G-ожидание - G-expectation

В теория вероятности, то g-ожидание это нелинейное ожидание основанный на обратном стохастическое дифференциальное уравнение (BSDE) изначально разработан Шиге Пэн.^[1]

Определение

Учитывая вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ с ${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}$ это (d-размерный) Винеровский процесс (на этом месте). Учитывая фильтрация создано ${\displaystyle (W_{t})}$, т.е. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (W_{s}:s\in [0,t])}$, позволять ${\displaystyle X}$ быть ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$ измеримый. Рассмотрим BSDE, задаваемый:

${\displaystyle {\begin{aligned}dY_{t}&=g(t,Y_{t},Z_{t})\,dt-Z_{t}\,dW_{t}\\Y_{T}&=X\end{aligned}}}$

Тогда g-ожидание для ${\displaystyle X}$ дан кем-то ${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X]:=Y_{0}}$. Обратите внимание, что если ${\displaystyle X}$ является м-мерный вектор, то ${\displaystyle Y_{t}}$ (за каждый раз ${\displaystyle t}$) является м-мерный вектор и ${\displaystyle Z_{t}}$ является ${\displaystyle m\times d}$ матрица.

Фактически условное ожидание дан кем-то ${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]:=Y_{t}}$ и, как и формальное определение условного ожидания, следует, что ${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[1_{A}\mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]]=\mathbb {E} ^{g}[1_{A}X]}$ для любого ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{t}}$ (и ${\displaystyle 1}$ функция - это индикаторная функция ).^[1]

Существование и уникальность

Позволять ${\displaystyle g:[0,T]\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\times d}\to \mathbb {R} ^{m}}$ удовлетворить:

1. ${\displaystyle g(\cdot ,y,z)}$ является ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-адаптированный процесс для каждого ${\displaystyle (y,z)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\times d}}$
2. ${\displaystyle \int _{0}^{T}|g(t,0,0)|\,dt\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{T},\mathbb {P} )}$ то L2 пространство (куда ${\displaystyle |\cdot |}$ это норма в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$)
3. ${\displaystyle g}$ является Липшицева непрерывная в ${\displaystyle (y,z)}$, т.е. для каждого ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in \mathbb {R} ^{m}}$ и ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {R} ^{m\times d}}$ следует, что ${\displaystyle |g(t,y_{1},z_{1})-g(t,y_{2},z_{2})|\leq C(|y_{1}-y_{2}|+|z_{1}-z_{2}|)}$ для некоторой постоянной ${\displaystyle C}$

Тогда для любой случайной величины ${\displaystyle X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} ;\mathbb {R} ^{m})}$ существует единственная пара ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-адаптированные процессы ${\displaystyle (Y,Z)}$ которые удовлетворяют стохастическому дифференциальному уравнению.^[2]

В частности, если ${\displaystyle g}$ дополнительно удовлетворяет:

1. ${\displaystyle g}$ непрерывно во времени (${\displaystyle t}$)
2. ${\displaystyle g(t,y,0)\equiv 0}$ для всех ${\displaystyle (t,y)\in [0,T]\times \mathbb {R} ^{m}}$

тогда для конечной случайной величины ${\displaystyle X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} ;\mathbb {R} ^{m})}$ следует, что решение обрабатывает ${\displaystyle (Y,Z)}$ квадратично интегрируемы. Следовательно ${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X|{\mathcal {F}}_{t}]}$ квадратично интегрируем во все времена ${\displaystyle t}$.^[3]

Смотрите также

• Ожидаемое значение
• Ожидание шоке
• Мера риска - практически любой время согласовано выпуклая мера риска можно записать как ${\displaystyle \rho _{g}(X):=\mathbb {E} ^{g}[-X]}$^[4]

Рекомендации

1. Филипп Бриан; Франсуа Коке; Инь Ху; Жан Мёмин; Шиге Пэн (2000). «Теорема обратного сравнения для BSDE и связанные свойства g-ожидания» (pdf). Электронные коммуникации в вероятности. 5 (13): 101–117. Дои:10.1214 / ecp.v5-1025. Получено 2 августа, 2012.
2. Пэн, С. (2004). «Нелинейные ожидания, нелинейные оценки и меры риска». Стохастические методы в финансах (PDF). Конспект лекций по математике. 1856. С. 165–138. Дои:10.1007/978-3-540-44644-6_4. ISBN  978-3-540-22953-7. Архивировано из оригинал (pdf) 3 марта 2016 г.. Получено 9 августа, 2012.
3. Chen, Z .; Chen, T .; Дэвисон, М. (2005). "Ожидание шоке и ожидание Пэна". Анналы вероятности. 33 (3): 1179. arXiv:математика / 0506598. Дои:10.1214/009117904000001053.
4. Розацца Гианин, Э. (2006). «Оценка риска через перегрузочные ожидания». Страхование: математика и экономика. 39: 19–65. Дои:10.1016 / j.insmatheco.2006.01.002.