Преобразование географических координат - Geographic coordinate conversion - Wikipedia

В геодезия, преобразование среди разных географическая координата системы обусловлены различными географические системы координат используются во всем мире и с течением времени. Преобразование координат состоит из нескольких различных типов преобразования: изменение формата географических координат, преобразование систем координат или преобразование в другие. геодезические базы. Преобразование географических координат применяется в картография, геодезия, навигация и географические информационные системы.

В геодезии географическая координата преобразование определяется как перевод между различными форматами координат или картографические проекции все привязаны к одной и той же геодезической системе координат.^[1] Географические координаты трансформация это перевод между различными геодезическими базами. В этой статье будут рассмотрены как преобразование географических координат, так и преобразование.

В этой статье предполагается, что читатели уже знакомы с содержанием статей. географическая система координат и геодезическая база.

Изменение единиц и формата

Неформально указание географического положения обычно означает указание местоположения широта и долгота. Числовые значения широты и долготы могут иметь различные единицы или форматы:^[2]

• шестидесятеричная степень: градусы, минут, и секунды : 40 ° 26 ′ 46 ″ с.ш. 79 ° 58 ′ 56 ″ з.д.
• градусы и десятичные минуты: 40 ° 26.767 ′ с.ш., 79 ° 58.933 ′ з.д.
• десятичные градусы: -40,446 +79,982

В градусе 60 минут, а в минуте 60 секунд. Следовательно, для преобразования формата градусов минут секунд в формат десятичных градусов можно использовать формулу

${\displaystyle {\rm {{decimal\ degrees}={\rm {{degrees}+{\frac {\rm {minutes}}{60}}+{\frac {\rm {seconds}}{3600}}}}}}}$.

Для обратного преобразования из формата десятичных градусов в формат градусов минут секунд,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {degrees}}&=\lfloor {\rm {{decimal\ degrees}\rfloor }}\\{\rm {minutes}}&=\lfloor 60\times ({\rm {{decimal\ degrees}-{\rm {{degrees})\rfloor }}}}\\{\rm {seconds}}&=3600\times ({\rm {{decimal\ degrees}-{\rm {{degrees})-60\times {\rm {minutes}}}}}}\\\end{aligned}}}$

Преобразование системы координат

Преобразование системы координат - это преобразование одной системы координат в другую, причем обе системы координат основаны на одной и той же геодезической системе координат. Общие задачи преобразования включают преобразование между геодезическими и ECEF координаты и преобразование из одного типа картографической проекции в другой.

От геодезических до ECEF координаты

Длина PQ, называемая основной вертикальный радиус, является ${\displaystyle N(\phi )}$. Длина IQ равна ${\displaystyle \,e^{2}N(\phi )}$. ${\displaystyle R=(X,\,Y,\,Z)}$.

Геодезические координаты (широта ${\displaystyle \ \phi }$, долгота ${\displaystyle \ \lambda }$, высота ${\displaystyle h}$) можно преобразовать в ECEF координаты, используя следующее уравнение:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle N(\phi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}},}$

и ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ - экваториальный радиус (большая полуось ) и полярный радиус (малая полуось ), соответственно. ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$ квадрат первого числового эксцентриситета эллипсоида. В основной вертикальный радиус кривизны ${\displaystyle \,N(\phi )}$ - расстояние от поверхности до оси Z по нормали эллипсоида (см. "Радиус кривизны на Земле ").

Следующее уравнение справедливо для долготы так же, как и в геоцентрической системе координат:

${\displaystyle {\frac {X}{\cos \lambda }}-{\frac {Y}{\sin \lambda }}=0.}$

А для широты справедливо следующее уравнение:

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}-{\frac {Z}{\sin \phi }}-e^{2}N(\phi )=0,}$

куда ${\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$, как параметр ${\displaystyle h}$ устраняется вычитанием

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}=N+h}$

и

${\displaystyle {\frac {Z}{\sin \phi }}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h.}$

В ортогональность координат подтверждается дифференцированием:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dX\\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}},\\[3pt]{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &0&0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle M(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}}$

(смотрите также "Дуга меридиана на эллипсоиде ").

