Классическая проблема центральной силы - Classical central-force problem - Wikipedia

В классическом теория потенциала, то проблема центральной силы состоит в том, чтобы определить движение частицы за один центральное потенциальное поле. Центральная сила - это сила (возможно, отрицательная), которая направлена ​​от частицы прямо к фиксированной точке в пространстве, центру, и величина которой зависит только от расстояния объекта до центра. Во многих важных случаях проблема может быть решена аналитически, т.е. в терминах хорошо изученных функций, таких как тригонометрические функции.

Решение этой проблемы важно для классическая механика, так как многие естественные силы являются центральными. Примеры включают гравитацию и электромагнетизм, как описано Закон всемирного тяготения Ньютона и Закон Кулона, соответственно. Проблема важна еще и потому, что некоторые более сложные задачи классической физики (например, проблема двух тел с силами вдоль линии, соединяющей два тела) можно свести к задаче о центральной силе. Наконец, решение проблемы центральной силы часто дает хорошее начальное приближение к истинному движению, как при вычислении движения планет в Солнечная система.

Основы

Суть проблемы центральной силы состоит в том, чтобы решить позиция р^{[примечание 1]} частицы, движущейся под действием центральная сила F, либо как функция времени т или как функция угла φ относительно центра силы и произвольной оси.

Определение центральной силы

Центральная сила притяжения, действующая на тело в положении п (показаны красным). По определению центральная сила должна быть направлена ​​либо на фиксированную точку. О (если привлекательный) или вдали от него (если отталкивает).

Смотрите также: Центральная сила и Обозначение Ньютона

Консервативная центральная сила F имеет два определяющих свойства.^[1] Во-первых, он должен направлять частицы либо прямо к, либо прямо от фиксированной точки в пространстве, центра силы, который часто обозначается О. Другими словами, центральная сила должна действовать вдоль линии, соединяющей О с текущим положением частицы. Во-вторых, консервативная центральная сила зависит только от расстояния р между О и движущаяся частица; он не зависит явно от времени или других дескрипторов положения.

Это двойное определение можно выразить математически следующим образом. Центр силы О можно выбрать в качестве источник системы координат. Вектор р присоединение О к настоящему положению частицы известно как вектор положения. Следовательно, центральная сила должна иметь математическую форму^[2]

${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$

куда р - величина вектора |р| (расстояние до центра силы) и р = р/ r - соответствующий единичный вектор. В соответствии с Второй закон движения Ньютона центральная сила F генерирует параллельное ускорение а масштабируется по массе м частицы^{[заметка 2]}

${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}=m\mathbf {a} =m{\ddot {\mathbf {r} }}}$

Для сил притяжения, F (r) отрицательный, потому что он сокращает расстояние р в центр. И наоборот, для сил отталкивания F (r) положительный.

Потенциальная энергия

Смотрите также: Кинетическая энергия и Потенциальная энергия

Если центральная сила консервативная сила, то величина F(р) центральной силы всегда можно выразить как производную не зависящей от времени потенциальная энергия функция U(р)^[3]

${\displaystyle F(r)=-{\frac {dU}{dr}}}$

Таким образом, полная энергия частицы - сумма ее кинетическая энергия и это потенциальная энергия U- постоянная; энергия считается консервированный. Чтобы это показать, достаточно, чтобы работай W сила зависит только от начальной и конечной позиций, а не от пути, пройденного между ними.

${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}F(r){\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =\int _{r_{1}}^{r_{2}}Fdr=U(r_{1})-U(r_{2})}$

В равной степени достаточно, чтобы завиток силового поля F равно нулю; с помощью формула ротора в сферических координатах,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial F}{\partial \varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial F}{\partial \theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=0}$

поскольку частные производные равны нулю для центральной силы; величина F не зависит от углового сферические координаты θ и φ.

Поскольку скалярный потенциал V(р) зависит только от расстояния р к происхождению, он имеет сферическая симметрия. В этом отношении проблема центральной силы аналогична задаче Геодезические Шварцшильда в общая теория относительности и к квантово-механический лечение частицы в потенциалах сферической симметрии.

Одномерная проблема

Если начальная скорость v частицы выровнен с вектором положения р, то движение навсегда останется на линии, определяемой р. Это следует потому, что сила, а по второму закону Ньютона также ускорение а- также соответствует р. Чтобы определить это движение, достаточно решить уравнение

${\displaystyle m{\ddot {r}}=F(r)}$

Один из методов решения - использовать сохранение полной энергии

${\displaystyle |{\dot {r}}|={\Big |}{\frac {dr}{dt}}{\Big |}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)}}}$

Взяв взаимность и интегрируя, мы получим:

${\displaystyle |t-t_{0}|={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int {\frac {|dr|}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)}}}}$

В оставшейся части статьи предполагается, что начальная скорость v частицы не выровнена с вектором положения р, т. е. что угловой момент вектор L = р × м v не равно нулю.

