Метод Фудзикавы - Fujikawa method

Метод Фудзикавы это способ получения хиральная аномалия в квантовая теория поля.

Предположим, что дан Поле Дирака ψ, которая преобразуется согласно ρ представление из компактная группа Ли грамм; и у нас есть предыстория форма подключения принятия ценностей в Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\,.}$ В Оператор Дирака (в Обозначение слэша Фейнмана ) является

${\displaystyle D\!\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial \!\!\!/+iA\!\!\!/}$

а фермионное действие дается выражением

${\displaystyle \int d^{d}x\,{\overline {\psi }}iD\!\!\!\!/\psi }$

В функция распределения является

${\displaystyle Z[A]=\int {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}{\mathcal {D}}\psi \,e^{-\int d^{d}x\,{\overline {\psi }}iD\!\!\!/\,\psi }.}$

В осевая симметрия трансформация идет как

${\displaystyle \psi \to e^{i\gamma _{d+1}\alpha (x)}\psi \,}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}\to {\overline {\psi }}e^{i\gamma _{d+1}\alpha (x)}}$

${\displaystyle S\to S+\int d^{d}x\,\alpha (x)\partial _{\mu }\left({\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{d+1}\psi \right)}$

Классически это означает, что киральный ток, ${\displaystyle j_{d+1}^{\mu }\equiv {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{d+1}\psi }$ сохраняется, ${\displaystyle 0=\partial _{\mu }j_{d+1}^{\mu }}$.

Квантово-механически киральный ток не сохраняется: Джеки открыл это благодаря тому, что треугольная диаграмма не обращается в нуль. Фудзикава переосмыслил это как изменение меры статистической суммы при киральном преобразовании. Чтобы вычислить изменение меры при киральном преобразовании, сначала рассмотрим фермионы Дирака в базисе собственных векторов Оператор Дирака:

${\displaystyle \psi =\sum \limits _{i}\psi _{i}a^{i},}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}=\sum \limits _{i}\psi _{i}b^{i},}$

куда ${\displaystyle \{a^{i},b^{i}\}}$ находятся Грассманн оценочные коэффициенты и ${\displaystyle \{\psi _{i}\}}$ являются собственными векторами Оператор Дирака:

${\displaystyle D\!\!\!\!/\psi _{i}=-\lambda _{i}\psi _{i}.}$

Собственные функции считаются ортонормированными относительно интегрирования в d-мерном пространстве,

${\displaystyle \delta _{i}^{j}=\int {\frac {d^{d}x}{(2\pi )^{d}}}\psi ^{\dagger j}(x)\psi _{i}(x).}$

Тогда мера интеграла по путям определяется как:

${\displaystyle {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}=\prod \limits _{i}da^{i}db^{i}}$

Под бесконечно малым киральным преобразованием запишем

${\displaystyle \psi \to \psi ^{\prime }=(1+i\alpha \gamma _{d+1})\psi =\sum \limits _{i}\psi _{i}a^{\prime i},}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}\to {\overline {\psi }}^{\prime }={\overline {\psi }}(1+i\alpha \gamma _{d+1})=\sum \limits _{i}\psi _{i}b^{\prime i}.}$

В Якобиан преобразования теперь можно рассчитать, используя ортонормальность из собственные векторы

${\displaystyle C_{j}^{i}\equiv \left({\frac {\delta a}{\delta a^{\prime }}}\right)_{j}^{i}=\int d^{d}x\,\psi ^{\dagger i}(x)[1-i\alpha (x)\gamma _{d+1}]\psi _{j}(x)=\delta _{j}^{i}\,-i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{j}(x).}$

Преобразование коэффициентов ${\displaystyle \{b_{i}\}}$ рассчитываются аналогичным образом. Наконец, квантовая мера изменяется как

${\displaystyle {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}=\prod \limits _{i}da^{i}db^{i}=\prod \limits _{i}da^{\prime i}db^{\prime i}{\det }^{-2}(C_{j}^{i}),}$

где Якобиан является обратной величиной определителю, потому что переменные интегрирования являются грассмановыми, а двойка появляется потому, что a и b вносят одинаковый вклад. Определитель можно вычислить стандартными методами:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\det }^{-2}(C_{j}^{i})&=\exp \left[-2{\rm {tr}}\ln(\delta _{j}^{i}-i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{j}(x))\right]\\&=\exp \left[2i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{i}(x)\right]\end{aligned}}}$

в первый порядок по α (x).

Специально для случая, когда α - постоянная величина, Якобиан должен быть регуляризован, потому что интеграл неправильно определен, как написано. Фудзикава нанял регуляризация теплового ядра, так что

${\displaystyle {\begin{aligned}-2{\rm {tr}}\ln C_{j}^{i}&=2i\lim \limits _{M\to \infty }\alpha \int d^{d}x\,\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}e^{-\lambda _{i}^{2}/M^{2}}\psi _{i}(x)\\&=2i\lim \limits _{M\to \infty }\alpha \int d^{d}x\,\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}e^{{D\!\!\!/\,}^{2}/M^{2}}\psi _{i}(x)\end{aligned}}}$

(${\displaystyle {D\!\!\!\!/}^{2}}$ можно переписать как ${\displaystyle D^{2}+{\tfrac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]F_{\mu \nu }}$, а собственные функции можно разложить по базису плоских волн)

${\displaystyle =2i\lim \limits _{M\to \infty }\alpha \int d^{d}x\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}\int {\frac {d^{d}k^{\prime }}{(2\pi )^{d}}}\psi ^{\dagger i}(k^{\prime })e^{ik^{\prime }x}\gamma _{d+1}e^{-k^{2}/M^{2}+1/(4M^{2})[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]F_{\mu \nu }}e^{-ikx}\psi _{i}(k)}$

${\displaystyle =-{\frac {-2\alpha }{(2\pi )^{d/2}({\frac {d}{2}})!}}({\tfrac {1}{2}}F)^{d/2},}$

после применения соотношения полноты для собственных векторов, выполнения трассировки по γ-матрицам и перехода к пределу в M. Результат выражается через напряженность поля 2-форма, ${\displaystyle F\equiv F_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\,.}$

Этот результат эквивалентен ${\displaystyle ({\tfrac {d}{2}})^{\rm {th}}}$ Черн класс из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-расслоение над d-мерным базовым пространством и дает хиральная аномалия, ответственный за несохранение кирального тока.

Рекомендации

• К. Фудзикава и Х. Судзуки (май 2004 г.). Интегралы по траекториям и квантовые аномалии. Кларендон Пресс. ISBN  0-19-852913-9.
• С. Вайнберг (2001). Квантовая теория полей. Том II: Современные приложения.. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-55002-5.