Второй закон Госсенса - Gossens second law - Wikipedia

Второй «закон» Госсена, названный в честь Герман Генрих Госсен (1810–1858), это утверждение, что экономический агент распределяет свои расходы таким образом, чтобы соотношение предельная полезность каждого хороший или же служба его цена (предельные затраты, необходимые для его приобретения) равна стоимости любого другого товара или услуги. Формально,

${\displaystyle {\frac {\partial U/\partial x_{i}}{p_{i}}}={\frac {\partial U/\partial x_{j}}{p_{j}}}~\forall \left(i,j\right)}$

куда

• ${\displaystyle U}$ является полезность
• ${\displaystyle x_{i}}$ количество ${\displaystyle i}$-й товар или услуга
• ${\displaystyle p_{i}}$ это цена ${\displaystyle i}$-й товар или услуга

Неформальное происхождение

Представьте себе, что агент потратил деньги на различные товары или услуги. Если последняя единица валюты, потраченная на товары или услуги одного вида, купила количество за меньше предельная полезность, чем та, которая была бы связана с количеством другого вида, которое можно было бы купить за деньги, тогда агент был бы лучше вместо того, чтобы покупать больше других товаров или услуг. Предполагая, что товары и услуги непрерывно делятся, единственный способ, при котором предельные затраты на один товар или услугу не должны приносить больше полезности, чем предельные затраты на другой (или наоборот), если предельные расходы дают равный полезность.

Формальное происхождение

Предположим, что полезность, товары и услуги обладают необходимыми свойствами, так что ${\displaystyle \partial U/\partial x_{i}}$ является хорошо определенный за каждый товар или услугу. Затем агент оптимизирует

${\displaystyle U\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$

при условии бюджетное ограничение

${\displaystyle W\geq \sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}\cdot x_{i}\right)}$

куда

• ${\displaystyle W}$ общая доступная сумма денег

Используя метод Множители Лагранжа, строится функция

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\lambda \right)=U\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)+\lambda \cdot \left[W-\sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}\cdot x_{i}\right)\right]}$

и находит условия первого порядка для оптимизации как

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}=0}$

(что просто означает, что все ${\displaystyle W}$ будет потрачено) и

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=0~~\forall i}$

так что

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}-\lambda \cdot p_{i}=0~~\forall i}$

что алгебраически эквивалентно

${\displaystyle {\frac {\partial U/\partial x_{i}}{p_{i}}}=\lambda ~~\forall i}$

Поскольку каждое такое отношение равно ${\displaystyle \lambda }$, все соотношения равны друг другу:

${\displaystyle {\frac {\partial U/\partial x_{i}}{p_{i}}}={\frac {\partial U/\partial x_{j}}{p_{j}}}~\forall \left(i,j\right)}$

(Обратите внимание, что, как и в случае любой максимизации с использованием условий первого порядка, уравнения будут выполняться только в том случае, если функция полезности удовлетворяет конкретным требованиям вогнутости и не имеет максимумов на краях набора, по которому выполняется максимизация.)

Смотрите также

• Портал экономики

• Законы Госсена
• Предельная полезность
• Маржинализм

Рекомендации

• Госсен, Герман Генрих; Die Entwicklung der Gesetze des menschlichen Verkehrs und der daraus fließenden Regeln für menschliches Handeln (1854 г.). Переведено на английский как Законы человеческих отношений и вытекающие из них правила человеческих действий (1983) MIT Press, ISBN  0-262-07090-1.