Равномерное круговое движение

Каждая центральная сила может производить равномерное круговое движение при условии, что начальный радиус р и скорость v удовлетворяют уравнению для центростремительная сила

${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{r}}=F(r)}$

Если это уравнение выполняется в начальные моменты, оно будет выполняться во все более поздние моменты; частица продолжит движение по кругу радиуса р на скорости v навсегда.

Связь с классической задачей двух тел

Позиции Икс₁ и Икс₂ двух тел можно выразить через их относительное разделение р и положение их центра масс р_см.

Смотрите также: Проблема двух тел

Проблема центральной силы касается идеальной ситуации («проблема одного тела»), в которой отдельная частица притягивается или отталкивается от неподвижной точки. О, центр силы.^[4] Однако физические силы обычно действуют между двумя телами; и по третьему закону Ньютона, если первое тело прикладывает силу ко второму, второе тело прикладывает равную и противоположную силу к первому. Следовательно, оба тела ускоряются, если между ними присутствует сила; нет совершенно неподвижного центра силы. Однако если одно тело в подавляющем большинстве массивнее другого, его ускорением относительно другого можно пренебречь; центр более массивного тела можно рассматривать как приблизительно неподвижный.^[5] Например, Солнце намного массивнее, чем планета Меркурий; следовательно, Солнце можно представить как неподвижный центр силы, сводя проблему к движению Меркурия в ответ на силу, приложенную Солнцем. В действительности, однако, Солнце также движется (хотя и незначительно) в ответ на силу, приложенную планетой Меркурий.

Любую классическую задачу двух тел преобразовать в эквивалентную задачу одного тела. Масса μ одного эквивалентного тела равна приведенной массе двух исходных тел, а его положение р равно разнице их позиций.

Однако такие приближения не нужны. Законы движения Ньютона позволяют преобразовать любую классическую задачу двух тел в соответствующую точную задачу одного тела.^[6] Чтобы продемонстрировать это, пусть Икс₁ и Икс₂ - положения двух частиц, и пусть р = Икс₁ − Икс₂ быть их относительным положением. Тогда по второму закону Ньютона

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{21}}$

Окончательное уравнение выводится из Третий закон Ньютона; сила второго тела на первом теле (F₂₁) равна и противоположна силе первого тела на второе (F₁₂). Таким образом, уравнение движения для р можно записать в виде

${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} }$

куда ${\displaystyle \mu }$ это уменьшенная масса

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

Как частный случай, задача о взаимодействии двух тел центральная сила можно свести к проблеме центральной силы одного тела.

Качественные свойства

Плоское движение

Иллюстрация плоского движения. Вектор момента количества движения L постоянно; следовательно, вектор положения р и вектор скорости v должен лежать в желтой плоскости перпендикулярно L.

Смотрите также: Угловой момент

Движение частицы под действием центральной силы F всегда остается в плоскости, определяемой его начальным положением и скоростью.^[7] Это можно увидеть по симметрии. Поскольку позиция р, скорость v и сила F все лежат в одной плоскости, никогда не бывает ускорения, перпендикулярного этой плоскости, потому что это нарушило бы симметрию между «над» плоскостью и «под» плоскостью.

Чтобы продемонстрировать это математически, достаточно показать, что угловой момент частицы постоянна. Этот угловой момент L определяется уравнением

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$

куда м - масса частицы и п это его линейный импульс.^{[заметка 3]} Следовательно, вектор углового момента L всегда перпендикулярна плоскости, определяемой вектором положения частицы р и вектор скорости v.^{[примечание 4]}

В целом скорость изменения углового момента L равен чистому крутящему моменту р × F^[8]

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,}$

Первый срок м v × v всегда равен нулю, потому что вектор перекрестное произведение всегда равен нулю для любых двух векторов, указывающих в одном или противоположных направлениях. Однако когда F центральная сила, оставшийся член р × F также равен нулю, поскольку векторы р и F точки в одном или противоположных направлениях. Следовательно, вектор углового момента L постоянно. потом

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\mathbf {p} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {r} )=0}$

Следовательно, положение частицы р (и, следовательно, скорость v) всегда лежит в плоскости, перпендикулярной L.^[9]

Полярные координаты

Вектор положения р точки п в плоскости можно определить по его расстоянию р от центра (начало О) и его азимутальным углом φ. В Икс и у Декартовы компоненты вектора равны р cos φ и р sin φ соответственно.

Смотрите также: Полярная система координат

Поскольку движение плоское, а сила радиальная, принято переходить на полярные координаты.^[9] В этих координатах вектор положения р представлен через радиальное расстояние р и азимутальный угол φ.

