Градиентное векторное поле - Gradient-like vector field

В дифференциальная топология, математическая дисциплина, а точнее в Теория Морса, а градиентоподобное векторное поле является обобщением градиентное векторное поле.

Основная мотивация - это технический инструмент при построении Функции Морса, чтобы показать, что можно построить функцию, критические точки которой находятся на разных уровнях. Сначала строится функция Морса, затем используются векторные поля, подобные градиенту, для перемещения вокруг критических точек, в результате чего получается другая функция Морса.

Определение

Учитывая Функция Морса ж на коллекторе М, градиентоподобное векторное поле Икс для функции ж неофициально:

• вдали от критических точек, Икс указывает "в том же направлении, что и" градиент из е, и
• вблизи критической точки (в окрестности критической точки) он равен градиенту е, когда ж записывается в стандартной форме, приведенной в Леммы Морса.

Формально:^[1]

• вдали от критических точек, ${\displaystyle X\cdot f>0,}$
• вокруг каждой критической точки есть окрестности, на которых ж дается как в леммах Морса:

${\displaystyle f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\alpha }^{2}+x_{\alpha +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$

и на котором Икс равен градиенту f.

Динамическая система

Связанный динамическая система градиентоподобного векторного поля, a градиентоподобная динамическая система, является частным случаем Система Морса – Смейла.

Рекомендации

1. п. 63

• Введение в теорию Морса, Юкио Мацумото, 2002, раздел 2.3: векторные поля, подобные градиенту, п. 56–69
• Существуют градиентные векторные поля, 25 сентября 2009 г.