Из ECEF в геодезические координаты

Преобразование координат ECEF в геодезические координаты (например, WGS84) такое же, как и у геоцентрического для долготы:

${\displaystyle \lambda =\arctan {\frac {Y}{X}}}$.

Преобразование широты требует немного сложных вычислений и, как известно, решается с помощью нескольких методов, показанных ниже. Однако он чувствителен к малой точности из-за ${\displaystyle Rn}$ и ${\displaystyle h}$ быть может 10⁶ Кроме.^[4][5]

Метод Ньютона – Рафсона

Следующее иррациональное уравнение геодезической широты Боуринга^[6] эффективно решать Ньютон – Рафсон итерационный метод:^[7][8]

${\displaystyle \kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa ^{2}}}}=0,}$

куда ${\displaystyle \kappa ={\frac {p}{Z}}\tan \phi .}$ Высота рассчитывается как:

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e^{-2}\left(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}\right){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\kappa ^{2}}},\\\kappa _{0}&=\left(1-e^{2}\right)^{-1}.\end{aligned}}}$

Итерацию можно преобразовать в следующий расчет:

${\displaystyle \kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}},}$

куда ${\displaystyle c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{ae^{2}}}.}$

Постоянная ${\displaystyle \,\kappa _{0}}$ - хорошее начальное значение для итерации, когда ${\displaystyle h\approx 0}$. Боуринг показал, что одна итерация дает достаточно точное решение. В своей первоначальной формулировке он использовал дополнительные тригонометрические функции.

Решение Ferrari

Уравнение четвертой степени ${\displaystyle \kappa }$, полученная из вышеизложенного, может быть решена с помощью Решение Ferrari^[9][10] чтобы дать:

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=\left(1-e^{2}\right){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\[4pt]\rho &={\frac {1}{6}}\left({\frac {p^{2}}{a^{2}}}+\zeta -e^{4}\right),\\[4pt]s&={\frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\\[4pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2)}}}},\\[4pt]u&=\rho \left(t+1+{\frac {1}{t}}\right),\\[4pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta }},\\[4pt]w&=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v}},\\[4pt]\kappa &=1+e^{2}{\frac {{\sqrt {u+v+w^{2}}}+w}{u+v}}.\end{aligned}}}$

Применение решения Ferrari

Существует ряд методов и алгоритмов, но наиболее точные, по словам Чжу,^[11] следующая процедура, установленная Хейккиненом,^[12] цитируется Чжу. Предполагается, что геодезические параметры ${\displaystyle \{a,\,b,\,e\}}$ известны

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\\[3pt]e'^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\\[3pt]F&=54b^{2}Z^{2}\\[3pt]G&=r^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}-e^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\[3pt]c&={\frac {e^{4}Fr^{2}}{G^{3}}}\\[3pt]s&={\sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c}}}}\\[3pt]P&={\frac {F}{3\left(s+1+{\frac {1}{s}}\right)^{2}G^{2}}}\\[3pt]Q&={\sqrt {1+2e^{4}P}}\\[3pt]r_{0}&={\frac {-Pe^{2}r}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+{\frac {1}{Q}}\right)-{\frac {P\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pr^{2}}}\\[3pt]U&={\sqrt {\left(r-e^{2}r_{0}\right)^{2}+Z^{2}}}\\[3pt]V&={\sqrt {\left(r-e^{2}r_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}}\\[3pt]z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}}\\[3pt]h&=U\left(1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\[3pt]\phi &=\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{r}}\right]\\[3pt]\lambda &=\operatorname {arctan2} [Y,\,X]\end{aligned}}}$

Примечание: arctan2 [Y, X] - функция арктангенса с четырьмя квадрантами.

