Точные решения классических задач центральной силы - Exact solutions of classical central-force problems

в классическая проблема центральной силы из классическая механика, немного потенциальная энергия функции V(р) производят движения или орбиты, которые могут быть выражены в терминах хорошо известных функций, таких как тригонометрические функции и эллиптические функции. В этой статье описаны эти функции и соответствующие решения для орбит.

Общая проблема

В Уравнение Бине за ты(φ) может быть решена численно почти для любой центральной силы F(1/ты). Однако лишь несколько сил приводят к формулам для ты с точки зрения известных функций. Решение для φ может быть выражено в виде интеграла по ты

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-V(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}}}$

Проблема центральной силы называется "интегрируемой", если это интегрирование может быть решено в терминах известных функций.

Если сила - степенная, т.е. если F(р) = α р^п, тогда ты можно выразить через круговые функции и / или эллиптические функции если п равно 1, -2, -3 (круговые функции) и -7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 и -7 / 3 (эллиптические функции).^[1]

Если сила является суммой обратного квадратичного закона и линейного члена, т. Е. Если F(р) = α р^-2 + c r, задача также решается явно в терминах эллиптических функций Вейерштрасса^[2]

Рекомендации

1. Уиттакер, стр. 80–95.
2. Изцо и Бискани

Библиография

• Whittaker ET (1937). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в проблему трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-521-35883-5.
• Иззо, Д. и Бискани, Ф. (2014). Точное решение задачи постоянного радиального ускорения. Журнал управления и динамического управления.