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}$

Взяв первую производную по времени, получаем вектор скорости частицы v

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )}$

Аналогично вторая производная от положения частицы р равно его ускорению а

${\displaystyle \mathbf {a} ={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$

Скорость v и ускорение а можно выразить через единичные радиальные и азимутальные векторы. Радиальный единичный вектор получается делением вектора положения р по величине р, как описано выше

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}$

Азимутальный единичный вектор определяется как^{[примечание 5]}

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )}$

Таким образом, скорость можно записать как

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{r}\mathbf {\hat {r}} +v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$

тогда как ускорение равно

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{r}\mathbf {\hat {r}} +a_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})\mathbf {\hat {r}} +(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$

Удельный угловой момент

Удельный угловой момент час равна скорости v раз р_⊥, компонента вектора положения р перпендикулярно вектору скорости v. час также равно радиальному расстоянию р умножить на азимутальную составляющую v_φ скорости. Обе эти формулы равны rv cos β.

Смотрите также: Удельный относительный угловой момент

С F = ма вторым законом движения Ньютона и поскольку F центральная сила, то только радиальная составляющая ускорения а может быть ненулевым; угловая составляющая а_φ должен быть нулевым

${\displaystyle a_{\varphi }=2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}=0}$

Следовательно,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right)=r(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }})=ra_{\varphi }=0}$

Это выражение в скобках обычно обозначают час

${\displaystyle h=r^{2}{\dot {\varphi }}=rv_{\varphi }=\left|\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right|=vr_{\perp }={\frac {L}{m}}}$

что равно скорость v раз р_⊥, составляющая радиус-вектора, перпендикулярная скорости. час это величина удельный угловой момент потому что он равен величине L углового момента, деленного на массу м частицы.

Для краткости угловую скорость иногда записывают ω

${\displaystyle \omega ={\dot {\varphi }}={\frac {d\varphi }{dt}}}$

Однако не следует предполагать, что ω постоянна. С час постоянна, ω изменяется с радиусом р в соответствии с формулой^[10]

${\displaystyle \omega ={\frac {h}{r^{2}}}}$

С час постоянно и р² положительна, угол φ изменяется монотонно в любой задаче с центральной силой, либо непрерывно увеличиваясь (час положительный) или непрерывно убывающий (час отрицательный).^[11]

Постоянная площадная скорость

Поскольку область А равно¹⁄₂ р_⊥vt, площадная скорость dA/dt (скорость, с которой А выметается частицей) равно¹⁄₂ р_⊥v = ​¹⁄₂час.

Смотрите также: Ареальная скорость

Величина час также в два раза больше площадная скорость, которая представляет собой скорость, с которой область выметается частицей относительно центра.^[12] Таким образом, поверхностная скорость постоянна для частицы, на которую действует центральная сила любого типа; это Второй закон Кеплера.^[13] И наоборот, если движение под действием консервативной силы F плоская и имеет постоянную площадную скорость для всех начальных условий радиуса р и скорость v, то азимутальное ускорение а_φ всегда равен нулю. Следовательно, по второму закону Ньютона F = ма, сила является центральной силой.

Постоянство площадной скорости можно проиллюстрировать равномерным круговым и линейным движением. При равномерном круговом движении частица движется с постоянной скоростью. v по окружности круга радиуса р. Поскольку угловая скорость ω = v/р постоянна, площадь, заметаемая за время Δт равно ω р²Δт; следовательно, равные площади выметаются за равное время Δт. При равномерном линейном движении (т. Е. Движении в отсутствие силы по первому закону движения Ньютона) частица движется с постоянной скоростью, то есть с постоянной скоростью v по линии. За время Δт, частица выметает область¹⁄₂vΔtr_⊥ (в прицельный параметр ).^{[примечание 6]} Расстояние р_⊥ не меняется при движении частицы по линии; представляет собой расстояние наибольшего приближения линии к центру О (в прицельный параметр ). Поскольку скорость v также неизменна, площадная скорость¹⁄₂vr_⊥ постоянная движения; частица сметает равные площади за равное время.

Площадь А кругового сектора равна¹⁄₂ р²φ =¹⁄₂ р²ωт = ​¹⁄₂ р v_φт. Следовательно, площадная скорость dA / dt равно¹⁄₂ р v_φ = ​¹⁄₂ час. Для равномерного кругового движения р и v_φ постоянны; таким образом, dA / dt также постоянна.

Эквивалентное параллельное силовое поле

Преобразованием переменных^[14] любая проблема центральной силы может быть преобразована в эквивалентную задачу параллельной силы.^{[примечание 7]} Вместо обычного Икс и у Декартовы координаты, две новые переменные положения ξ = Икс/у и η = 1 /у определены, как и новая временная координата τ

${\displaystyle \tau =\int {\frac {dt}{y^{2}}}}$

Соответствующие уравнения движения для ξ и η имеют вид

${\displaystyle {\frac {d\xi }{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {x}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}=\left({\frac {{\dot {x}}y-{\dot {y}}x}{y^{2}}}\right)y^{2}=-h}$

${\displaystyle {\frac {d\eta }{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}=-{\frac {\dot {y}}{y^{2}}}y^{2}=-{\dot {y}}}$

Поскольку скорость изменения ξ постоянна, его вторая производная равна нулю.