Силовая серия

Для малых е² силовой ряд

${\displaystyle \kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i}}$

начинается с

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{0}&=1;\\\alpha _{1}&={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}};\\\alpha _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}+2a^{2}p^{2}}{2\left(Z^{2}+p^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Геодезический в / из ЕНУ координаты

Для преобразования геодезических координат в местные ЕНУ Координаты - это двухэтапный процесс:

1. Преобразование геодезических координат в координаты ECEF
2. Преобразование координат ECEF в локальные координаты ENU

Из ВЦЭФ в ЕНУ

Чтобы преобразовать координаты ECEF в локальные, нам нужна местная опорная точка, обычно это может быть местоположение радара. Если радар расположен в ${\displaystyle \left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}}$ и самолет в ${\displaystyle \left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}}$ то вектор, указывающий от радара на самолет в кадре ENU, равен

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&\cos \lambda _{r}&0\\-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\\\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}}$

Примечание: ${\displaystyle \ \phi }$ это геодезический широта. Предыдущая версия этой страницы показывала использование геоцентрический широта (${\displaystyle \ \phi ^{\prime }}$). В геоцентрический широта нет соответствующий вверх направление для местной касательной плоскости. Если оригинал геодезический широта доступна, ее следует использовать, в противном случае связь между геодезический и геоцентрический широта зависит от высоты и фиксируется:

${\displaystyle \tan \phi ^{\prime }={\frac {Z_{r}}{\sqrt {X_{r}^{2}+Y_{r}^{2}}}}={\frac {N(\phi )(1-f)^{2}+h}{N(\phi )+h}}\tan \phi }$

Получение геодезический широта от геоцентрический координаты из этого отношения требует итеративного подхода к решению, иначе геодезический координаты могут быть вычислены с помощью подхода, описанного выше в разделе «От ECEF до геодезических координат».

Геоцентрическая и геодезическая долгота имеют одинаковое значение. Это верно для Земли и других планет аналогичной формы, потому что их линии широты (параллели) могут рассматриваться как более совершенные круги, чем линии их долготы (меридианы).

${\displaystyle \tan \lambda ={\frac {Y_{r}}{X_{r}}}}$

Примечание: однозначное определение ${\displaystyle \ \phi }$ и ${\displaystyle \ \lambda }$ требует знания того, что квадрант координаты лежат в.

Из ЕНУ в ЕЭФ

Это просто инверсия преобразования ECEF в ENU, поэтому

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}}$

Преобразование картографических проекций

Преобразование координат и положений на карте среди различных картографических проекций с привязкой к одной и той же системе координат может быть выполнено либо с помощью формул прямого перевода из одной проекции в другую, либо путем первоначального преобразования из проекции. ${\displaystyle A}$ в промежуточную систему координат, такую ​​как ECEF, затем преобразование из ECEF в проекцию ${\displaystyle B}$. Используемые формулы могут быть сложными, и в некоторых случаях, например, в приведенном выше преобразовании ECEF в геодезические, преобразование не имеет решения в закрытой форме, и необходимо использовать приближенные методы. Ссылки, такие как Техническое руководство DMA 8358.1^[13] и газета USGS Картографические проекции: рабочее руководство^[14] содержат формулы преобразования картографических проекций. Компьютерные программы обычно используются для выполнения задач преобразования координат, например, с программой GEOTRANS, поддерживаемой Министерством обороны и NGA.^[15]

Преобразования датума

Дальнейшая информация: Геодезические данные

Преобразования между базами данных можно выполнить несколькими способами. Существуют преобразования, которые напрямую преобразуют геодезические координаты из одной системы координат в другую. Есть и другие косвенные преобразования, которые преобразуют геодезические координаты в координаты ECEF, преобразуют координаты ECEF из одной базы данных в другую, а затем преобразуют координаты ECEF новой базы данных обратно в геодезические координаты. Существуют также преобразования на основе сетки, которые напрямую преобразуют одну пару (датум, картографическая проекция) в другую (датум, картографическая проекция).

Преобразование Гельмерта

Основная статья: Преобразование Гельмерта

Использование преобразования Хельмерта при преобразовании из геодезических координат датума ${\displaystyle A}$ в геодезические координаты точки отсчета ${\displaystyle B}$ происходит в контексте трехэтапного процесса:^[16]

1. Преобразование из геодезических координат в координаты ECEF для датума ${\displaystyle A}$
2. Примените преобразование Хельмерта с соответствующими ${\displaystyle A\to B}$ параметры преобразования, чтобы преобразовать из базы данных ${\displaystyle A}$ Координаты ECEF в системе координат ${\displaystyle B}$ Координаты ECEF
3. Преобразование из координат ECEF в геодезические координаты для датума ${\displaystyle B}$

