Теорема Бертрана - Bertrands theorem - Wikipedia

Джозеф Бертран

В классическая механика, Теорема Бертрана заявляет, что среди центральная сила потенциалы со связанными орбитами есть только два типа центральная сила (радиальный) скалярные потенциалы со свойством, что все связанные орбиты также закрытые орбиты.^[1][2]

Первый такой потенциал - это центральная сила, обратная квадрату такой как гравитационный или же электростатический потенциал:

${\displaystyle V(r)=-{\frac {k}{r}}}$ возникший из-за силы ${\displaystyle f(r)=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {k}{r^{2}}}}$.

Второй - это генератор радиальных гармоник потенциал:

${\displaystyle V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}}$ с силой ${\displaystyle f(r)=-{\frac {dV}{dr}}=-kr}$.

Теорема названа в честь ее первооткрывателя, Джозеф Бертран.

Описание

Небольшие изменения в мощности силы, масштабируемой с расстоянием, приведут к существенно иному виду орбит.

Все привлекательно центральные силы может производить круговой орбиты, которые естественно закрытые орбиты. Единственное требование - чтобы центральная сила была точно равна центростремительная сила, который определяет требуемую угловую скорость для заданного радиуса окружности. Нецентральные силы (т. Е. Те, которые зависят от угловых переменных, а также от радиуса) здесь игнорируются, поскольку они не создают круговых орбит в целом.

Уравнение движения для радиуса р частицы массы м переезд в центральный потенциал V(р) дан кем-то уравнения движения

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}},}$

куда ${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}}$, а угловой момент L = Мистер²ω сохраняется. Для иллюстрации первый член слева равен нулю для круговых орбит, а приложенная внутрь сила ${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}}$ равно требование центростремительной силы Мистерω², как и ожидалось.

Определение угловой момент позволяет заменить независимую переменную из т к θ:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }},}$

давая новое уравнение движения, которое не зависит от времени:

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}.}$

Это уравнение становится квазилинейным при замене переменных ${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}$ и умножая обе части на ${\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}}$ (смотрите также Уравнение Бине ):

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right).}$

Как отмечалось выше, все центральные силы может производить круговые орбиты при соответствующей начальной скорости. Однако, если вводится некоторая радиальная скорость, эти орбиты не обязательно должны быть стабильными (то есть оставаться на орбите бесконечно) или замкнутыми (многократно возвращаться на точно такой же путь). Здесь мы показываем, что стабильные, точно замкнутые орбиты могут быть созданы только с помощью силы обратных квадратов или потенциала радиального гармонического осциллятора (a необходимое условие ). В следующих разделах мы покажем, что эти законы силы действительно производят стабильные, точно замкнутые орбиты (а достаточное условие ).

Определять J(ты) в качестве

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)\equiv -{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {m}{L^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right),}$

куда ж представляет радиальную силу. Критерий идеального круговой движение по радиусу р₀ состоит в том, что первый член слева равен нулю:

${\displaystyle u_{0}=J(u_{0})=-{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right),}$

(1)

куда ${\displaystyle u_{0}\equiv 1/r_{0}}$.

Следующим шагом является рассмотрение уравнения для ты под небольшие возмущения ${\displaystyle \eta \equiv u-u_{0}}$ с идеально круговых орбит. Справа J функция может быть расширена в стандартной Серия Тейлор:

${\displaystyle J(u)\approx J(u_{0})+\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots }$

Подставляя это разложение в уравнение для ты и вычитание постоянных членов дает

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots ,}$

который можно записать как

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots ,}$

(2)

куда ${\displaystyle \beta ^{2}\equiv 1-J'(u_{0})}$ является константой. β² должен быть неотрицательным; в противном случае радиус орбиты будет экспоненциально отличаться от своего начального радиуса. (Решение β = 0 соответствует идеально круговой орбите.) Если правой частью можно пренебречь (т. Е. Для малых возмущений), решениями будут

${\displaystyle \eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta ),}$

где амплитуда час₁ постоянная интегрирования. Чтобы орбиты были замкнутыми, β должно быть Рациональное число. Более того, это должно быть одно и тоже рациональное число для всех радиусов, так как β не может изменяться непрерывно; то рациональное число находятся полностью отключен от другого. Используя определение J вместе с уравнением (1),

${\displaystyle J'(u_{0})={\frac {2}{u_{0}}}\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)\right]-\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)\right]{\frac {1}{f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}{\frac {df}{du}}=-2+{\frac {u_{0}}{f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}{\frac {df}{du}}=1-\beta ^{2},}$

куда ${\displaystyle {\frac {df}{du}}}$ оценивается в ${\displaystyle 1/u_{0}}$. Поскольку это должно выполняться для любого значения ты₀,

${\displaystyle {\frac {df}{dr}}=(\beta ^{2}-3){\frac {f}{r}},}$

что означает, что сила должна следовать сила закона

${\displaystyle f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}.}$

Следовательно, J должен иметь общий вид

${\displaystyle J(u)={\frac {mk}{L^{2}}}u^{1-\beta ^{2}}.}$

(3)