${\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=0}$

Поскольку это ускорение в направлении ξ и поскольку F=ма по второму закону Ньютона следует, что сила в направлении ξ равна нулю. Следовательно, сила действует только в направлении η, что является критерием для задачи параллельных сил. Явно ускорение в направлении η равно

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}={\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\eta }{d\tau }}\right)=-y^{2}{\ddot {y}}=-{\frac {y^{3}}{mr}}F(r)}$

потому что ускорение в у-направление равно

${\displaystyle {\ddot {y}}={\frac {1}{m}}F_{y}={\frac {1}{m}}F(r)\,{\frac {y}{r}}}$

Здесь, F_у обозначает у-компонент центральной силы, и у/р равен косинусу угла между у-ось и радиальный вектор р.

Общее решение

Уравнение Бине

Смотрите также: Уравнение Бине

Поскольку центральная сила F действует только по радиусу, отлична от нуля только радиальная составляющая ускорения. По второму закону движения Ньютона величина F равна массе м частицы, умноженной на величину ее радиального ускорения^[15]

${\displaystyle F(r)=m{\ddot {r}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {mh^{2}}{r^{3}}}}$

Это уравнение имеет коэффициент интегрирования ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(r)\,dr&=F(r){\frac {dr}{dt}}\,dt\\&=m\left({\frac {dr}{dt}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {h^{2}}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\right)\,dt\\&={\frac {m}{2}}\,d\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}$

Интегрирование урожайности

${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {m}{2}}\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]}$

Если час не равно нулю, независимая переменная может быть изменена с т к ϕ^[16]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}=\omega {\frac {d}{d\varphi }}={\frac {h}{r^{2}}}{\frac {d}{d\varphi }}}$

давая новое уравнение движения^[17]

${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {mh^{2}}{2}}\left[\left(-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {1}{r}}\right)^{2}\right]}$

Делаем замену переменных на обратный радиус ты = 1/р^[17] дает

${\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}=C-u^{2}-G\left(u\right)}$

(1)

куда C - постоянная интегрирования, а функция грамм(ты) определяется

${\displaystyle G(u)=-{\frac {2}{mh^{2}}}\int ^{\frac {1}{u}}F(r)\,dr}$

Это уравнение становится квазилинейным при дифференцировании на ϕ

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {1}{mh^{2}u^{2}}}F(1/u)}$

Это известно как Уравнение Бине. Интегрируя (1) дает решение для ϕ^[18]

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{\frac {1}{r}}{\frac {du}{\sqrt {C-u^{2}-G(u)}}}}$

куда ϕ₀ - еще одна постоянная интеграции. Проблема центральной силы называется "интегрируемой", если это окончательное интегрирование может быть решено в терминах известных функций.

Орбита частицы

Полная энергия системы E_малыш равна сумме потенциальной энергии и кинетической энергии^[19]

${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+U(r)={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {mh^{2}}{2r^{2}}}+U(r)}$

Поскольку полная энергия постоянна, скорость изменения р можно рассчитать^[20]

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {mh^{2}}{2r^{2}}}}}}$

который может быть преобразован (как и раньше) в производную от р относительно азимутального угла φ^[17]

${\displaystyle {\frac {dr}{d\varphi }}={\frac {r^{2}}{h}}{\frac {dr}{dt}}}$

Интегрируя и используя формулу углового момента L=mh дает формулу^[21]

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$

что указывает на то, что угловой момент дает эффективную потенциальную энергию^[22]

${\displaystyle U_{\mathrm {eff} }=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$

Замена переменной интегрирования на обратный радиус дает интеграл^[23]

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}E_{\mathrm {tot} }-{\frac {2m}{L^{2}}}U(1/u)-u^{2}}}}}$

который выражает указанные выше константы C = 2мне_малыш/L² и грамм(ты) = 2мЮ(1/ты)/L² выше по полной энергии E_малыш и потенциальная энергия U(р).