В терминах векторов ECEF XYZ преобразование Хельмерта имеет вид^[16]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+\left(1+s\times 10^{-6}\right){\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}.}$

Преобразование Хелмерта - это преобразование с семью параметрами с тремя параметрами перевода (сдвига). ${\displaystyle c_{x},\,c_{y},\,c_{z}}$, три параметра вращения ${\displaystyle r_{x},\,r_{y},\,r_{z}}$ и один параметр масштабирования (растяжения) ${\displaystyle s}$. Преобразование Хелмерта - это приближенный метод, который является точным, когда параметры преобразования малы по сравнению с величинами векторов ECEF. В этих условиях преобразование считается обратимым.^[17]

Преобразование Хельмерта с четырнадцатью параметрами с линейной зависимостью от времени для каждого параметра,^[17]:131-133 может использоваться для регистрации изменения географических координат во времени за счет геоморфный процессы, такие как континентальный дрейф.^[18] и землетрясения.^[19] Это было включено в программное обеспечение, такое как инструмент горизонтального зависимого от времени позиционирования (HTDP) от NGS США.^[20]

Преобразование Молоденского-Бадекаса

Чтобы устранить связь между поворотами и перемещениями преобразования Хельмерта, можно ввести три дополнительных параметра, чтобы задать новый центр вращения XYZ ближе к координатам, которые необходимо преобразовать. Эта модель с десятью параметрами называется Преобразование Молоденского-Бадекаса и не следует путать с более основным преобразованием Молоденского.^[17]:133-134

Как и преобразование Хельмерта, использование преобразования Молоденского-Бадекаса представляет собой трехэтапный процесс:

1. Преобразование из геодезических координат в координаты ECEF для датума ${\displaystyle A}$
2. Примените преобразование Молоденского-Бадекаса с соответствующими ${\displaystyle A\to B}$ параметры преобразования, чтобы преобразовать из базы данных ${\displaystyle A}$ Координаты ECEF в системе координат ${\displaystyle B}$ Координаты ECEF
3. Преобразование из координат ECEF в геодезические координаты для датума ${\displaystyle B}$

Преобразование имеет вид^[21]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Delta X_{A}\\\Delta Y_{A}\\\Delta Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}+\Delta S{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}.}$

куда ${\displaystyle \left(X_{A}^{0},\,Y_{A}^{0},\,Z_{A}^{0}\right)}$ является источником преобразований поворота и масштабирования, а ${\displaystyle \Delta S}$ коэффициент масштабирования.

Преобразование Молоденского-Бадекаса используется для преобразования локальных геодезических данных в глобальные геодезические данные, такие как WGS 84. В отличие от преобразования Гельмерта, преобразование Молоденского-Бадекаса необратимо из-за того, что начало вращения связано с исходным элементом данных.^[17]:134

Молоденское преобразование

Преобразование Молоденского выполняет прямое преобразование между геодезическими системами координат разных датумов без промежуточного шага преобразования в геоцентрические координаты (ECEF).^[22] Это требует три смены между опорными центрами и различия между эллипсоида больших полуосей и выравнивающих параметров.

Преобразование Молоденского используется Национальное агентство геопространственной разведки (NGA) в их стандартном TR8350.2 и NGA поддерживала программу GEOTRANS.^[23] Метод Молоденского был популярен до появления современных компьютеров, и этот метод является частью многих геодезических программ.

Сеточный метод

Величина смещения положения между датумом NAD27 и NAD83 в зависимости от местоположения.

Преобразования на основе сетки напрямую преобразуют координаты карты из одной пары (карта-проекция, геодезическая база данных) в координаты карты другой пары (карта-проекция, геодезическая база данных). Примером может служить метод NADCON для преобразования североамериканской системы отсчета (NAD) 1927 года в систему отсчета NAD 1983 года.^[24] Эталонная сеть высокой точности (HARN), высокоточная версия преобразований NADCON, имеет точность приблизительно 5 сантиметров. Национальная трансформация версия 2 (NTv2 ) представляет собой канадскую версию NADCON для преобразования между NAD 1927 и NAD 1983. HARN также известны как NAD 83/91 и высокоточные сетевые сети (HPGN).^[25] Впоследствии Австралия и Новая Зеландия приняли формат NTv2 для создания основанных на сетке методов преобразования между их собственными локальными системами отсчета.

