Обобщенный фильтр Винера - Generalized Wiener filter

В Винеровский фильтр как первоначально было предложено Норберт Винер это обработка сигналов фильтр который использует знание статистических свойств как сигнала, так и шума для восстановления оптимальной оценки сигнала из зашумленного одномерного упорядоченного по времени потока данных. В обобщенный фильтр Винера обобщает ту же идею за пределы области одномерной упорядоченной по времени обработки сигналов с двумерной обработка изображений является наиболее распространенным приложением.^[1]

Описание

Рассмотрим данные вектор ${\displaystyle d}$ что является суммой независимый векторы сигнала и шума ${\displaystyle d=s+n}$ с нулевым средним и ковариации ${\displaystyle \langle ss^{T}\rangle =S}$ и ${\displaystyle \langle nn^{T}\rangle =N}$. Обобщенный фильтр Винера - это линейный оператор ${\displaystyle G}$ который минимизирует ожидаемую разность между оцененным сигналом и истинным сигналом, ${\displaystyle e=\langle (Gd-s)^{T}(Gd-s)\rangle }$. В ${\displaystyle G}$ что минимизирует это ${\displaystyle G=S(S+N)^{-1}}$, что приводит к оценке Винера ${\displaystyle {\hat {s}}=S(S+N)^{-1}d}$. В случае Гауссово распределенное сигнал и шум, эта оценка также является максимальная апостериорная оценка.

Обобщенный фильтр Винера приближается к 1 для частей данных с преобладанием сигнала и S / N для частей с преобладанием шума.

Часто встречающийся вариант выражает фильтр в терминах обратных ковариаций. Это математически эквивалентно, но позволяет избежать чрезмерной потери числовой точности при наличии режимов с высокой дисперсией. В этой формулировке обобщенный фильтр Винера принимает вид ${\displaystyle G=(S^{-1}+N^{-1})^{-1}N^{-1}}$ используя личность ${\displaystyle A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}}$.

Пример

В космический микроволновый фон (CMB) - это однородное и изотропное случайное поле, поэтому его ковариация диагональна в сферические гармоники основание. Любое конкретное наблюдение реликтового излучения будет зашумленным, причем шум обычно имеет другие статистические свойства, чем реликтовый свет. Например, он может быть некоррелированным в пространстве пикселей. Обобщенный фильтр Винера использует это различие в поведении, чтобы максимально изолировать сигнал от шума.

Результат применения обобщенного фильтра Винера к зашумленному наблюдению космического микроволнового фона. Фильтр приводит к изображению, в котором преобладает сигнал во всех масштабах за счет внесения смещения (в этом примере видно как размытие).

Оценка сигнала с фильтром Винера (в данном случае CMB) ${\displaystyle {\hat {s}}=S(S+N)^{-1}d}$ требует инверсии обычно огромной матрицы ${\displaystyle S+N}$. Если бы S и N были диагональными в одном и том же базисе, это было бы тривиально, но часто, как здесь, это не так. В этих случаях решение должно быть найдено путем решения эквивалентного уравнения ${\displaystyle (S+N)S^{-1}{\hat {s}}=d}$, например через сопряженные градиенты итерация. В этом случае все умножения могут быть выполнены в соответствующем базисе для каждой матрицы, избегая необходимости хранить или инвертировать больше, чем их диагональ. Результат можно увидеть на рисунке.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

• Винеровский фильтр
• Норберт Винер
• Винеровская деконволюция
• Максимальная апостериорная оценка

Рекомендации

1. Пратт, Уильям К. (июль 1972 г.). "Обобщенные методы вычисления винеровской фильтрации" (PDF). Транзакции IEEE на компьютерах. с-21 (7). Дои:10.1109 / т-с.1972.223567. Получено 4 октября 2014.