Точки поворота и замкнутые орбиты

Основная статья: Теорема Бертрана

Скорость изменения р равен нулю, если эффективная потенциальная энергия равна полной энергии^[24]

${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$

Точки, в которых выполняется это уравнение, известны как поворотные моменты.^[24] Орбита по обе стороны от точки поворота симметрична; другими словами, если азимутальный угол определен таким образом, что φ = 0 в точке поворота, то орбита будет одинаковой в противоположных направлениях, р(φ) = р(−φ).^[25]

Если есть две точки поворота, радиус р ограничен между р_мин и р_{Максимум}, то движение заключено в кольцевом пространстве с этими радиусами.^[24] Поскольку радиус изменяется от одной точки поворота к другой, изменение азимутального угла φ равно^[24]

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int _{r_{\mathrm {min} }}^{r_{\mathrm {max} }}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$

Орбита закроется сама собой^{[примечание 8]} при условии, что Δφ равно рациональной дроби 2π, т. е.^[24]

${\displaystyle \Delta \varphi =2\pi {\frac {m}{n}}}$

куда м и п целые числа. В этом случае радиус колеблется точно м раз, а азимутальный угол φ составляет ровно п революции. Однако в общем случае Δφ / 2π не будет такой Рациональное число, и таким образом орбита не будет закрыта. В этом случае частица в конечном итоге пройдет сколь угодно близко к каждой точке в кольцевом пространстве. Два типа центральной силы всегда создают замкнутые орбиты: F(р) = αр (линейная сила) и F(р) = α /р² (ан закон обратных квадратов ). Как показал Бертран, эти две центральные силы - единственные, которые гарантируют замкнутые орбиты.^[26]

В общем, если угловой момент L отличен от нуля, L²/2мр² член предотвращает попадание частицы в начало координат, если только эффективная потенциальная энергия не переходит в отрицательную бесконечность в пределе р идет к нулю.^[27] Следовательно, если есть единственная точка поворота, орбита обычно уходит в бесконечность; точка поворота соответствует точке минимального радиуса.

Конкретные решения

Проблема Кеплера

Классическая гравитация - центральная сила. Решение этой проблемы центральной силы показывает, что связанная частица движется по эллиптической орбите, на которой равные площади сметаются за равные промежутки времени, как описано Второй закон Кеплера.

Смотрите также: Проблема Кеплера и Вектор Лапласа – Рунге – Ленца.

В классическая физика, многие важные силы подчиняются закону обратных квадратов, например сила тяжести или же электростатика. Общая математическая форма таких обратных квадратов центральных сил такова:

${\displaystyle F={\frac {\alpha }{r^{2}}}=\alpha u^{2}}$

для постоянного ${\displaystyle \alpha }$, что отрицательно для силы притяжения и положительно для силы отталкивания.

Этот частный случай классической задачи о центральной силе называется Проблема Кеплера. Для силы, обратно пропорциональной квадрату, полученное выше уравнение Бине является линейным.

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}.}$

Решение этого уравнения есть

${\displaystyle u(\varphi )=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}\left[1+e\cos \left(\varphi -\varphi _{0}\right)\right]}$

что показывает, что орбита коническая секция эксцентриситета е; здесь φ₀ - начальный угол, а центр силы находится в фокусе конического сечения. С использованием формула полуугла для синуса, это решение также можно записать как

${\displaystyle u(\varphi )=u_{1}+(u_{2}-u_{1})\sin ^{2}\left({\frac {\varphi -\varphi _{0}}{2}}\right)}$

Что касается всех центральных сил, частица в задаче Кеплера выметает равные области за равное время, как показано двумя синими эллиптическими секторами. Центр силы находится в одном из фокусов эллиптической орбиты.

куда ты₁ и ты₂ константы, с ты₂ больше, чем ты₁. Два варианта решения связаны уравнениями

${\displaystyle u_{1}+u_{2}={\frac {-2\alpha }{mh^{2}}}}$

и

${\displaystyle e={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{2}+u_{1}}}}$

Поскольку грех² функция всегда больше нуля, ты₂ это максимально возможное значение ты и обратное значение наименьшего возможного значения р, т.е. расстояние максимального сближения (перицентр ). Поскольку радиальное расстояние р не может быть отрицательным числом, равно как и его обратное ты; следовательно, ты₂ должно быть положительным числом. Если ты₁ также положительный, это наименьшее возможное значение ты, что соответствует максимально возможному значению р, расстояние наибольшего сближения (апоапсис ). Если ты₁ равно нулю или отрицательно, то наименьшее возможное значение ты равен нулю (орбита уходит в бесконечность); в этом случае единственными значимыми значениями φ являются те, которые делают ты положительный.

Для силы притяжения (α <0) орбита представляет собой эллипс, а гипербола или же парабола, в зависимости от того, ты₁ положительный, отрицательный или нулевой соответственно; это соответствует эксцентриситету е меньше единицы, больше единицы или равно единице. Для силы отталкивания (α> 0) ты₁ должно быть отрицательным, так как ты₂ положительны по определению, а их сумма отрицательна; следовательно, орбита является гиперболой. Естественно, что если сила отсутствует (α = 0), орбита прямолинейна.

Центральные силы с точными решениями

Смотрите также: Точные решения классических задач центральной силы

Уравнение Бине для ты(φ) может быть решена численно почти для любой центральной силы F(1/ты). Однако лишь несколько сил приводят к формулам для ты с точки зрения известных функций. Как показано выше, решение для φ может быть выражено как интеграл по ты

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}}}$

Проблема центральной силы называется "интегрируемой", если это интегрирование может быть решено в терминах известных функций.

