фраттини к ${ Displaystyle N_ {G} (N_ {G} (P))}$ , можно показать, что ${ Displaystyle N_ {G} (N_ {G} (P)) = N_ {G} (P)}$ в любое время ${ displaystyle G}$ конечная группа и ${ displaystyle P}$ силовский ${ displaystyle p}$ -подгруппа ${ displaystyle G}$ .
В более общем смысле, если подгруппа ${ Displaystyle M leq G}$ содержит ${ Displaystyle N_ {G} (P)}$ для некоторых силовских ${ displaystyle p}$ -подгруппа ${ displaystyle P}$ из ${ displaystyle G}$ , тогда ${ displaystyle M}$ является самонормализованным, т.е. ${ Displaystyle M = N_ {G} (M)}$ .