Для более общих отклонений от округлости (т. Е. Когда мы не можем пренебречь членами более высокого порядка в разложении Тейлора J), η можно разложить в ряд Фурье, например,

${\displaystyle \eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos \beta \theta +h_{2}\cos 2\beta \theta +h_{3}\cos 3\beta \theta +\cdots }$

Подставляем это в уравнение (2) и приравнять коэффициенты, принадлежащие одной частоте, сохраняя только члены самого низкого порядка. Как мы покажем ниже, час₀ и час₂ меньше чем час₁, будучи в порядке ${\displaystyle h_{1}^{2}}$. час₃, и все остальные коэффициенты не менее порядка ${\displaystyle h_{1}^{3}}$. Это имеет смысл, поскольку ${\displaystyle h_{0},h_{2},h_{3},\ldots }$ все должно исчезнуть быстрее, чем час₁ по мере приближения к круговой орбите.

${\displaystyle h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{4\beta ^{2}}},}$

${\displaystyle h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{12\beta ^{2}}},}$

${\displaystyle h_{3}=-{\frac {1}{8\beta ^{2}}}\left[h_{1}h_{2}{\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{24}}\right].}$

Из члена cos (βθ) получаем

${\displaystyle 0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{8}}={\frac {h_{1}^{3}}{24\beta ^{2}}}\left(3\beta ^{2}J'''(u_{0})+5J''(u_{0})^{2}\right),}$

где на последнем шаге мы подставили значения час₀ и час₂.

Используя уравнения (3) и (1), можно вычислить вторую и третью производные от J оценивается в ты₀:

${\displaystyle J''(u_{0})=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0}}},}$

${\displaystyle J'''(u_{0})={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2}}}.}$

Подстановка этих значений в последнее уравнение дает основной результат Теорема Бертрана:

${\displaystyle \beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0.}$

Следовательно, единственный потенциалы которые могут создавать устойчивые замкнутые некруглые орбиты, - это силовой закон обратных квадратов (β = 1) и потенциал радиального гармонического осциллятора (β = 2). Как отмечалось выше, решение β = 0 соответствует идеально круговым орбитам.

Классические потенциалы поля

Для закона обратной квадрата силы, такого как гравитационный или же электростатический потенциал, то потенциал можно написать

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku.}$

Орбита ты(θ) может быть получена из общего уравнения

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)={\frac {km}{L^{2}}},}$

решение которой - постоянная ${\displaystyle {\frac {km}{L^{2}}}}$ плюс простая синусоида:

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}[1+e\cos(\theta -\theta _{0})],}$

куда е (в эксцентриситет) и θ₀ (в фазовый сдвиг) - константы интегрирования.

Это общая формула для коническая секция который имеет один фокус в начале координат; е = 0 соответствует круг, е <1 соответствует эллипсу, е = 1 соответствует парабола, и е > 1 соответствует гипербола. Эксцентричность е относится к общей энергия E (видеть Вектор Лапласа – Рунге – Ленца. ):

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}.}$

Сравнение этих формул показывает, что E <0 соответствует эллипсу, E = 0 соответствует парабола, и E > 0 соответствует гипербола. Особенно, ${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}}$ для совершенно круговой орбиты.

Гармонический осциллятор

Решить для орбиты под радиальный гармонический осциллятор потенциал, с ним легче работать составные части р = (Икс, у, z). Потенциал можно записать как

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2}).}$

Уравнение движения частицы массы м задается тремя независимыми Уравнения Эйлера:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=0,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}z=0,}$

где постоянная ${\displaystyle \omega _{0}^{2}\equiv {\frac {k}{m}}}$ должен быть положительным (т.е. k > 0) для обеспечения ограниченных замкнутых орбит; иначе частица улетит в бесконечность. Решения этих простой гармонический осциллятор уравнения все похожи:

${\displaystyle x=A_{x}\cos(\omega _{0}t+\phi _{x}),}$

${\displaystyle y=A_{y}\cos(\omega _{0}t+\phi _{y}),}$

${\displaystyle z=A_{z}\cos(\omega _{0}t+\phi _{z}),}$

где положительные постоянные А_Икс, А_у и А_z представляют амплитуды колебаний, а углы φ_Икс, φ_у и φ_z представляют их фазы. Результирующая орбита р(т) = [Икс(т), у(у), z(т)] закрывается, потому что он повторяется ровно через один период

${\displaystyle T\equiv {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}.}$

Система также устойчива, поскольку небольшие возмущения амплитуд и фаз вызывают, соответственно, небольшие изменения общей орбиты.

Рекомендации

1. Бертран Дж. (1873 г.). "Теорема относительна к движению единой точки против центра фиксации". C. R. Acad. Наука. 77: 849–853.
2. Джонсон, Портер Уир (24 февраля 2010 г.). Классическая механика с приложениями. World Scientific. С. 149–. ISBN  9789814304153. Получено 2 декабря 2012.

дальнейшее чтение

• Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-02918-5.
• Santos, F.C .; Соарес, В .; Торт, А. С. (2011). «Английский перевод теоремы Бертрана». Латиноамериканский журнал физического образования. 5 (4): 694–696. arXiv:0704.2396. Bibcode:2007arXiv0704.2396S.