Если сила - степенная, т.е. если F(р) = α р^п, тогда ты можно выразить через круговые функции и / или эллиптические функции если п равно 1, -2, -3 (круговые функции) и -7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 и -7 / 3 (эллиптические функции).^[28] Точно так же только шесть возможных линейных комбинаций степенных законов дают решения в терминах круговых и эллиптических функций.^[29][30]

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{3}+Dr^{5}}$

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{-5}+Dr^{-7}}$

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr+D}$

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-4}+Dr^{-5}}$

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-3/2}+Dr^{-5/2}}$

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-1/3}+Cr^{-5/3}+Dr^{-7/3}}$

Следующие частные случаи первых двух типов силы всегда приводят к круговым функциям.

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br}$

${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}}$

Особый случай

${\displaystyle F(r)=Ar^{-5}}$

была упомянута Ньютоном в следствии 1 предложения VII принципов, как сила, возникающая при круговых орбитах, проходящих через точку притяжения.

Вращающиеся орбиты

Воспроизвести медиа

Иллюстрация теоремы Ньютона о вращающихся орбитах. Зеленая планета совершает одну (субгармоническую) орбиту на каждые три орбиты голубой планеты (k= 1/3). А Гифка версия этой анимации найдена здесь.

Основная статья: Теорема Ньютона о вращающихся орбитах

Период, термин р⁻³ встречается во всех приведенных выше законах силы, указывая на то, что добавление силы обратного куба не влияет на разрешимость проблемы в терминах известных функций. Ньютон показал, что с корректировкой начальных условий добавление такой силы не влияет на радиальное движение частицы, а увеличивает ее угловое движение на постоянный коэффициент. k. Расширение теоремы Ньютона было открыто в 2000 году Магомедом и Вавда.^[30]

Предположим, что частица движется под действием произвольной центральной силы F₁(р), и пусть его радиус р а азимутальный угол φ обозначим как р(т) и φ₁(т) как функция времени т. Теперь рассмотрим вторую частицу той же массы м который разделяет то же радиальное движение р(т), но с угловой скоростью k раз быстрее, чем у первой частицы. Другими словами, азимутальные углы двух частиц связаны уравнением φ₂(т) = k φ₁(т). Ньютон показал, что сила, действующая на вторую частицу, равна силе F₁(р), действующая на первую частицу, плюс центральная сила обратного куба^[31]

${\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)}$

куда L₁ величина первой частицы угловой момент.

Если k² больше единицы, F₂−F₁ отрицательное число; таким образом, добавленная сила обратного куба равна привлекательный. Наоборот, если k² меньше единицы, F₂−F₁ положительное число; добавленная сила обратного куба равна отталкивающий. Если k целое число, такое как 3, орбита второй частицы называется гармонический орбиты первой частицы; напротив, если k является обратным целому числу, например¹⁄₃, вторая орбита называется субгармоника первой орбиты.

Историческое развитие

Рисунок 10: Геометрическое доказательство Ньютона того, что движущаяся частица сметает равные площади в равное время тогда и только тогда, когда сила, действующая на нее в точке B центральная сила. Здесь треугольник OAB имеет ту же площадь, что и треугольники OBC и OBK.

Вывод Ньютона

Классическая проблема центральной силы решалась геометрически Исаак Ньютон в его Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, в котором Ньютон представил свой законы движения. Ньютон использовал эквивалент чехарда интеграции преобразовать непрерывное движение в дискретное, чтобы можно было применять геометрические методы. В этом подходе положение частицы рассматривается только в равномерно распределенные моменты времени. Для иллюстрации частица на рисунке 10 расположена в точке А вовремя т = 0, в точке B вовремя т = Δт, в точке C вовремя т = 2Δти так далее на все времена т = пΔт, куда п целое число. Предполагается, что между этими временными точками скорость постоянна. Таким образом, вектор р_AB = р_B − р_А равно Δт умножить на вектор скорости v_AB (красная линия), тогда как р_{до н.э} = р_C − р_B равно v_{до н.э}Δт (Синяя линия). Поскольку скорость между точками постоянна, предполагается, что сила действует мгновенно в каждой новой позиции; например, сила, действующая на частицу в точке B мгновенно изменяет скорость с v_AB к v_{до н.э}. Вектор разности Δр = р_{до н.э} − р_AB равно ΔvΔт (зеленая линия), где Δv = v_{до н.э} − v_AB изменение скорости в результате действия силы в точке B. Поскольку ускорение а параллельно Δv и с тех пор F = ма, сила F должен быть параллелен Δv и Δр. Если F центральная сила, она должна быть параллельна вектору р_B из центра О к точке B (пунктирная зеленая линия); в этом случае Δр также параллельно р_B.

