Обобщенная теорема Гельмгольца - Generalized Helmholtz theorem - Wikipedia

В обобщенная теорема Гельмгольца является многомерным обобщением Теорема Гельмгольца что справедливо только в одном измерении. Обобщенная теорема Гельмгольца выглядит следующим образом.

Позволять

${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},...,p_{s}),}$

${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},...,q_{s}),}$

быть канонические координаты из s-размерный Гамильтонова система, и разреши

${\displaystyle H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ;V)=K(\mathbf {p} )+\varphi (\mathbf {q} ;V)}$

быть Гамильтониан функция, где

${\displaystyle K=\sum _{i=1}^{s}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}}$,

это кинетическая энергия и

${\displaystyle \varphi (\mathbf {q} ;V)}$

это потенциальная энергия который зависит от параметра ${\displaystyle V}$.Пусть гиперповерхности постоянной энергии в 2s-мерное фазовое пространство системы метрически неразложимый и разреши ${\displaystyle \left\langle \cdot \right\rangle _{t}}$ обозначают среднее время. Определите количества ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle S}$, следующее:

${\displaystyle E=K+\varphi }$,

${\displaystyle T={\frac {2}{s}}\left\langle K\right\rangle _{t}}$,

${\displaystyle P=\left\langle -{\frac {\partial \varphi }{\partial V}}\right\rangle _{t}}$,

${\displaystyle S(E,V)=\log \int _{H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ;V)\leq E}d^{s}\mathbf {p} d^{s}\mathbf {q} .}$

Потом:

${\displaystyle dS={\frac {dE+PdV}{T}}.}$

Замечания

Тезис этой теоремы классическая механика читается в точности как теорема тепла из термодинамика. Этот факт показывает, что между некоторыми механическими величинами в многомерном пространстве существуют термодинамические связи. эргодический системы. Это, в свою очередь, позволяет определить «термодинамическое состояние» многомерной эргодической механической системы без требования, чтобы система состояла из большого числа степеней свободы. В частности температура ${\displaystyle T}$ дается удвоенным средним по времени кинетической энергией на степень свободы, а энтропия ${\displaystyle S}$ логарифмом объема фазового пространства, заключенного поверхность постоянной энергии (т.е. так называемый объемная энтропия ).

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Гельмгольц, Х. фон (1884а). Principien der Statik monocyklischer Systeme. Журнал Борхардта-Крелля für die reine und angewandte Mathematik, 97, 111–140 (также в Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (pp. 142–162, 179–202). Leipzig: Johann Ambrosious Barth).
• Гельмгольц, Х., фон (1884b). Studien zur Statik monocyklischer Systeme. Sitzungsberichte der Kö niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, I, 159–177 (также в Wiedemann G. (Ed.) (1895) Wissenschafltliche Abhandlungen. Vol. 3 (pp. 163–178). Leipzig: Johann Ambrosious Barth).
• Больцманн, Л. (1884). Über die Eigenschaften monocyklischer und anderer damit verwandter Systeme.Crelles Journal, 98: 68–94 (также в Boltzmann, L. (1909). Wissenschaftliche Abhandlungen (Vol. 3, pp. 122–152), F. Hasenöhrl (Ed.) Leipzig. Reissied New York: Chelsea, 1969).
• Хинчин, А.И. (1949). Математические основы статистической механики. Нью-Йорк: Дувр.
• Галлавотти, Г. (1999). Статистическая механика: краткий трактат. Берлин: Springer.
• Кампизи, М. (2005) О механических основах термодинамики: обобщенная теорема Гельмгольца Исследования по истории и философии современной физики 36: 275–290