Как и преобразование уравнений множественной регрессии, сеточные методы используют метод интерполяции низкого порядка для преобразования координат карты, но в двух измерениях вместо трех. В NOAA предоставляет программный инструмент (как часть NGS Geodetic Toolkit) для выполнения преобразований NADCON.^[26][27]

Уравнения множественной регрессии

Преобразования датума с помощью эмпирических множественная регрессия методы были созданы для достижения более точных результатов для небольших географических регионов, чем стандартные преобразования Молоденского. Преобразования MRE используются для преобразования локальных баз данных по регионам размером с континент или меньшего размера в глобальные системы координат, такие как WGS 84.^[28] Стандарт NIMA TM 8350.2, Приложение D,^[29] перечисляет преобразования MRE из нескольких локальных систем отсчета в WGS 84 с точностью около 2 метров.^[30]

MRE представляют собой прямое преобразование геодезических координат без промежуточного шага ECEF. Геодезические координаты ${\displaystyle \phi _{B},\,\lambda _{B},\,h_{B}}$ в новых данных ${\displaystyle B}$ моделируются как многочлены до девятой степени в геодезических координатах ${\displaystyle \phi _{A},\,\lambda _{A},\,h_{A}}$ исходных данных ${\displaystyle A}$. Например, изменение ${\displaystyle \phi _{B}}$ может быть параметризован как (показаны только квадратичные члены)^[28]:9

${\displaystyle \Delta \phi =a_{0}+a_{1}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2}+\cdots }$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&{\text{, parameters fitted by multiple regression}}\\U&=K(\phi _{A}-\phi _{m})\\V&=K(\lambda _{A}-\lambda _{m})\\K&{\text{, scale factor}}\\\phi _{m},\,\lambda _{m}&{\text{, origin of the datum, }}A\\\end{aligned}}}$

с аналогичными уравнениями для ${\displaystyle \Delta \lambda }$ и ${\displaystyle \Delta h}$. Учитывая достаточное количество ${\displaystyle (A,\,B)}$ пары координат для ориентиров в обеих базах данных для хорошей статистики используются методы множественной регрессии для соответствия параметрам этих полиномов. Полиномы вместе с подобранными коэффициентами образуют уравнения множественной регрессии.

Смотрите также

• Система координат Гаусса – Крюгера
• Список картографических проекций
• Система пространственной привязки
• Топоцентрическая система координат
• Универсальная полярная стереографическая система координат
• Универсальная поперечная система координат Меркатора