Если в точке не действует сила B, скорость не меняется, и частица попадает в точку K вовремя т = 2Δт. Площади треугольников OAB и OBK равны, потому что они имеют одинаковое основание (р_AB) и высота (р_⊥). Если Δр параллельно р_B, треугольники OBK и OBC также равны, поскольку имеют одно и то же основание (р_B) и высота не изменилась. В этом случае площади треугольников OAB и OBC одинаковы, и частица выметает равные площади за равное время. Наоборот, если площади всех таких треугольников равны, то ∆р должен быть параллелен р_B, из чего следует, что F центральная сила. Таким образом, частица сметает равные площади за равное время тогда и только тогда, когда F центральная сила.

Альтернативные выводы уравнений движения.

Лагранжева механика

Формулу для радиальной силы можно также получить, используя Лагранжева механика. В полярных координатах лагранжиан L одиночной частицы в поле потенциальной энергии U(р) дан кем-то

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}-U(r)}$

Тогда уравнения движения Лагранжа

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial r}}}$

принять форму

${\displaystyle m{\ddot {r}}=mr{\dot {\varphi }}^{2}-{\frac {dU}{dr}}={\frac {mh^{2}}{r^{3}}}+F(r)}$

поскольку величина F(р) радиальной силы равна отрицательной производной потенциальной энергии U(р) в радиальном направлении.

Гамильтонова механика

Формула радиальной силы также может быть получена с использованием Гамильтонова механика. В полярных координатах гамильтониан можно записать как

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}}}\right)+U(r)}$

Поскольку азимутальный угол φ не входит в гамильтониан, его сопряженный импульс п_φ постоянная движения. Этот сопряженный импульс и есть величина L углового момента, как показано гамильтоновым уравнением движения для φ

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{\varphi }}}={\frac {p_{\varphi }}{mr^{2}}}={\frac {L}{mr^{2}}}}$

Соответствующее уравнение движения для р является

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{r}}}={\frac {p_{r}}{m}}}$

Взяв вторую производную от р относительно времени и используя уравнение движения Гамильтона для п_р дает уравнение радиальной силы

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {1}{m}}{\frac {dp_{r}}{dt}}=-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\partial H}{\partial r}}\right)={\frac {p_{\varphi }^{2}}{m^{2}r^{3}}}-{\frac {1}{m}}{\frac {dU}{dr}}={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}+{\frac {1}{m}}F(r)}$

Уравнение Гамильтона-Якоби

Орбитальное уравнение может быть получено непосредственно из Уравнение Гамильтона – Якоби.^[32] Принятие радиального расстояния р и азимутальный угол φ в качестве координат, уравнение Гамильтона-Якоби для задачи центральной силы может быть записано

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left({\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}\right)^{2}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$

куда S = S_φ(φ) + S_р(р) - E_малышт является Основная функция Гамильтона, и E_малыш и т представляют собой полную энергию и время соответственно. Это уравнение может быть решено последовательным интегрированием обыкновенные дифференциальные уравнения, начиная с уравнения φ

${\displaystyle {\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}=p_{\varphi }=L}$

где p_φ это постоянная движения равный величине углового момента L. Таким образом, S_φ(φ) = Lφ и уравнение Гамильтона – Якоби принимает вид

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$

Интегрируя это уравнение для S_р дает

${\displaystyle S_{r}(r)={\sqrt {2m}}\int dr{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}$

Взяв производную от S относительно L дает орбитальное уравнение, полученное выше

${\displaystyle \varphi _{0}={\frac {\partial S}{\partial L}}={\frac {\partial S_{\varphi }}{\partial L}}+{\frac {\partial S_{r}}{\partial L}}=\varphi -{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$

Смотрите также

• Геодезические Шварцшильда, для задачи о центральной силе в общая теория относительности
• Частица в сферически-симметричном потенциале, квантово-механический аналог задачи о центральной силе
• Водородоподобный атом, проблема Кеплера в квантовая механика
• Обратный квадратный потенциал

Примечания

1. В этой статье полужирным шрифтом используются такие количества, как р и F находятся векторов, а обычные числа выделены курсивом. Вкратце вектор v величина, имеющая величину v (также написано |v|) и направление. Векторы часто задаются их компонентами. Например, вектор положения р = (Икс, у) в Декартовы координаты описывается как упорядоченная пара своих Икс и у координаты.
2. В этой статье, Обозначение Ньютона для производных ("точечная нотация") иногда используется, чтобы облегчить чтение формул; это не имеет другого значения. В этих обозначениях одиночная точка над переменной означает ее первую производную по времени, например,

   ${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}}$

   Точно так же двойная точка над переменной означает ее вторую производную по времени, например,

   ${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}}$

3. Здесь символ времени × указывает векторное произведение, а не простое умножение.
4. Если а и б трехмерные векторы, их векторное векторное произведение c = а × б всегда перпендикулярно плоскости, определяемой а и б.
5. Эта формула для азимутального единичного вектора может быть проверена расчетом; его величина равна одному

   ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\cdot {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin \varphi )^{2}+(\cos \varphi )^{2}=1}$

   и его скалярное произведение с р равно нулю

   ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\cdot \mathbf {\hat {r}} =-\sin \varphi \cos \varphi +\cos \varphi \sin \varphi =0}$

   Следовательно, это единичный вектор, перпендикулярный радиальному вектору р.
6. Площадь треугольника равна половине основания, умноженной на его высоту. В этом случае база равна vΔт а высота равна прицельному параметру р_⊥.
7. Задача параллельной силы - это задача, в которой сила равна нулю в одном направлении.
8. Замкнутая орбита - это орбита, которая возвращается в исходное положение через конечное время с точно такой же скоростью. Следовательно, он выполняет одно и то же движение снова и снова.

Рекомендации

1. Гольдштейн, стр. 71; Ландау и Лифшиц, с. 30; Зоммерфельд, стр. 39; Саймон, стр. 121.
2. Ландау и Лифшиц, с. 30; Саймон, стр. 121.
3. Гольдштейн, стр. 4; Ландау и Лифшиц, с. 30; Саймон, стр. 122.
4. Гольдштейн, стр. 71; Ландау и Лифшиц, с. 30; Уиттакер, стр. 77.
5. Зоммерфельд, стр. 39; Симон, стр. 123.
6. Гольдштейн, стр. 70–71; Ландау и Лифшиц, с. 29; Саймон, стр. 182–185; Уиттакер, стр. 76–77.
7. Гольдштейн, стр. 72; Ландау и Лифшиц, с. 30; Уиттакер, стр. 77.
8. Гольдштейн, стр. 2–3, 6–7.
9. Гольдштейн, стр. 72.
10. Гольдштейн, стр. 73; Ландау, Лифшиц, стр. 30–31; Зоммерфельд, стр. 39–40; Саймон, с. 124, 127.
11. Ландау и Лифшиц, с. 31.
12. Гольдштейн, стр. 73; Ландау, Лифшиц, стр. 30–31; Зоммерфельд, стр. 36, 39; Саймон, стр. 127–128.
13. Гольдштейн, стр. 73; Ландау и Лифшиц, с. 31; Зоммерфельд, стр. 39; Саймон, стр. 135.
14. Уиттакер, стр. 93–94.
15. Гольдштейн, стр. 73.
16. Гольдштейн, стр. 75, 86.
17. Гольдштейн, стр. 86.
18. Уиттакер, стр. 80–81.
19. Гольдштейн, стр. 4.
20. Гольдштейн, стр. 75.
21. Гольдштейн, стр. 87.
22. Гольдштейн, стр. 76–82.
23. Гольдштейн, стр. 88.
24. Ландау и Лифшиц, с. 32.
25. Ландау, Лифшиц, стр. 32–33.
26. Гольдштейн, стр. 601–605.
27. Ландау и Лифшиц, с. 33.
28. Уиттакер, стр. 80–95.
29. Бруке Р. (1980). "Заметки о центральной силе р^п". Астрофизика и космическая наука. 72: 33–53. Bibcode:1980Ap & SS..72 ... 33B. Дои:10.1007 / BF00642162.
30. Магомед FM, Vawda F (2000). «Применение симметрий к задачам центральной силы». Нелинейная динамика. 21: 307–315. Дои:10.1023 / А: 1008317327402.
31. Ньютон, Начала, раздел IX книги I, предложения 43–45, стр. 135–147.
32. Гольдштейн, стр. 454–457; Ландау, Лифшиц, стр. 149–151; Миснер, Торн и Уиллер, стр. 644–649; Зоммерфельд, стр. 235–238.

Библиография

• Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-02918-9.
• Ландау, Л. и Лифшиц, Э. (1976). Механика. Курс теоретической физики (3-е изд.). Нью-Йорк: Pergamon Press. ISBN  0-08-029141-4.
• Миснер, К., Торн, К., и Уиллер, Дж. А. (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-0344-0.
• Зоммерфельд, А. (1970). Механика. Лекции по теоретической физике. я (4-е изд.). Нью-Йорк: Academic Press. ISBN  978-0-12-654670-5.
• Симон К.Р. (1971). Механика (3-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-07392-7.
• Уиттакер, Э. Т. (1937). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в проблему трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-521-35883-5.

внешняя ссылка

• Задачи двух тел центральной силы Д. Э. Гэри из Технологический институт Нью-Джерси
• Движение в центральном силовом поле А. Бризара из Колледж Святого Михаила
• Движение под действием центральной силы Дж. У. Коллинза, II из Кейс Вестерн Резервный университет
• Видео лекция У. Х. Г. Левина из Массачусетский Институт Технологий