Объемная энтропия - Volume entropy

В объемная энтропия асимптотика инвариантный из компактный Риманово многообразие который измеряет экспоненциальную скорость роста объема метрические шары в его универсальный чехол. Это понятие тесно связано с другими понятиями энтропия нашел в динамические системы и играет важную роль в дифференциальная геометрия и геометрическая теория групп. Если многообразие искривлено неположительно, то его объемная энтропия совпадает с топологическая энтропия из геодезический поток. В дифференциальной геометрии значительный интерес представляет поиск римановой метрики на заданном гладкое многообразие который минимизирует объемную энтропию, с локально симметричные пространства формируя базовый класс примеров.

Определение

Позволять (M, грамм) - компактное риманово многообразие с универсальный чехол ${displaystyle { ilde {M}}.}$ Выберите точку ${displaystyle { ilde {x}}_{0}in { ilde {M}}}$.

В объемная энтропия (или асимптотический рост объема) ${displaystyle h=h(M,g)}$ определяется как предел

${displaystyle h(M,g)=lim _{Rightarrow +infty }{frac {log left(operatorname {vol} B(R)ight)}{R}},}$

куда B(р) - шар радиуса р в ${displaystyle { ilde {M}}}$ сосредоточен на ${displaystyle { ilde {x}}_{0}}$ и объем является римановым объем в универсальной накрытии с естественной римановой метрикой.

А. Маннинг доказал, что предел существует и не зависит от выбора базовой точки. Этот асимптотический инвариант описывает экспоненциальную скорость роста объема шаров в универсальной оболочке в зависимости от радиуса.

Характеристики

• Объемная энтропия час всегда ограничена сверху топологической энтропией час_верх геодезического потока на M. Более того, если M имеет неположительную кривизну сечения, то час = час_верх. Эти результаты получены благодаря Мэннингу.
• В более общем смысле объемная энтропия равна топологической энтропии при более слабом предположении, что M - замкнутое риманово многообразие без сопряженные точки (Фрейре и Манье).
• Локально-симметричные пространства минимизировать энтропию, если задан объем. Это следствие очень общего результата Бессона, Куртуа и Галло (из которого также следует Жесткость Мостова и его различные обобщения, сделанные Корлеттом, Сиу и Терстон ):

Позволять Икс и Y быть компактно ориентированным связным п-мерные гладкие многообразия и ж: Y → Икс непрерывное отображение ненулевых степень. Если грамм₀ является локально симметричной римановой метрикой отрицательной кривизны на Икс и грамм - любая риманова метрика на Y тогда

${displaystyle h^{n}(Y,g)operatorname {vol} (Y,g)geq |operatorname {deg} (f)|h^{n}(X,g_{0})operatorname {vol} (X,g_{0}),}$

и для п ≥ 3 равенство имеет место тогда и только тогда, когда (Y,грамм) локально симметричен того же типа, что и (Икс,грамм₀) и ж гомотопно гомотетическому покрытию (Y,грамм) → (Икс,грамм₀).

Применение в дифференциальной геометрии поверхностей

Энтропийное неравенство Катока недавно был использован для получения точной асимптотической оценки для систолический соотношение поверхностей большого рода, см. систолы поверхностей.

Рекомендации

• Бессон, Г., Куртуа, Г., Галло, С. Энтропии и ригидность пространств, локализованных, симметричных, отрицательных курбюр. (Французский) [Энтропия и жесткость локально симметричных пространств со строго отрицательной кривизной] Геом. Функц. Анальный. 5 (1995), нет. 5, 731–799
• Каток А .: Энтропия и замкнутые геодезические, Эрг. Чт. Дин. Sys. 2 (1983), 339–365
• Каток, А .; Хассельблатт, Б .: Введение в современную теорию динамических систем. С дополнительной главой Катока и Л. Мендосы. Энциклопедия математики и ее приложений, 54. Cambridge University Press, Кембридж, 1995
• Кац, М .; Сабурау, С .: Энтропия систолически экстремальных поверхностей и асимптотические границы. Эрг. Чт. Дин. Sys. 25 (2005), 1209–1220
• Мэннинг, А .: Топологическая энтропия для геодезических потоков. Анна. математики. (2) 110 (1979), нет. 3, 567–573