Нечеткая математика - Fuzzy mathematics

Для использования в других целях см. Нечеткая математика (значения).

Нечеткая математика образует раздел математики, включая теория нечетких множеств и нечеткая логика. Это началось в 1965 году после публикации Лотфи Аскер-Заде плодотворная работа Нечеткие множества.[1]

Определение

Нечеткое подмножество А набора Икс это функция А: X → L, где L интервал [0,1]. Эта функция также называется функцией принадлежности. Функция принадлежности - это обобщение характеристическая функция или индикаторная функция подмножества, определенного для L = {0,1}. В более общем смысле можно использовать полную решетку L в определении нечеткого подмножества А.[2]

Фаззификация

Эволюцию фаззификации математических понятий можно разбить на три этапа:[3]

  1. прямая фаззификация в шестидесятые и семидесятые годы,
  2. взрыв возможных выборов в процессе обобщения в восьмидесятые годы,
  3. стандартизация, аксиоматизация и L-фаззификация в девяностые годы.

Обычно фаззификация математических понятий основана на обобщении этих понятий от характеристических функций до функций-членов. Позволять А и B быть двумя нечеткими подмножествами Икс. Пересечение А ∩ B и союз А ∪ B определяются следующим образом: (А ∩ B)(Икс) = мин (А(Икс),B(Икс)), (А ∪ B)(Икс) = макс (А(Икс),B(Икс)) для всех Икс ∈ Икс. Вместо того мин и Максимум можно использовать t-норма и t-конорма соответственно,[4] Например, мин (а, б) можно заменить умножением ab. Прямая фаззификация обычно основана на мин и Максимум операций, потому что в этом случае на нечеткий случай можно распространить больше свойств традиционной математики.

Важным принципом обобщения, используемым при фаззификации алгебраических операций, является свойство замыкания. Пусть * - бинарная операция над Икс. Свойство замыкания для нечеткого подмножества А из Икс это для всех х, у ∈ Икс, А(Икс*у) ≥ мин (А(Икс),А(у)). Позволять (г, *) быть группой и А нечеткое подмножество г. потом А нечеткая подгруппа г если для всех х, у в г, А(Икс*у−1) ≥ мин (А(Икс),А(у−1)).

Аналогичный принцип обобщения используется, например, для фаззификации свойства транзитивности. Позволять р быть нечетким отношением в Икс, т.е. р нечеткое подмножество Х × Х. потом р транзитивен, если для всех х, у, г в Икс, р(Икс,z) ≥ мин (р(Икс,у),р(у,z)).

Нечеткие аналоги

Нечеткие подгруппоиды и нечеткие подгруппы были введены в 1971 г. А. Розенфельдом.[5][6][7]

Аналоги других математических дисциплин были переведены в нечеткую математику, например, теория нечеткого поля и нечеткая теория Галуа,[8] нечеткая топология,[9][10] нечеткая геометрия,[11][12][13][14] нечеткие порядки,[15] и нечеткие графы.[16][17][18]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Заде, Л. А. (1965) "Нечеткие множества", Информация и контроль, 8, 338–353.
  2. ^ Гогуэн, Дж. (1967) "L-нечеткие множества", J. Math. Анальный. Appl., 18, 145-174.
  3. ^ Керре, Э.Е., Мордесон, Дж. (2005) «Исторический обзор нечеткой математики», Новая математика и естественные вычисления, 1, 1-26.
  4. ^ Клемент, Э.П., Месиар, Р., Пап, Э. (2000) Треугольные нормы. Дордрехт, Клувер.
  5. ^ Розенфельд, А. (1971) "Нечеткие группы", J. Math. Анальный. Appl., 35, 512-517.
  6. ^ Мордесон, Дж. Н., Малик, Д. С., Куроли, Н. (2003) Нечеткие полугруппы. Исследования в области нечеткости и мягких вычислений, т. 131, Springer-Verlag
  7. ^ Мордесон, Дж. Н., Бутани, К. Р., Розенфельд, А. (2005) Нечеткая теория групп. Исследования в области нечеткости и мягких вычислений, т. 182. Springer-Verlag.
  8. ^ Мордесон, Дж. Н., Малик, Д. С. (1998) Нечеткая коммутативная алгебра. World Scientific.
  9. ^ Чанг, К. (1968) «Нечеткие топологические пространства», J. Math. Анальный. Appl., 24, 182—190.
  10. ^ Лю, Ю.-М., Луо, М.-К. (1997) Нечеткая топология. Достижения в нечетких системах - приложения и теория, т. 9, World Scientific, Сингапур.
  11. ^ Постон, Тим, "Нечеткая геометрия".
  12. ^ Бакли, Дж. Дж., Эслами, Э. (1997) "Нечеткая геометрия плоскости I: точки и линии". Нечеткие множества и системы, 86, 179-187.
  13. ^ Гош, Д., Чакраборти, Д. (2012) "Аналитическая геометрия нечеткой плоскости I". Нечеткие множества и системы, 209, 66-83.
  14. ^ Чакраборти, Д. и Гош, Д. (2014) "Аналитическая нечеткая геометрия плоскости II". Нечеткие множества и системы, 243, 84–109.
  15. ^ Заде Л.А. (1971) "Отношения подобия и нечеткие упорядочения". Сообщить. Sci., 3, 177–200.
  16. ^ Кауфманн, А. (1973). Введение a la théorie des sous-ensembles flow. Париж. Массон.
  17. ^ А. Розенфельд, А. (1975) "Нечеткие графы". В: Заде, Л.А., Фу, К.С., Танака, К., Шимура, М. (ред.), Нечеткие множества и их приложения к когнитивным процессам и процессам принятия решений, Academic Press, Нью-Йорк, ISBN  978-0-12-775260-0С. 77–95.
  18. ^ Йе, Р.Т., Банг, С.Ю. (1975) "Нечеткие графы, нечеткие отношения и их приложения к кластерному анализу". В: Заде, Л.А., Фу, К.С., Танака, К., Шимура, М. (ред.), Нечеткие множества и их приложения к когнитивным процессам и процессам принятия решений, Academic Press, Нью-Йорк, ISBN  978-0-12-775260-0С. 125–149.

внешняя ссылка