Полный отзыв о состоянии - Full state feedback - Wikipedia

Полный отзыв о состоянии (FSF), или размещение полюса, это метод, используемый в Обратная связь теория систем управления для размещения полюса замкнутого контура из растение в заранее определенных местах в s-plane.^[1] Размещение полюсов желательно, потому что расположение полюсов прямо соответствует собственные значения системы, которые контролируют характеристики отклика системы. Систему нужно учитывать управляемый для реализации этого метода.

Принцип

Система в разомкнутом контуре

Если динамика замкнутого контура может быть представлена ​​уравнением пространства состояний (см. Пространство состояний (элементы управления) )

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=\mathbf {A} {\underline {x}}+\mathbf {B} {\underline {u}},}$

с выходным уравнением

${\displaystyle {\underline {y}}=\mathbf {C} {\underline {x}}+\mathbf {D} {\underline {u}},}$

то полюса передаточной функции системы являются корнями характеристического уравнения, заданного формулой

${\displaystyle \left|s{\textbf {I}}-{\textbf {A}}\right|=0.}$

Полная обратная связь по состоянию используется путем управления входным вектором ${\displaystyle {\underline {u}}}$. Рассмотрим вход, пропорциональный (в матричном смысле) вектору состояния,

Система с обратной связью по состоянию (замкнутый контур)

${\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}$.

Подставляя в приведенные выше уравнения пространства состояний, мы имеем

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} ){\underline {x}}}$

${\displaystyle {\underline {y}}=(\mathbf {C} -\mathbf {D} \mathbf {K} ){\underline {x}}.}$

Полюса системы ФСП задаются характеристическим уравнением матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} }$, ${\displaystyle \det \left[s{\textbf {I}}-\left({\textbf {A}}-{\textbf {B}}{\textbf {K}}\right)\right]=0}$. Сравнение членов этого уравнения с членами искомого характеристического уравнения дает значения матрицы обратной связи ${\displaystyle {\textbf {K}}}$ которые вынуждают собственные значения замкнутого контура к положениям полюсов, заданным желаемым характеристическим уравнением.^[2]

Пример ФСПО

Рассмотрим систему, заданную следующими уравнениями пространства состояний:

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}{\underline {x}}+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\underline {u}}.}$

Неуправляемая система имеет разомкнутые полюса на ${\displaystyle s=-1}$ и ${\displaystyle s=-2}$. Эти полюса являются собственными значениями ${\displaystyle \mathbf {A} }$ матрица и они являются корнями ${\displaystyle \left|s\mathbf {I} -\mathbf {A} \right|}$. Предположим, для рассмотрения отклика мы хотим, чтобы собственные значения управляемой системы находились в ${\displaystyle s=-1}$ и ${\displaystyle s=-5}$, которых у нас нет. Тогда желаемое характеристическое уравнение имеет вид ${\displaystyle s^{2}+6s+5=0}$, из ${\displaystyle (s+1)(s+5)}$.

Следуя описанной выше процедуре, характеристическое уравнение управляемой системы FSF имеет вид

${\displaystyle \left|s\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} \right)\right|=\det {\begin{bmatrix}s&-1\\2+k_{1}&s+3+k_{2}\end{bmatrix}}=s^{2}+(3+k_{2})s+(2+k_{1}),}$

где

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}.}$

Приравнивая это характеристическое уравнение к искомому характеристическому уравнению, находим

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}}}$.

Следовательно, полагая ${\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}$ принудительно перемещает полюса замкнутого контура в желаемые места, влияя на реакцию по желанию.

Это работает только для систем с одним входом. Системы с несколькими входами будут иметь ${\displaystyle {\textbf {K}}}$ матрица, которая не является уникальной. Поэтому выбирая лучшее ${\displaystyle {\textbf {K}}}$ ценности нетривиально. А линейно-квадратичный регулятор может использоваться для таких приложений^{[нужна цитата ]}.

Смотрите также

• Расщепление полюсов
• Шаговый ответ
• Формула Аккермана
• Линейно-квадратичный регулятор

Рекомендации

1. *Зонтаг, Эдуардо (1998). Математическая теория управления: детерминированные конечномерные системы. Второе издание. Springer. ISBN  0-387-98489-5.
2. Дизайн управления с использованием размещения полюсов

внешняя ссылка

• Функция Mathematica для вычисления усиления обратной связи по состоянию