Уравнение Бине - Binet equation - Wikipedia

В Уравнение Бине, полученный Жак Филипп Мари Бине, обеспечивает форму центральная сила учитывая форму орбитальное движение в самолете полярные координаты. Уравнение также можно использовать для получения формы орбиты для данного закона силы, но это обычно включает решение второго порядка нелинейный обыкновенное дифференциальное уравнение. Однозначное решение невозможно в случае круговое движение о центре силы.

Уравнение

Форму орбиты часто удобно описывать в терминах относительного расстояния. ${\displaystyle r}$ как функция угла ${\displaystyle \theta }$ . Вместо этого для уравнения Бине форма орбиты более кратко описывается обратным ${\displaystyle u=1/r}$ как функция ${\displaystyle \theta }$. Определим удельный угловой момент как ${\displaystyle h=L/m}$ куда ${\displaystyle L}$ это угловой момент и ${\displaystyle m}$ масса. Уравнение Бине, выведенное в следующем разделе, дает силу в терминах функции ${\displaystyle u(\theta )}$:

${\displaystyle F({u}^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right).}$

Вывод

Второй закон Ньютона для чисто центральной силы

${\displaystyle F(r)=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}).}$

В сохранение углового момента требует, чтобы

${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{constant}}.}$

Производные ${\displaystyle r}$ относительно времени могут быть переписаны как производные от ${\displaystyle u=1/r}$ по углу:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Комбинируя все вышеперечисленное, получаем

${\displaystyle F=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$

Примеры

Проблема Кеплера

Традиционный Проблема Кеплера расчета орбиты закон обратных квадратов может быть прочитан из уравнения Бине как решение дифференциального уравнения

${\displaystyle -ku^{2}=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {k}{mh^{2}}}\equiv {\text{constant}}>0.}$

Если угол ${\displaystyle \theta }$ измеряется от перицентр, то общее решение для орбиты, выраженное в (обратных) полярных координатах, имеет вид

${\displaystyle lu=1+\varepsilon \cos \theta .}$

Приведенное выше полярное уравнение описывает конические секции, с ${\displaystyle l}$ то полу-латус прямой кишки (равно ${\displaystyle h^{2}/\mu =h^{2}m/k}$) и ${\displaystyle \varepsilon }$ то орбитальный эксцентриситет.

Релятивистское уравнение, полученное для Координаты Шварцшильда является^[1]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}}$

куда ${\displaystyle c}$ это скорость света и ${\displaystyle r_{s}}$ это Радиус Шварцшильда. И для Метрика Рейсснера – Нордстрема мы получим

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)}$

куда ${\displaystyle Q}$ это электрический заряд и ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ это диэлектрическая проницаемость вакуума.

Обратная задача Кеплера

Рассмотрим обратную задачу Кеплера. Какого рода закон силы производит некруглое эллиптическая орбита (или, в более общем смысле, некруглое коническая секция ) вокруг фокус эллипса ?

Дважды дифференцируя указанное выше полярное уравнение для эллипса, получаем

${\displaystyle l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-\varepsilon \cos \theta .}$

Следовательно, закон силы

${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{\frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},}$

что является ожидаемым законом обратных квадратов. Соответствие орбитали ${\displaystyle h^{2}/l=\mu }$ к физическим ценностям, таким как ${\displaystyle GM}$ или же ${\displaystyle k_{e}q_{1}q_{2}/m}$ воспроизводит Закон всемирного тяготения Ньютона или же Закон Кулона, соответственно.

Эффективная сила для координат Шварцшильда равна^[2]

${\displaystyle F=-GMmu^{2}\left(1+3\left({\frac {hu}{c}}\right)^{2}\right)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+3\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right)}$.

где второй член представляет собой силу обратной четвертичной степени, соответствующую квадрупольным эффектам, таким как угловой сдвиг перицентр (Его также можно получить через запаздывающие потенциалы^[3]).

в параметризованный постньютоновский формализм мы получим

${\displaystyle F=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+(2+2\gamma -\beta )\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right)}$.

куда ${\displaystyle \gamma =\beta =1}$ для общая теория относительности и ${\displaystyle \gamma =\beta =0}$ в классическом случае.

Cotes спирали

Закон силы обратного куба имеет вид

${\displaystyle F(r)=-{\frac {k}{r^{3}}}.}$

Формы орбит закона обратного куба известны как Cotes спирали. Уравнение Бине показывает, что орбиты должны быть решениями уравнения

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {ku}{mh^{2}}}=Cu.}$

Дифференциальное уравнение имеет три вида решений, аналогично различным коническим разделам задачи Кеплера. Когда ${\displaystyle C<1}$, решением является эпспиральный, в том числе патологический случай прямой, когда ${\displaystyle C=0}$. Когда ${\displaystyle C=1}$, решением является гиперболическая спираль. Когда ${\displaystyle C>1}$ решение Спираль Пуансо.

Внеосевое круговое движение

Хотя уравнение Бине не может дать уникальный силовой закон для кругового движения вокруг центра силы, уравнение может обеспечить силовой закон, когда центр круга и центр силы не совпадают. Рассмотрим, например, круговую орбиту, которая проходит прямо через центр силы. (Обратное) полярное уравнение для такой круговой орбиты диаметром ${\displaystyle D}$ является

${\displaystyle D\,u(\theta )=\sec \theta .}$

Дифференцировать ${\displaystyle u}$ дважды и используя Пифагорейская идентичность дает

${\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u.}$

Таким образом, закон силы

${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}u^{5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}{r^{5}}}.}$

Отметим, что решение общей обратной задачи - построение орбит притягивающего ${\displaystyle 1/r^{5}}$ силового закона, является значительно более сложной задачей, потому что она эквивалентна решению

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=Cu^{3}}$

которое является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Смотрите также

• Квантование Бора – Зоммерфельда # Релятивистская орбита
• Классическая проблема центральной силы
• Общая теория относительности
• Задача двух тел в общей теории относительности
• Теорема Бертрана

Рекомендации

1. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2010-06-19. Получено 2010-11-15.
2. http://chaos.swarthmore.edu/courses/PDG07/AJP/AJP000352.pdf - Орбитальное уравнение первого порядка
3. Бехера, Харихар; Найк, П. С. (2003). «Релятивистское объяснение плоского пространства-времени для продвижения перигелия Меркурия». arXiv:Astro-ph / 0306611.