Поток кривизны Гаусса - Gauss curvature flow

В математических областях дифференциальная геометрия и геометрический анализ, то Поток кривизны Гаусса это геометрический поток для ориентированных гиперповерхностей Римановы многообразия. В случае кривых в двумерном многообразии он идентичен поток сокращения кривой. В средняя кривизна потока представляет собой другой геометрический поток, который также имеет поток сокращения кривой как частный случай.

Четкость и корректность

Позволять S быть гладким п-мерное многообразие и пусть (M, грамм) - гладкое риманово многообразие размерности п + 1. Учитывая погружение ж из S в M вместе с единичным векторным полем нормали вдоль ж, то вторая основная форма из ж можно рассматривать как симметричное 2-тензорное поле на S. Через первая фундаментальная форма, его также можно рассматривать как (1,1) -тензорное поле на S, где он известен как оператор формы. В Гауссова кривизна или же Кривизна Гаусса-Кронекера из ж, обозначаемый K, затем можно определить как детерминант оператора формы или, что эквивалентно (относительно локальных координат), как определитель второй фундаментальной формы, деленный на определитель первой фундаментальной формы.

Уравнение, определяющее поток кривизны Гаусса, имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}=-K\nu .}$

Таким образом, поток кривизны Гаусса состоит из гладкого многообразия S, гладкое риманово многообразие M размерности на единицу больше, и однопараметрическое семейство погружений S в Mвместе с гладким единичным векторным полем нормали вдоль каждого погружения, так что вышеуказанное уравнение удовлетворяется.

Корректность течения кривизны Гаусса устанавливается, если S является закрыто. Тогда, если п больше единицы, и если данное погружение, вдоль которого было выбрано гладкое единичное векторное поле нормали, имеет положительно определенную вторую фундаментальную форму, то существует единственное решение потока кривизны Гаусса с «начальными данными» ж.^[1] Если п равен единице, так что один находится в настройке потока сокращения кривой, условие для второй основной формы не требуется.^[2]

Теоремы сходимости

Из-за вышеупомянутой теоремы существования и единственности поток кривизны Гаусса по существу изучался только в случаях потока с сокращением кривой и в более высоких измерениях для замкнутых выпуклых гиперповерхностей. Независимо от размерности наиболее широко он изучался в случае, когда (M, грамм) это Евклидово пространство ℝ^{п + 1}.

В случае потока с сокращением кривой, Майкл Гейдж и Ричард Гамильтон показал, что любое выпуклое вложение окружности в плоскость деформируется до точки за конечное время таким образом, что при пересчете кривых в потоке плавно приближается к круглой окружности.^[3] Это было усилено результатом Мэтью Грейсона, показавшего, что любая вложенная окружность в плоскости деформируется в выпуклое вложение, и к этому моменту применим результат Гейджа и Гамильтона.^[4] С тех пор были найдены доказательства, которые не рассматривают отдельно два случая выпуклости и невыпуклости.^[5] В более общем случае полного двумерного риманова многообразия, которое имеет некоторую выпуклость вблизи бесконечности, Грейсон доказал сходимость к закрытая геодезическая или до круглой точки.^[6]

Кайсинг Цо применил методы Шиу-Юэнь Чэн и Шинг-Тунг Яу резолюция Проблема Минковского изучить многомерную версию результата Гейджа и Гамильтона.^[7] В частности, он представил поток кривизны Гаусса как параболический Уравнение Монжа – Ампера для функция поддержки гиперповерхностей. Он смог показать, что максимальное время существования является явным постоянным кратным объему, заключенному в исходной гиперповерхности, и что каждая гиперповерхность в потоке является гладкой и строго выпуклой, с диаметром, сходящимся к нулю, когда время приближается к своему максимуму.^[8]

В 1999 году, Бен Эндрюс удалось доказать известное Гипотеза огненного, показывая, что для выпуклых поверхностей в ℝ³, поверхности в результате Tso можно было изменить, чтобы плавно сходиться к круглой сфере.^[9] Ключом к его доказательству было применение принцип максимума к количеству ЧАС² − 4K, показывая, что самый большой размер разницы между точками двух собственных значений оператора формы не может увеличиваться во времени. Предыдущие результаты Эндрюса для выпуклых гиперповерхностей евклидова пространства, а также неравенство Ли – Яу Гарнака, найденное Беннетом Чоу, затем применялись для получения однородного геометрического контроля над поверхностями, составляющими поток.^[10] Для полной сходимости к сфере использовалась теорема Крылова – Сафонова.^[11]

Рекомендации

1. Хьюскен и Полден (1999)
2. Huisken & Polden (1999); это также верно в более общем случае потока средней кривизны [Gage & Hamilton (1986)]
3. Гейдж и Гамильтон (1986)
4. Грейсон (1987)
5. Эндрюс и др. (2020), глава 3
6. Грейсон (1989)
7. Цо (1985)
8. Эндрюс и др. (2020), раздел 15.3
9. Эндрюс (1999); Эндрюс и др. (2020), раздел 15.5
10. Эндрюс (1994)
11. Эндрюс (1994), раздел 7

Источники

• Бен Эндрюс. Сжатие выпуклых гиперповерхностей в евклидовом пространстве. Расчет. Вар. Уравнения в частных производных 2 (1994), вып. 2, 151–171. Дои:10.1007 / BF01191340
• Бен Эндрюс. Кривизна потока Гаусса: судьба катящихся камней. Изобретать. Математика. 138 (1999), нет. 1, 151–161. Дои:10.1007 / s002220050344
• Бен Эндрюс, Беннет Чоу, Кристин Гюнтер, и Мэт Лэнгфорд. Внешние геометрические потоки. Аспирантура по математике 206. Американское математическое общество, 2020.
• М. Гейдж и Р.С. Гамильтон. Уравнение теплопроводности сокращает выпуклые плоские кривые. J. Differential Geom. 23 (1986), нет. 1, 69–96. Дои:10.4310 / jdg / 1214439902
• Мэтью А. Грейсон. Уравнение теплопроводности сжимает встроенные плоские кривые до округлых точек. J. Differential Geom. 26 (1987), нет. 2, 285–314. Дои:10.4310 / jdg / 1214441371
• Мэтью А. Грейсон. Укорочение вложенных кривых. Анна. математики. (2) 129 (1989), нет. 1, 71–111. Дои:10.2307/1971486
• Герхард Хёйскен и Александр Полден. Уравнения геометрической эволюции гиперповерхностей. Конспект лекций по математике. 1713 (1999), 45–84. Вариационное исчисление и задачи геометрической эволюции (Четраро, 1996). Спрингер, Берлин. Под редакцией Стефана Хильдебрандта и Майкла Струве. Дои:10.1007 / BFb0092669
• Кайсинг Цо. Деформирование гиперповерхности ее кривизной Гаусса – Кронекера. Comm. Pure Appl. Математика. 38 (1985), нет. 6, 867–882. Дои:10.1002 / cpa.3160380615