Гравитационная задача двух тел - Gravitational two-body problem

Для дальнейших соответствующих математических разработок см. Также Проблема двух тел, Орбита Кеплера, Проблема Кеплера, и Уравнение центра.

В гравитационный проблема двух тел касается движения двух точечных частиц, которые взаимодействуют только друг с другом, из-за сила тяжести. Это означает, что влияниями любого третьего тела можно пренебречь. Для приблизительных результатов это часто подходит. Это также означает, что два тела держатся подальше друг от друга, т.е. столкнуться, и одно тело не проходит через атмосфера. Даже если они это сделают, теория все еще верна для той части орбиты, где их нет. Помимо этих соображений, сферически-симметричное тело можно аппроксимировать точечной массой.

Общие примеры включают части космический полет где космический корабль не движется и атмосферные воздействия незначительны, а одиночное небесное тело в подавляющем большинстве случаев доминирует над гравитационным влиянием. Другими распространенными примерами являются орбита Луна вокруг планета, и планеты вокруг звезда, и две звезды, вращающиеся вокруг друг друга (a двойная звезда ).

Решение

В уменьшенная масса умноженное на относительное ускорение между двумя телами, равно силе тяжести. Последнее пропорционально произведению двух масс, которое равно приведенной массе, деленной на сумму масс. Таким образом, в дифференциальном уравнении два появления приведенной массы компенсируют друг друга, и мы получаем то же дифференциальное уравнение, что и для положения очень маленького тела, вращающегося вокруг тела с массой, равной сумме двух масс.

Два тела с одинаковой массой, вращающиеся вокруг общей барицентр с эллиптическими орбитами.

Два тела с небольшой разницей в масса вращаясь вокруг общего барицентр. Размеры и этот конкретный тип орбиты похожи на Плутон –Харон система.

Предполагать:

• вектор р положение одного тела относительно другого
• ${displaystyle r}$, ${displaystyle vequiv {frac {dr}{dt}}}$, то большая полуось ${displaystyle a}$, а удельный относительный угловой момент ${displaystyle h}$ определены соответственно (следовательно, ${displaystyle r}$ это расстояние)
• ${displaystyle h}$ это общая угловой момент делится на приведенную массу
• ${displaystyle mu =G(m_{1}+m_{2})}$, то стандартный гравитационный параметр (сумма для каждой массы)^[1]

куда:

• ${displaystyle m_{1}}$ и ${displaystyle m_{2}}$ - массы двух тел.

Потом:

• общее решение (см. также уравнение орбиты и задача двух тел для силы обратных квадратов ):

${displaystyle u( heta )equiv {frac {1}{r( heta )}}={frac {mu }{h^{2}}}(1+ecos( heta - heta _{0}))}$

для любых неотрицательных ${displaystyle e}$, называется эксцентриситет; Вот ${displaystyle heta }$ это истинная аномалия, который представляет собой угол между текущим положением орбитального объекта и местом на орбите, в котором он находится ближе всего к центральному телу (так называемый перицентр ).

• положение тел относительно барицентр находятся ${displaystyle m_{2}/(m_{1}+m_{2})}$ и ${displaystyle -m_{1}/(m_{1}+m_{2})}$ раз рсоответственно, поэтому орбиты двух тел равны похожий конические секции; те же соотношения применяются для скоростей, и, без минуса, для угловой момент а для кинетических энергий все по отношению к барицентру
• за круговые орбиты ${displaystyle rv^{2}=r^{3}omega ^{2}=4pi ^{2}r^{3}/T^{2}=mu }$
• за эллиптические орбиты: ${displaystyle 4pi ^{2}a^{3}/T^{2}=mu }$ (с а выражены в AU и Т в годы, и с M общая масса относительно массы Солнца, мы получаем ${displaystyle a^{3}/T^{2}=M}$)
• за параболические траектории ${displaystyle rv^{2}}$ постоянна и равна ${displaystyle 2mu }$
• формулы для удельная орбитальная энергия ${displaystyle epsilon }$ применяют с удельной потенциальной и кинетической энергией и их суммой, взятой как общее для системы, деленной на приведенную массу; кинетическая энергия меньшего тела больше; потенциальная энергия всей системы равна потенциальной энергии одного тела по отношению к другому, то есть за вычетом энергии, необходимой для выхода из другого тела, если другое удерживается в фиксированном положении; это не следует путать с меньшим количеством энергии, которое необходимо одному телу, чтобы убежать, если другое тело также удаляется, в противоположном направлении: в этом случае общая энергия, необходимая двоим для того, чтобы убежать друг от друга, такая же, как и вышеупомянутое количество ; сохранение энергии для каждой массы означает, что увеличение кинетической энергии сопровождается уменьшением потенциальной энергии, которая для каждой массы является внутренним произведением силы и изменением положения относительно центра масс, а не относительно другой массы.
• для эллиптических и гиперболических орбит ${displaystyle mu =2amid epsilon mid }$

Например, рассмотрим два тела, похожие на Солнце, вращающиеся друг вокруг друга:

• приведенная масса составляет половину массы одного Солнца (четверть общей массы)
• на расстоянии 1 а. е .: орбитальный период является ${displaystyle {1 over 2}{sqrt {2}}}$ год, такой же, как орбитальный период Земли, если бы Солнце имело вдвое больше фактической массы; полная энергия на кг приведенной массы (90 МДж / кг) вдвое больше, чем у системы Земля – Солнце (45 МДж / кг); полная энергия на кг общей массы (22,5 МДж / кг) составляет половину полной энергии на кг массы Земли в системе Земля-Солнце (45 МДж / кг)
• на расстоянии 2 а.е. (каждая движется по орбите, подобной орбите Земли вокруг Солнца): период обращения составляет 2 года, то же самое, что и период обращения Земли, если бы Солнце имело одну четверть своей фактической массы
• на расстоянии ${displaystyle {sqrt[{3}]{2}}approx 1.26}$ AU: период обращения 1 год, такой же, как период обращения Земли вокруг Солнца.

Точно так же вторая Земля на расстоянии от Земли, равном ${displaystyle {sqrt[{3}]{2}}}$ раз больше обычного расстояния геосинхронные орбиты будет геосинхронным.

Примеры

Любой Классическая система двух частиц по определению представляет собой задачу двух тел. Однако во многих случаях одна частица значительно тяжелее другой, например, земной шар и солнце. В таких случаях более тяжелая частица находится приблизительно в центре масс, а уменьшенная масса приблизительно равна более легкой массе. Следовательно, более тяжелую массу можно грубо рассматривать как фиксированный центр силы, а движение более легкой массы можно решать непосредственно методами одного тела.

В других случаях, однако, массы двух тел примерно равны, так что ни одно из них не может быть аппроксимировано как покоящееся. Астрономические примеры включают:

• а двойная звезда, например Альфа Центавра (примерно такая же масса)
• а двойная планета, например Плутон с его луной Харон (массовое отношение 0,147)
• а двойной астероид, например 90 Антиопа (примерно такая же масса)

Смотрите также

• Орбита Кеплера
• Законы движения планет Кеплера
• Теорема вириала
• Проблема трех тел
• проблема н-тела
• Теорема Бертрана
• Проблема Кеплера

Примечания

1. Обратите внимание, что μ - это нет то уменьшенная масса на этой странице.