Рекомендации

1. Роджер Фостер; Дэн Маллэйни. «Основная статья 018 геодезии: Преобразования и преобразования» (PDF). Национальное агентство геопространственной разведки. Получено 4 марта 2014.
2. «Трансформатор координат». Картографическое управление Великобритании. Получено 4 марта 2014.
3. Б. Хофманн-Велленхоф; Х. Лихтенеггер; Дж. Коллинз (1997). GPS - теория и практика. Раздел 10.2.1. п. 282. ISBN  3-211-82839-7.
4. Р. Берч, Сравнение методов, используемых при преобразовании прямоугольных координат в геодезические.
5. Featherstone, W. E .; Классенс, С. Дж. (2008). "Преобразование в замкнутой форме между геодезическими и эллипсоидальными координатами". Stud. Geophys. Geod. 52 (1): 1–18. Дои:10.1007 / s11200-008-0002-6. HDL:20.500.11937/11589.
6. Боуринг Б. Р. (1976). «Преобразование пространственных координат в географические». Surv. Rev. 23 (181): 323–327. Дои:10.1179/003962676791280626.
7. Фукусима, Т. (1999). «Быстрый переход от геоцентрических координат к геодезическим». Дж. Геод. 73 (11): 603–610. Дои:10.1007 / s001900050271. (Приложение B)
8. Судано, Дж. Дж. (1997). «Точное преобразование земной системы координат в широту, долготу и высоту». Труды Национальной конференции по аэрокосмической и электронике IEEE 1997. NAECON 1997. 2. С. 646–650. Дои:10.1109 / NAECON.1997.622711. ISBN  0-7803-3725-5.
9. Вермей, Х., Х. (2002). «Прямое преобразование геоцентрических координат в геодезические». Дж. Геод. 76 (8): 451–454. Дои:10.1007 / s00190-002-0273-6.
10. Гонсалес-Вега, Лауреано; ПолоБланко, Ирэн (2009). «Символьный анализ полиномов Вермейля и Борковского для преобразования трехмерных декартовых координат в геодезические». Дж. Геод. 83 (11): 1071–1081. Дои:10.1007 / s00190-009-0325-2.
11. Чжу, Дж. (1994). «Преобразование координат, привязанных к центру Земли, в геодезические координаты». IEEE Transactions по аэрокосмическим и электронным системам. 30 (3): 957–961. Дои:10.1109/7.303772.
12. Хейккинен, М. (1982). "Geschlossene formeln zur berechnung räumlicher geodätischer koordinaten aus rechtwinkligen koordinaten". З. Вермесс. (на немецком). 107: 207–211.
13. «TM8358.2: Универсальные сетки: универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM) и универсальная полярная стереографическая (UPS)» (PDF). Национальное агентство геопространственной разведки. Получено 4 марта 2014.
14. Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции: рабочее руководство. USGS Professional Paper: 1395.
15. «МСП ГЕОТРАНС 3.3 (географический переводчик)». NGA: Отдел анализа систем координат. Получено 4 марта 2014.
16. «Уравнения, используемые для преобразования датума». Земельная информация Новой Зеландии (LINZ). Получено 5 марта 2014.
17. "Руководство по геоматике № 7, часть 2 Преобразования и преобразования координат, включая формулы" (PDF). Международная ассоциация производителей нефти и газа (OGP). Архивировано из оригинал (PDF) 6 марта 2014 г.. Получено 5 марта 2014.
18. Болстад, Пол. Основы ГИС, 4-е издание (PDF). Книги атласа. п. 93. ISBN  978-0-9717647-3-6. Архивировано из оригинал (PDF) на 02.02.2016.
19. «Добавление к НИМА TR 8350.2: Внедрение системы отсчета G1150 Всемирная геодезическая система 1984 (84 WGS)» (PDF). Национальное агентство геопространственной разведки. Получено 6 марта 2014.
20. «HTDP - горизонтальное позиционирование, зависящее от времени». Национальная геодезическая служба США (NGS). Получено 5 марта 2014.
21. "Превращения Молоденского-Бадекаса (7 + 3)". Национальное агентство геопространственной разведки (NGA). Получено 5 марта 2014.
22. «Справка ArcGIS 10.1: методы на основе уравнений». ESRI. Получено 5 марта 2014.
23. «Преобразования датума». Национальное агентство геопространственной разведки. Получено 5 марта 2014.
24. «Справка ArcGIS 10.1: методы на основе сетки». ESRI. Получено 5 марта 2014.
25. "NADCON / HARN Datum ShiftMethod". bluemarblegeo.com. Получено 5 марта 2014.
26. «NADCON - Версия 4.2». NOAA. Получено 5 марта 2014.
27. Mulcare, Дональд М. "Набор инструментов NGS, Часть 8: Инструмент NADCON Национальной геодезической службы". Журнал "Профессиональный геодезист". Архивировано из оригинал 6 марта 2014 г.. Получено 5 марта 2014.
28. Справочник пользователя по преобразованию датумов с использованием WGS 84 (PDF) (Отчет). Специальная публикация № 60 (3-е изд.). Монако: Международное гидрографическое бюро. Август 2008 г.. Получено 2017-01-10.
29. «ДЕПАРТАМЕНТ МИРОВОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЗАЩИТЫ 1984 г. Его определение и взаимосвязь с местными геодезическими системами» (PDF). Национальное агентство изображений и картографии (NIMA). Получено 5 марта 2014.
30. Тейлор, Чак. «Преобразования датума с высокой точностью». Получено 5 марта 2014.